1 2 3 4 
ПРОСТРАНСТВО В КЛАССИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ
   
   
В этой главе мы будем иметь дело с пространством, каким оно выступает в классической физике. Это значит, что мы постараемся найти «интерпретацию» (но необходимо только одну, единственно возможную) для геометрических терминов, употребляемых в физике. В отношении пространства встают гораздо более сложные и трудные проблемы, чем в отношении времени. Это происходит отчасти из-за проблем, встающих здесь благодаря теории относительности. Однако сей час мы не будем рассматривать теорию относительности и будем трактовать пространство как нечто не связанное с временем, как поступали физики до Эйнштейна.
   
Для Ньютона пространство, как и время, было «абсолютным»; это значит, что оно состоит из совокупности точек, каждая из которых лишена структуры и представляет собой конечную составную часть физического мира. Каждая точка вечна и неизменна; изменение заключается в том, что точка иногда «занимается» то одной частью материи, то другой, а иногда остается незанятой. Вопреки этому взгляду Лейбниц утверждал, что пространство есть только система отношений, причем члены отношений материальны, а не просто геометрические точки. Хотя и физики, и философы все больше и больше склонялись к лейбницевскому взгляду, однако же аппарат математической физики продолжал оставаться ньютоновским. В математическом аппарате «пространство» все ещё является собранием «точек», из которых каждая определяется тремя координатами, а «материя» — собранием «частиц», каждая из которых занимает разные точки в разное время. Если мы не обязаны соглашаться с ньютоновским приписыванием точкам физической реальности, то эта система требует такой интерпретации, в которой «точки» имеют структурное определение.
   
Я употребил выражение «физическая реальность», которое могут считать слишком метафизичным. То, что я имею в виду, можно выразить в форме более приемлемой для современного вкуса с помощью техники минимальных словарей. Если дана совокупность имен, то может случиться, что некоторые из названных вещей имеют структурное определение в терминах других определений; в этом случае мы будем иметь минимальный словарь, не содержащий таких имен, вместо которых могут быть подставлены определения. Например, каждый француз имеет собственное имя, и слова «нация французов» могут тоже рассматриваться как собственное имя, но оно не необходимо, поскольку мы можем сказать, что «нация французов» определяется как «класс, состоящий из следующих индивидуумов (следует перечень всех индивидуумов)». Такой метод применим только к закрытым классам, но существуют другие методы, не связанные таким ограничением. Мы можем определить «Францию» через указание её географических границ и тогда определить «француза» как человека «родившегося во Франции».
   
Для этого процесса замещения имен структурными определениями в практике имеются явные границы, и, может быть (хотя это и не бесспорно), есть также границы и в теории. Предположив ради простоты, что материя состоит из электронов и протонов, мы могли бы, в теории, дать собственное имя каждому электрону и каждому протону; мы могли бы тогда определить какой-либо индивидуум посредством упоминания электронов и протонов, составляющих его тело в разное время; таким образом, имена человеческих индивидуумов теоретически оказались бы излишними. Говоря вообще, все то, что обладает доступной анализу структурой, не нуждается в имени, поскольку может быть определено с помощью имен ингредиентов и слов, обозначающих их отношения. С другой стороны, все то, что не имеет познанной структуры, нуждается в имени, если нам нужно выражать все наше знание о нем.
   
Следует заметить, что обозначающее определение не делает имя излишним. Например, «отец Александра Великого» есть обозначающее определение, но оно не позволяет нам выразить факт, который современники могли бы выразить словами «этот человек есть отец Александра», где слово «этот» выполняет функцию имени.
   
Когда мы отрицаем ньютоновскую теорию абсолютного пространства, продолжая в то же время пользоваться в математической физике тем, что мы называем «точками», наши действия оправдываются только в том случае, если имеется структурное определение «точки» и (в теории) отдельных точек, Такое определение должно достигаться посредством методов сходных с теми, которыми мы пользовались при определении «моментов». Здесь, однако, следует сделать две оговорки: во-первых, что наше многообразие точек должно быть трехмерным и, во-вторых, что точку мы должны определять как момент. Сказать, что точка P, находящаяся в одном времени, тождественна с точкой О, находящейся в другом времени значит сказать нечто, не имеющее определенного смысла, кроме условного, зависящего от выбора материальных осей. Но так как этот вопрос связан с теорией относительности, я не буду сейчас рассматривать его подробно и ограничусь определением точек в данный момент, игнорируя при этом трудности, связанные с определением одновременности.
   
В последующем я не подчеркиваю именно тот метод построения точек, который я применяю. Другие методы также возможны, и некоторые из них могут даже оказаться более предположительными. Важно отметить только то, что можно изобрести такие методы. В определении моментов мы использовали отношение «совпадения» во времени — отношение, которое имеет место между двумя событиями, когда (в обычном языке) имеется время, в течение которого оба существуют. В определении точек мы пользуемся отношением «совмещения» в пространстве, которое должно иметь место между двумя одновременными событиями, занимающими (в обычном языке) одну и ту же область пространства в целом или частично. Следует заметить, что события, в противоположность частям материи, не следует считать взаимонепроницаемыми. Непроницаемость материи есть свойство, которое тавтологически вытекает из её определения. «События», однако, определяются только как термины, не обладающие структурой и имеющие такие пространственные и временные отношения, которые принадлежат конечным объемам пространства и конечным периодам времени. Когда я говорю «такие, которые», я имею в виду «сходные в отношении логических свойств». Но «совпадение» само по себе не определяется логически; оно является эмпирически познаваемым отношением, имеющим в том построении, которое я защищаю, только наглядное определение.
   
В многообразии более одного измерения, посредством бинарного отношения «совмещения», мы ничего не можем построить такого, что обладало бы свойствами, требуемыми от «точек». В качестве простейшего примера возьмем фигуры на плоскости.
   
Три фигуры на плоскости — А, В и С — могут налегать друг на друга так, что каждая налегает на две остальные, и вместе с тем так, что нет области, общей для всех трех фигур. На приведенном рисунке круг А налегает на прямоугольник В и треугольник С, а прямоугольник В налегает на треугольник С, но при этом нет области, общей для А, В и С. Основанием нашей конструкции должно быть отношение не двух, а трех фигур. Мы будем говорить, что три площади являются «соточечными» (copunctual), когда имеется область, общая для всех трех фигур. (Это — объяснение, а не определение.)
   
Мы будем исходить из того, что фигуры, с которыми мы имеем дело, или являются кругами, или получаются из кругов благодаря растяжениям или сжатиям, при которых сохраняется овальность. В этом случае если даны три соточечные фигуры А, В и С и четвертая фигура D такая, что и Л, В, D и А, С, D, и В, С, D соточечны, то A, В, С и D все имеют общую область.
   
Мы теперь называем группу, состоящую из любого числа фигур, «соточечной», если каждая триада из этой группы будет соточечной. Соточечная группа фигур представляет собой «точку», если она не может быть расширена, не перестав быть соточечной, то есть если для любой фигуры X, не принадлежащей группе, в этой группе имеются по крайней мере две фигуры А и В, такие, что А, В и Х не являются соточечными.
   
Это определение применимо только в двух измерениях. В трех измерениях мы должны начинать с отношения соточечности между четырьмя пространственными фигурами, причем все эти фигуры должны быть или сферами, или такими овалоидами, которые получаются из сфер благодаря непрерывному растяжению в одних направлениях и сжатию в других. Тогда, как и перед этим, соточечная группа фигур является такой, в которой каждые четыре фигуры соточечны; соточечная группа представляет собой «точку», если она не может быть расширена, не перестав быть соточечной.
   
В n измерениях определения остаются одними и теми же, за исключением того, что первоначальное отношение соточечности должно относиться к л +1 фигурам.
   
«Точки» определяются как классы событий с помощью вышеприведенных методов и с молчаливым предположением, что каждое событие «занимает» более или менее овальную площадь.
   
«События» должны пониматься в этом обсуждении как неопределенный сырой материал, из которого должны быть получены геометрические определения. В другом контексте нам может понадобиться исследовать то, что понимается под «событиями», и мы сможем тогда продолжать наш анализ дальше, а сейчас мы рассматриваем многообразие «событий» с их пространственными и временными отношениями как эмпирические данные.
   
Способ, с помощью которого пространственный порядок вытекает из наших предположений, является несколько сложным. Однако здесь я ничего не буду говорить об этом, так как разбирал этот вопрос в книге «Анализ материи», где я дал также и гораздо более полный разбор определения «точек» (главы 28 и 29).
   
Кое-что следует сказать о метрических свойствах пространства. Астрономы в своих популярных книгах поражают нам прежде всего рассказами о том, как безмерно далеко находятся от нас многие туманности, а затем утверждениями, что вселенная в конце концов конечна, будучи трехмерным аналогом поверхности сферы. Но в своих менее популярных книгах они говорят, что измерение носит только условный характер и что мы могли бы, если бы захотели, принять такие условия, которые привели бы к тому, что самые удаленные из известных нам туманностей северного полушария оказались бы к нам ближе, чем туманности противоположного полушария. Если это так, то обширность вселенной является не фактом, а результатом условий. Я думаю, что это верно только отчасти, но выделить элемент условности в измерении это отнюдь не легкое дело. Прежде чем попытаться сделать это, следует кое-что сказать об измерении в его элементарных формах.
   
Измерение расстояния даже до удаленных туманностей строится на основе измерений расстояний на поверхности Земли, а наземные измерения начинаются с допущения, что некоторые тела могут рассматриваться как приблизительно жесткие (rigid). Если вы измеряете величину вашей комнаты, то вы исходите из того, что ваша измерительная линейка не становится заметно длиннее или короче в процессе измерения. Английская военно-топографическая съемка определяет большинство расстояний посредством триангуляции, но этот процесс требует, чтобы по крайней мере одно расстояние было измерено непосредственно. Действительно, основная линия, избранная на Солсберийской равнине, была тщательно измерена элементарным способом, каким мы измеряем величину нашей комнаты: цепь, которую можно принять по определению за единицу длины, повторно укладывалась на поверхности земли вдоль линии, которая была прямой, насколько это было возможно. Когда эта длина была определена непосредственно, остальное измерение производилось посредством измерения углов и соответствующих вычислений: диаметр Земли, расстояние до Солнца и Луны и даже расстояния до ближайших неподвижных звезд могут быть определены без какого-либо дальнейшего непосредственного измерения длин.
   
Но если этот процесс исследовать тщательно, то оказывается, что он полон трудностей. Допущение, что тело «жестко», не имеет определенного смысла, пока мы не установим метрики, позволяющей нам сравнить длины и углы в один момент времени с длинами и углами в другой момент времени, так как «жесткое» тело не изменяет ни своей формы, ни величины. Но тогда мы нуждаемся в определении «прямой линии», так как все наши результаты будут неверными, если основная линия на Солсберийской равнине и линии, употребляемые в процессе триангуляции, не прямые. Следовательно, оказывается, что измерение предполагает геометрию (позволяющую определить «прямую линию») и достаточные познания в физике, дающей основания для рассмотрения некоторых тел приблизительно жесткими и для сравнения расстояний, измеренных в один момент времени, с измеренными в другой момент. Связанные с этим затруднения трудно преодолимы, но прикрываются допущениями, принятыми в соответствии с обыденным здравым смыслом.
   
Обыденный здравый смысл допускает, грубо говоря, что тело является жестким, если оно выглядит жестким. Рыба угорь не выглядит жесткой, а стальной стержень выглядит таковым. С другой стороны, камешек на дне журчащего ручья может казаться извивающимся, как угорь, но с точки зрения обыденного здравого смысла этот камешек является тем не менее жестким, потому что осязание считается с этой точки зрения более надежным, чем зрение, а когда вы переходите ручей вброд босиком, то вы именно осязаете, что камешек жесткий. Рассуждая таким образом, следует сказать, что обыденный здравый смысл является как бы ньютонианцем: он убежден, что в каждый момент тело обладает внутренне присущей ему определенной формой и величиной, такой же или не такой, как его форма и величина в другой момент. Если пространство абсолютно, то это убеждение имеет какой-то смысл, но без абсолютного пространства оно сразу же теряет всякий смысл. Должно, однако, существовать такое истолкование физики, которое объясняло бы весьма значительные успехи, проистекающие из допущений обыденного здравого смысла.
   
Как и в измерении времени, здесь действуют три фактора: во-первых, допущение, доступное исправлению; во-вторых, физические законы, которые при этом допущении оказываются приблизительно верными; в-третьих, изменение допущения, делающее физические законы более точными. Если вы допустите, что стальной стержень, выглядящий зрительно и осязательно жестким, сохраняет свою длину неизменной, то вы найдете, что расстояние от Лондона до Эдинбурга, диаметр Земли и расстояние до Сириуса почти постоянны, но немного короче при теплой погоде, чем при холодной. Тогда окажется, что проще сказать, что ваш стальной стержень при нагревании расширяется, особенно когда вы найдете, что это позволяет вам рассматривать вышеупомянутые расстояния как почти постоянные, и, далее, сказать, что вы видите, как ртуть в термометре занимает больше пространства в теплую погоду. Вы, следовательно, допускаете, что жесткие по видимости тела расширяются от теплоты, и вы допускаете это для того, чтобы упростить формулировку физических законов.
   
Попробуем выяснить, что в этом процессе является условным и что оказывается физическим фактом. Физическим фактом является то, что если вы возьмете два стальных стержня одинаковой комнатной температуры и по видимости одинаковой длины и нагреете один из них на огне, а другой положите в снег, то, когда вы после сравните их, окажется, что тот, который был на огне, будет выглядеть несколько длиннее, чем тот, который был в снегу, но когда они оба снова будут иметь температуру вашей комнаты, эта разница исчезнет. Я здесь исхожу из допущения донаучных методов определения температуры: горячим или холодным телом считаю то, что горячо или холодно на осязание. В результате таких грубых донаучных наблюдений мы решаем, что термометр дает точное измерение того, что приблизительно измеряется нашими осязательными ощущениями тепла и холода; мы можем теперь в качестве физиков игнорировать эти осязательные ощущения и обращаться только к термометру. Было бы тавтологией говорить, что ртуть в моем термометре поднимается вместе с повышением температуры, существенным же фактом является то, что все другие термометры ведут себя подобным же образом. Этот факт устанавливает сходство между поведением моего термометра и поведением других тел.
   
Но элемент условности не вполне таков, каким я его установил. Я не исхожу из предположения, что мой термометр правилен по определению; наоборот, всеми признается, что каждый действующий термометр более или менее неточен. Идеальный термометр, к которому действующие термометры только приближаются, есть такой, который, будучи принят за точный, делает общий закон расширения тел при повышении их температуры настолько точным, насколько это возможно. Эмпирическим фактом является то, что благодаря соблюдению определенных правил при изготовлении термометров мы можем делать их все более и более приближающимися к идеальному термометру, и именно этот факт оправдывает концепцию температуры как величины, имеющей для данного тела в данное время некоторое точное значение, которое может слегка отклоняться от значения, даваемого всяким действующим термометром.
   
Этот процесс одинаков во всех физических измерениях. Грубые измерения ведут к приблизительному закону; изменения в измерительных приборах (подчиняющиеся правилу, что все инструменты для измерения одной и той же величины должны давать насколько возможно точно один и тот же результат) способны делать закон все более точным. Наилучшим инструментом считается такой, который дает наивысшую возможную степень точности закона, причем считается, что идеальный инструмент мог бы сделать закон абсолютно точным.
   
Данное положение хотя и может показаться сложным, все-таки еще недостаточно сложно. Этот процесс иногда бывает связан только с одним законом, и очень часто случается, что и самый закон приблизителен. Измерения различных величин взаимозависимы, как мы это только что видели в примере с длиной и температурой, так что изменение в способе измерения одной величины может изменить меру другой величины. Законы, условия и наблюдения отдельных фактов бывают почти неразрешимым образом связаны и смешаны в реальном процессе развития науки. Результат наблюдения обычно устанавливается в форме, которая предполагает определенные законы и определенные условные допущения; если результат противоречит системе принятых до этого законов и условных допущений, то исследователю может быть предоставлена значительная свобода в выборе того, какой из этих законов или условных допущений должен быть изменен. Избитым примером этого является эксперимент Майкельсона-Морли, в котором оказалось, что самое простое его истолкование влечет за собой радикальное изменение временных и пространственных измерений.
   
Но вернемся к измерению расстояния. Здесь имеется большое число грубых донаучных наблюдений, которые наводят на мысль о действительно применяемых методах измерения. Если вы идете или едете на велосипеде по гладкой дороге, применяя равномерное и одинаковое усилие для движения, то вам потребуется приблизительно одинаковое время для каждой следующей одна за другой мили дороги. Если дорога асфальтируется, то количество материала, необходимое для одной мили, будет приблизительно таким же, которое потребуется и для другой мили. Если вы едете по дороге на автомобиле, то время, затрачиваемое на каждую милю, будет приблизительно таким, какое вы предвидите на основании показаний вашего спидометра. Если вы основываете тригонометрические вычисления, исходя из предположения, что все последующие мили одинаковы, то результаты будут в очень близком соответствии с результатами, полученными с помощью непосредственного измерения. И так далее. Все это показывает, что числа, получаемые обычными процессами измерения, имеют большое значение для физики и дают основание для многих физических или физиологических законов. Но эти законы, будучи сформулированы, дают основание для улучшения процессов измерения и для признания результатов улучшенных процессов более «точными», хотя на самом деле они являются только более удобными.
   
В понятии «точности», однако, имеется один элемент, который не просто только удобен. Мы привыкли к аксиоме, что две вещи, порознь равные одной и той же третьей, равны между собой. Эта аксиома имеет показную и обманчивую видимость очевидности вопреки тому, что эмпирическое свидетельство против нее. Самыми тонкими испытаниями, какие только можно применить, вы можете обнаружить, что А равно В и что В равно С, но что А заметно не равно С Когда это получается, мы говорим, что А в действительности не равно В или что В не равно С. Довольно странно, что мы склонны это утверждать, когда техника измерения совершенствуется. Но настоящая основа нашей веры в эту аксиому не эмпирична. Мы верим, что равенство состоит в обладании общим свойством. Две длины равны, если они имеют одну и ту же величину, и именно эту величину мы и выражаем при измерении. Если мы правы в этом, то аксиома логически необходима. Если A и B имеют одну и ту же величину и если В и С имеют ту же самую величину, то А и С необходимо имеют эту же величину, если только все измеряемое имеет только одну величину.
   
Хотя эта вера в величину как свойство, которое может быть общим для разных измеряемых вещей, скрыто и влияет на обыденный здравый смысл в его понимании того, что является очевидным, все-таки мы не должны принимать эту веру, пока не имеем свидетельства ее истинности в том частном вопросе, который мы рассматриваем. Вера в то, что у каждого из ряда членов имеется такое свойство, логически эквивалентна вере, что существует транзитивное симметричное отношение, имеющее место между любыми двумя членами ряда. (Эта эквивалентность есть то, что я раньше назвал «принципом абстракции».) Таким образом, утверждая, что имеется ряд величин, называемых «расстояниями», мы утверждаем следующее: между точками любой одной пары точек и точками любой другой пары имеет место или симметричное транзитивное отношение или асимметричное транзитивное отношение. В первом случае мы говорим, что расстояние между точками одной пары равно расстоянию между точками другой пары; в последнем случае, в соответствии со смыслом отношения, мы говорим, что первое расстояние меньше или больше, чем второе. Расстояние между двумя точками может быть определено как класс пар точек, имеющих между собой равные расстояния.
   
Это все, что мы можем сказать по вопросу измерения, не входя в обсуждение вопроса об определении прямых линий, которым мы теперь должны заняться.
   
Прямая линия возникла как оптическое понятие обыденного здравого смысла. Некоторые линии выглядят прямыми. Если прямой стержень держать концом против глаза, то его ближайшая к глазу часть скроет все остальное, тогда как если стержень искривлен, то будет видна та его часть, которая находится за искривлением. Имеются, конечно, также и другие основания обыденного здравого смысла в пользу понятия прямой линии. Если тело вращается, то образуется прямая линия — ось вращения, — которая остается неподвижной. Если вы едете стоя в вагоне метро, то вы можете определить, когда поезд идет по кривой, на основании того, что ваше тело имеет тенденцию наклоняться при этом в ту или другую сторону. Существует также возможность до определенной степени устанавливать прямизну посредством осязания; слепые почти так же хорошо определяют формы, как и зрячие.
   
В элементарной геометрии прямые линии определяются в целом; их главной характеристикой является то, что прямая линия определена, если даны две ее точки. Возможность рассмотрения расстояния как прямолинейного отношения между двумя точками зависит от предположения, что существуют прямые линии. Но в современной геометрии, приспособившейся к нуждам физики, нет прямых линий в евклидовом смысле, и «расстояние» определяется двумя точками только тогда, когда они расположены очень близко друг к другу. Когда две точки расположены далеко друг от друга, мы должны сначала решить, по какому маршруту мы будем двигаться от одной к другой, и затем сложить много мелких отрезков этого маршрута. «Самой прямой» линией между этими двумя точками будет та, в которой сумма отрезков будет минимальной. Вместо прямых линий мы должны употреблять здесь «геодезические линии», которые являются более короткими маршрутами от одной точки к другой, чем любые другие отличающиеся от них маршруты. Это нарушает простоту измерения расстояний, которое становится зависимым от физических законов. В получающихся в результате этого усложнениях в теории геометрического измерения нельзя разобраться без более тщательного исследования связи физических законов с геометрией физического пространства.
  
  
   
    
ГЛАВА 7
    
ПРОСТРАНСТВО-ВРЕМЯ
   
   
Всякий знает, что Эйнштейн вместо понятий пространства и времени ввел понятие пространства-времени, но люди, незнакомые с математической физикой, имеют обычно только очень смутное понятие о сущности этой замены. Так как эта замена является важной в отношении наших попыток познания структуры мира, я попытаюсь в этой главе объяснить те ее стороны, которые имеют философское значение.
   
Может быть, лучше всего будет начать с открытия того, что «одновременность» оказывается неопределенным понятием, когда оно применяется к событиям, происходящим в разных местах. Эксперименты, особенно эксперимент Майкельсона- Морли, ведут к заключению, что скорость света является постоянной для всех наблюдателей, как бы они ни двигались. На первый взгляд это казалось логически невозможным. Если вы находитесь в поезде, который движется со скоростью 30 миль в час, и если вас обгоняет поезд, движущийся со скоростью 60 миль в час, то его скорость относительно вас будет равна 30 милям в час. Но если поезд движется со скоростью света, то его скорость относительно вас будет той же, что и относительно неподвижных точек на Земле, бета частицы иногда движутся со скоростью, составляющей 90 процентов скорости света, но если бы физик мог двигаться вместе с такой частицей и если бы при этом его обгонял луч света, то он все же обнаружил бы, что свет движется относительно него с той же скоростью, как если бы он был неподвижным в отношении Земли. Этот парадокс объясняется тем фактом, что разные наблюдатели, снабженные совершенными хронометрами, дадут разные определения временным интервалам и выскажут разные суждения относительно одновременности в разных местах.
   
Нетрудно увидеть необходимость таких различий, после того как на нее было указано. Допустим, что астроном наблюдает какое-либо событие на Солнце и отмечает время своего наблюдения; он сделает вывод, что событие произошло приблизительно за восемь минут до его наблюдения, поскольку именно таков период времени, в течение которого свет идет от Солнца к Земле. Но теперь допустим, что Земля в это время очень быстро двигалась по направлению к Солнцу или от него. Если вы заранее не знали, в какой момент по земному времени произошло событие на Солнце, то вы не будете знать, какое расстояние должен был пройти свет и, следовательно, ваше наблюдение не позволит вам узнать, когда на Солнце произошло событие. Это значит, что нет определенного ответа на вопрос: какие события на Земле были одновременны с тем событием на Солнце, которое вы наблюдали?
   
Из неопределенности понятия одновременности следует, что существует параллельная неопределенность и в понятии расстояния. Если два тела находятся в относительном движении, то их расстояние друг от друга непрерывно изменяется, и в физике до теории относительности оно считалось расстоянием, определяемым их «расстоянием в данный момент». Но если имеется неопределенность в отношении того, что считать одним и тем же моментом для двух тел, то существует также неопределенность и в отношении «расстояния в данный момент». Один наблюдатель зафиксирует одно время, а другой — другое, и нет никакого основания для предпочтения одного показания другому. Действительно, никакие временные интервалы и никакие пространственные интервалы не являются фактами, независимыми от движений тела наблюдателя. Существует некоторого рода субъективность в измерениях времени и пространства, измеряемых независимо друг от друга, — субъективность не психологическая, а физическая, поскольку она влияет на приборы, а не только на сознание наблюдателей. Она похожа на субъективность фотокамеры, которая делает снимок с определенной точки зрения. Снимки с других точек зрения выглядели бы по-другому, и ни один из них не мог бы притязать на особую точность.
   
Имеется, однако, одно отношение между двумя событиями, которое оказывается одним и тем же для всех наблюдателей. Прежде было два таких отношения — расстояние в пространстве и промежуток времени; теперь же есть только одно, называемое «интервалом». Именно благодаря тому, что есть только одно это отношение интервала вместо расстояния и промежутка времени, мы должны вместо двух понятий — понятия пространства и понятия времени ввести одно понятие пространства-времени. Но хотя мы и не можем больше отделять друг от друга пространство и время, все-таки существуют два вида интервала; один интервал пространственноподобен и другой — времениподобен. Интервал является пространственноподобным, если световой сигнал, посланный телом, на котором происходит одно событие, достигает тела, на котором происходит другое событие, после того как это другое событие уже произошло. (Следует отметить, что нет никакой неопределенности в отношении временного порядка событий на данном одном теле.) Интервал является времениподобным, если световой сигнал, посланный от одного события, достигает тела, на котором происходит другое событие, до того, как это другое событие уже произошло. Так как ничто не движется со скоростью, большей скорости света, мы можем сказать, что этот интервал является времениподобным, когда одно событие может воздействовать на другое или на что-либо находящееся в той же пространственно-временной области, что и другое событие; когда это невозможно, интервал является пространственноподобным.
   
В специальной теории относительности определение интервала является простым; в общей теории относительности оно более сложно.
   
В специальной теории относительности предполагается, что наблюдатель, считающий себя неподвижным, принимает расстояние между двумя событиями за r, а промежуток времени между ними — за t. Тогда, если с есть скорость света, квадрат интервала будет равен
   
с2t2 — г2
   
в том случае, если интервал времениподобен; если же он пространственноподобен, то он будет равен
   
r2 — с2t2.
   
Обычно технически проще бывает считать его всегда одним их этих двух случаев, в котором квадрат интервала другого вида будет отрицательным, а самый интервал — мнимым.
   
Когда в расчет не принимаются ни силы тяготения, ни электромагнитные силы, оказывается, что интервал, как он определен выше, является одним и тем же для всех наблюдателей и может поэтому рассматриваться как подлинно физическое отношение между двумя событиями.
   
Общая теория относительности устраняет вышеприведенные ограничения путем введения измененного определения «интервала».
   
В общей теории относительности больше нет определенного «интервала» между удаленными друг от друга событиями, он есть только между очень близкими событиями. В случае большого расстояния от материи формула интервала приближается к формуле интервала специальной теории относительности, в других же случаях формула изменяется в соответствии с уменьшением расстояния от материи. Оказывается, что формула может быть так приспособлена, что на основе ее становится возможным объяснение тяготения при предположении, что свободно движущаяся материя движется по геодезической линии, то есть выбирает кратчайший или длиннейший маршрут от любой точки к соседней с нею.
   
Предполагается, что независимо от интервала пространственно-временные точки располагаются в известном порядке, так что вдоль любого маршрута одна точка может быть между двумя другими, расположенными близко к ней. Например, интервал между двумя разными точками на одном световом луче равен нулю, но точки все-таки имеют временной порядок: если луч идет от Солнца, то части его, находящиеся близко от Солнца, оказываются более ранними по времени, чем части, находящиеся дальше от него. Пространственно-временной порядок событий предполагается при задании координат, ибо, хотя этот порядок и является в значительной степени условным, тем не менее он должен всегда быть таким, что соседние точки имеют координаты, не очень сильно отличающиеся друг от друга, и что по мере того, как точки сближаются друг с другом, разница между их координатами приближается к нулю как пределу.
   
Если считать, что физический мир состоит из четырехмерного многообразия событий вместо многообразия устойчивых движущихся частиц, то необходимо найти способ определения того, что имеется в виду, когда мы говорим, что два события являются частью истории одной и той же части материи. Пока мы не имеем такого определения, «движение» не имеет определенного смысла, поскольку оно заключается в том, что вещь находится в разных местах в различные моменты времени. Мы должны определить «частицу» или материальную точку как последовательность пространственно-временных точек, имеющих друг к другу причинное отношение, которого они не имеют по отношению к другим пространственно-временным точкам. Здесь нет затруднений в отношении принципа этой процедуры. Динамические законы обычно устанавливаются на основе предположения о существовании устойчивых частиц и используются для решения вопроса, относятся ли два события А и В к биографии одной частицы или нет. Мы просто помним эти законы и превращаем утверждение, что А и В относятся к одной и той же биографии в определение «биографии», в то время как раньше это казалось субстанциальным утверждением.
   
Этот момент, возможно, нуждается в некоторых дальнейших разъяснениях. Начиная с предположения о существовании устойчивых частей материи, мы приходим к физическим законам, связывающим то, что происходит с какой-нибудь частью материи в один момент, с тем, что с ней происходит в другой момент. (Самым ясным из таких законов является закон инерции.) Мы теперь формулируем эти законы иначе: мы говорим, что если дано событие определенного рода в определенной небольшой области пространства-времени, то будут иметь место соседние события в соседних областях — события, которые будут относиться к данному событию определенным, специфическим образом. Мы говорим, что последовательность событий, относящихся друг к другу этими специфическими способами, должна называться одной частью материи, существующей в разное время. Таким образом, материя и движение перестают быть частью основоположного аппарата физики. Основоположным является четырехмерное многообразие событий с разными видами причинных отношений. Есть такие отношения, которые заставляют нас рассматривать касающиеся нас события как относящиеся к одной части материи, и такие, которые заставляют нас рассматривать их как относящиеся к различным, но взаимодействующим частям материи, и такие, которые устанавливают связь между частью материи и ее «пустым» окружением (например, излучение света), и, наконец, такие, которые устанавливают связь между событиями, которые оба находятся в пустом пространстве, например, части одного луча света.
   
Соединение событий в такие последовательности, которые обеспечивают постоянство материи, возможно только отчасти и приблизительно. Когда атом изображается в виде ядра с орбитальными электронами, мы не можем сказать, что такой-то электрон после квантового перехода в новом его состоянии должен отождествляться с таким-то электроном в старом его состоянии. Мы даже не можем утверждать наверняка, что число электронов во вселенной является постоянным. Масса есть только форма энергии, и нет основания думать, что материя не может растворяться в других формах энергий. Не материя, а энергия является основоположной в физике. Мы не определяем энергию; мы только открываем законы, касающиеся изменении в процессе ее распределения. А эти законы больше не таковы, чтобы могли предопределять единственный результат атомных явлении, хотя макроскопические явления и остаются статистически детерминированными с чрезвычайно высокой степенью вероятности.
   
Непрерывность пространства-времени, являющаяся техническим предположением физики, не имеет никакого предпочтения, кроме технического удобства. Вполне возможно, что число пространственно-временных точек конечно и что пространство-время имеет зернистую структуру, подобную структуре кучи песка. Если только эта структура достаточно тонка, то не окажется никаких доступных наблюдению явлений, которые могли бы показать, что непрерывности нет. Теоретически возможны свидетельства против непрерывности, но никогда не может быть решающего свидетельства в ее пользу.
   
Теория относительности не влияет на пространство и время восприятия. Мое пространство и мое время, известные по восприятию, коррелятивно связаны с теми пространством и временем, которые в физике свойственны осям, двигающимся вместе с моим телом. Относительно осей, связанных с данной частью материи, старое разделение пространства и времени еще сохраняет свое значение; и только когда мы сравниваем две группы осей в быстром относительном движении, встают те проблемы, которые разрешает теория относительности. Поскольку никакие два человеческих существа не имеют относительной скорости, близкой к скорости света, постольку сравнение их опытов не вскроет таких противоречий, которые имели бы место, если бы аэропланы смогли летать со скоростью бета частиц. Поэтому в психологическом исследовании пространства и времени с теорией относительности можно не считаться.
  
  
   
    
ГЛАВА 8
    
ПРИНЦИП ИНДИВИДУАЦИИ
   
   
В этой главе я рассмотрю современную форму очень старой проблемы, многократно обсуждавшейся схоластами, но и в наши дни все еще далекой от окончательного разрешения. Эта проблема в ее самой широкой и простейшей форме заключается в следующем: «Как определяем мы то различие, которое заставляет нас различать два объекта в перечне?» Мы можем выразить эту проблему другими словами, например:
   
«Что имеется в виду под словом особенный?» или «Какого рода объекты могут иметь собственные имена?»
   
По этому вопросу защищались с некоторым успехом три взгляда.
   
Первый: особенное образуется благодаря качествам; когда все его качества перечислены, оно полностью определено. Таков взгляд Лейбница.
   
Второй: особенное определяется его пространственно-временным положением. Это взгляд Фомы Аквинского в отношении материальных субстанций.
   
Третий: числовое различие является конечным и неопределимым, Таковы, как я думаю, были бы взгляды самых современных эмпириков, если бы они позаботились иметь по этому вопросу определенный взгляд.
   
Вторая из упомянутых трех теорий сводится или к первой, или к третьей в соответствии с тем, как она интерпретируется. Если мы будем придерживаться ньютоновского взгляда, согласно которому реально существуют точки, тогда следует признать, что две разные точки полностью сходны во всех своих качествах и их отличие друг от друга должно быть чисто нумерическим, предусматриваемым третьей теорией. Если же мы встанем — как теперь делают все — на точку зрения относительности пространства, то вторая теория должна будет утверждать: «Если А и В отличаются по их пространственно-временному положению, то А и В представляют собой не одно а два». Но здесь имеются трудности. Допустим, что А есть определенный цвет: он может встречаться в разных местах и все же быть только одним цветом. Поэтому наши А и В не должны быть качествами, или, если они ими являются, то они должны быть такими качествами, которые никогда не повторяются. Если же они не качества и не комплексы качеств, то должны быть индивидуальностями предусмотренного в нашей третьей теории вида; если они качества или комплексы качеств, то это первая из наших трех теорий. Нашу вторую теорию поэтому можно игнорировать.
   
При построении точек и моментов в наших трех предшествующих главах «события» использовались в качестве сырого материала. Различные основания, из которых теория относительности была самым важным, сделали эту процедуру более предпочтительной перед той, которая, подобно ньютоновской, допускает а качестве сырого материала «точки», «моменты» и «частицы». В наших построениях мы исходили из того, что единичное событие может занимать конечное количество пространства-времени, что два события могут совпадать как в пространстве, так и во времени и что ни одно событие не может повторяться. Это значит, что если А полностью предшествует В, то A и 5 не тождественны. Мы исходили также из того, что если А полностью предшествует В и В полностью предшествует С, то А полностью предшествует С. «События» предварительно рассматривались нами как «особенные случаи» в смысле нашей третьей теории. Было показано, что если принять сырой материал этого рода, то можно сконструировать и пространственно-временные точки и пространственно-временной порядок.
   
Но мы сейчас заняты проблемой построения пространственно-временных точек и пространственно-временного порядка с точки зрения нашей первой теории. Наш сырой материал не будет теперь содержать ничего такого, что не может повторяться, ибо качество может встречаться в любом из различных мест. Мы должны поэтому сконструировать нечто такое, что не повторяется, и пока мы этого не сделаем, мы не сможем объяснить пространственно-временной порядок.
   
Мы должны спросить себя, что имеется в виду под словом конкретный пример». Возьмем какой-нибудь определенный цвет, который мы назовем С. Допустим, что этот цвет — один из цветов радуги, так что он встречается везде, где есть радуга или солнечный спектр. Всякий раз, когда он встречается, мы говорим, что это «конкретный пример» С. Является ли каждый такой пример не поддающимся анализу чем-то особенным, качеством которого служит С? Или он представляет собой комплекс качеств, одним из которых является С? Первое есть третья из вышеупомянутых теорий; последнее является первой теорией.
   
Каждый из этих взглядов содержит трудности. Становясь на точку зрения первого взгляда, что конкретный пример С — есть не поддающееся анализу нечто особенное, мы наталкиваемся на все уже известные затруднения, связанные с традиционным понятием «субстанции». Особенное не может быть определено, или узнано, или известно; оно иногда служит чисто грамматической цели — дать субъект для субъективно-предикатного предложения вроде: «Это красное». А позволять грамматике диктовать нам метафизику сейчас многими признается делом опасным.
   
Трудно понять, как может нечто столь непознаваемое, каким является такое особенное, быть необходимым для интерпретации эмпирического знания. Понятие субстанции в качестве крюка, на который вешают предикаты, никому не нужно и вызывает протест, но вместе с тем теория, которую мы сейчас рассматриваем, не может устранить вызывающие протест черты этого понятия. Я поэтому прихожу к выводу, что мы должны, если это вообще возможно, найти какой-нибудь другой способ определения пространственно-временного порядка.
   
Но когда мы расстаемся с особенным в том его значении, которое мы только что решили отбросить, мы встаем, как было отмечено, перед трудностью нахождения чего-либо такого, что не будет повторяться. О простом качестве, как например цвет С, нельзя думать, что оно встречается только однажды. Мы попробуем избежать данной трудности с помощью рассмотрения «комплекса» качеств. Легче всего будет понять, что я имею в виду, если мы сформулируем это в терминах психологии. Если я что-либо вижу и в то же самое время слышу нечто другое, то мои зрительные и слуховые впечатления находятся друг к другу в отношении «сосуществования». Если в тот же самый момент я вспоминаю нечто, случившееся вчера, и ожидаю со страхом предстоящего визита к зубному врачу, то мое воспоминание и ожидание также «сосуществуют» с моим зрительным и слуховым впечатлением. Мы можем идти дальше в образовании целой группы моих настоящих переживаний и всего того, что сосуществует со всеми ними. Это значит, что если дана какая-либо группа переживаний, сосуществующих друг с другом, и если я могу найти что-либо еще, что сосуществует со всеми этими переживаниями, то я присоединяю это к группе и продолжаю делать подобным образом, пока не останется ничего сосуществующего с каждым в отдельности и со всеми членами этой группы. Таким образом, получается группа, имеющая два свойства: а) все члены группы сосуществуют друг с другом и б) ничто, находящееся вне этой группы, не сосуществует с каждым членом группы. Такую группу я буду называть «полным комплексом сосуществования».
   
Я думаю, что такой комплекс состоит из ингредиентов, большинство из которых в нормальном ходе событий может быть членом многих других комплексов. Цвет С, как мы полагали, повторяется всякий раз, когда кто-либо отчетливо видит радугу. Мое воспоминание с его качественной стороны может не отличаться от моего вчерашнего воспоминания. Мое ощущение зубной боли может быть совершенно таким же, какое у меня было перед моим визитом к зубному врачу. Все эти элементы комплекса сосуществования могут повторяться часто и не связаны существенным образом с какой-либо датой. Это значит, что если А является одним из этих элементов и если А предшествует (или следует за) В, то мы имеем основания думать, что А и В не тождественны.
   
Но есть ли у нас какое-либо основание, будь то логическое или эмпирическое, полагать, что полный комплекс сосуществования в целом не может повторяться? Ограничимся сначала рассмотрением опыта одного человека. Мое зрительное поле очень сложно, хотя, вероятно, и не является бесконечно сложным. Всякий раз, когда я перевожу свой взгляд, зрительные качества, связанные с данным объектом, остающимся в моем зрительном поле, изменяются: то, что я вижу краем глаза, выглядит иначе, чем то, что находится в центре моего зрительного поля. Если, как полагают некоторые, верно, что мое воспоминание окрашивается всем моим предшествовавшим опытом, тогда логически следует, что никакие два случая ни одного из моих воспоминаний не могут быть полностью сходными; и даже если мы отрицаем эту теорию, такое полное сходство кажется весьма невероятным.
   
Я думаю, что из таких соображений мы должны сделать тот вывод, что точное повторение всего моего мгновенного опыта, который в этой связи я называю «полным комплексом сосуществования», хотя и не является логически невозможным, но оказывается эмпирически настолько чрезвычайно невероятным, что мы можем признать его неосуществимым. В этом случае полный комплекс сосуществования будет, насколько это касается опыта одного человека, иметь формальные свойства, необходимые для «событий», то есть если А, В и С представляют собой полные комплексы сосуществования, то, когда А полностью предшествует б, A и б не тождественны; и если В также полностью предшествует С, то А полностью предшествует С. Мы, таким образом, имеем все необходимое для определения временного порядка в опыте одного человека.
   
Это, однако, составляет только часть, и притом не самую трудную, того, что мы должны сделать. Мы должны распространить пространственно-временной порядок за пределы опыта одного человека, на опыты различных людей и на физический мир. Это особенно трудно в отношении физического мира.
   
Поскольку мы ограничиваемся опытом одного человека, мы должны считаться только с временем. Но теперь мы должны принять во внимание также и пространство. Это значит, что мы должны найти такое определение «события», которое установит, что каждое событие имеет не только единственное временное, но и единственное пространственно-временное положение.
   
Пока мы ограничиваемся опытом, не возникает никаких новых серьезных затруднений. На основе эмпирических данных можно считать фактически достоверным, что всегда, когда мои глаза открыты, мое зрительное поле не бывает в точности сходным с зрительным полем кого-либо другого. Если А и В одновременно смотрят на одно и то же, то между зрительным полем одного и другого имеются различия в перспективе; если они поменяются местами, то А все-таки не будет видеть вполне то же самое, что видел В, из-за различий в зрении, изменений освещения и так далее. Короче, основания для предположения, что никакой полный мгновенный опыт лица А никогда в точности не похож на полный мгновенный опыт лица В, являются теми же, что и основания для предположения, что никакие два полных мгновенных опыта одного и того же лица А не похожи в точности друг на друга.
   
Выяснив это, мы можем посредством законов перспективы установить и пространственный порядок среди воспринимающих, если только есть какой-либо физический объект, который воспринимают все воспринимающие лица. Если такового объекта нет, то можно получить тот же результат посредством промежуточных звеньев. Здесь имеются, конечно, сложности и трудности, но они вообще близко не касаются интересующего нас предмета, и мы без вреда для дела можем игнорировать их.
   
То, что можно сказать о чисто физическом мире, является гипотетическим, поскольку физика не дает нам никаких сведений ни о чем, кроме структуры. Но имеются основания для предположения, что в каждом месте в физическом пространстве-времени в каждый момент имеется такое же множество событий, какое имеет место и в сознании. «Сосуществование», которое имеет, по-моему, только наглядное определение, проявляет себя в психологии как «одновременность в одном опыте», а в физике как «совпадение в пространстве-времени». Если, как я полагаю, мои мысли находятся в моей голове, то ясно, что эти два проявления сосуществования представляют собой различные аспекты одного и того же отношения. Однако это отождествление не является существенным для настоящей моей аргументации.
   
Когда я смотрю ясной ночью на звезды, то каждая звезда, которую я вижу, оказывает на меня какое-то воздействие и воздействует прежде на глаза, а потом на сознание. Из этого следует, что на поверхности глаза происходит нечто, причинно связанное с каждой видимой звездой. Это же соображение применимо и к обычным объектам, видимым нами при дневном свете. В данный момент я вижу белые страницы с написанными на них знаками, некоторые книги, овальный стол, бесчисленные трубы, зеленые деревья, облака и синее небо.
   
Я вижу эти предметы благодаря тому, что от них к моим глазам и от глаз к моему мозгу идет цепь физического причинения.
   
Из этого следует, что то, что совершается на поверхности моего глаза, столь же сложно, как и мое зрительное поле, фактически столь же сложно, как в целом все то, что я могу видеть. Эта сложность должна быть физической, а не только физиологической или психологической; зрительный нерв не мог бы создавать сложные реакции, какие он на самом деле создает, иначе, как под влиянием равно сложных стимулов. Мы должны думать, что везде, куда проникает свет определенной звезды, происходит нечто, связанное с этой звездой. Следовательно, в том месте, где телескоп фотографирует много миллионов звезд, должны иметь место миллионы событий, каждое из которых связано с его собственной звездой. Эти события «переживаются» только там, где есть реагирующая нервная система, но то, что они имеют место и в других областях, может быть показано фотографическими камерами и диктофонами. Поэтому нет никакой трудности в отношении принципа построения «комплексов сосуществования» там, где нет никаких воспринимающих лиц, и на тех же самых основаниях, которые мы применяли, когда имели дело с мгновенными опытами.
   
Избегая спекуляций, касающихся физического мира, в отношении которого наше знание очень ограниченно, вернемся к миру опыта. Взгляд, который я предлагаю как заслуживающий предпочтения перед допущением таких совершенно лишенных цвета индивидуальных явлений, как точки пространства или частицы материи, может быть выражен следующим образом.
   
Существует отношение, которое я называю «сосуществованием» и которое имеет место между двумя или более качествами, когда одно лицо переживает их одновременно, например, между высоким звуком «до» (звук «С») и ярко-красным цветом, когда вы слышите первый и видите второй. Мы можем образовать группы качеств, имеющие следующие два свойства: а) все члены группы являются сосуществующими; б) если дано что-либо не являющееся членом группы, то имеется по крайней мере один член группы, с которым оно не будет сосуществующим. Всякая такая полная группа сосуществующих качеств образует единое сложное целое, определяемое, когда даны его составные части, но представляющее само по себе некую единицу, а не класс. Отсюда ясно, что это есть нечто, существующее не только потому, что существуют его составные части, но и потому, что в силу своего сосуществования эти элементы образуют единую структуру. Одна такая структура, когда она состоит из психических элементов, может быть названа «полным мгновенным опытом».
   
Полные мгновенные опыты в противоположность качествам имеют временные отношения, обладающие нужными характерными чертами. Я могу видеть синее вчера, красное сегодня и снова синее завтра. Следовательно, поскольку речь идет о качествах, синее имеет место перед красным, а красное перед синим, в то время как синее, поскольку оно имело место вчера и будет завтра, имеет место перед самим собой. Мы не можем поэтому из одних качеств сконструировать такое отношение, которое может лечь в основу последовательности. Но из полных мгновенных опытов мы можем построить последовательность, если только ни один из полных мгновенных опытов целиком не повторяется. Что этого не происходит, является эмпирическим утверждением, но оно хорошо обосновано всем ходом нашего опыта. Я считаю заслугой вышеупомянутой теории то, что она избавляется от опасности стать синтетическим знанием априори. Положения, что если А предшествует В, то В не предшествует А и что если А предшествует В, а В предшествует С, то А предшествует С, являются синтетическими суждениями; более того, как мы только что видели, они не верны, если А, В и С являются качествами. Делая такие утверждения (постольку, поскольку они истинны) эмпирическими обобщениями, мы преодолеваем те тяжелые затруднения, которые при другой интерпретации этих утверждений вставали бы перед теорией познания.
   
Я возвращаюсь теперь к понятию «конкретного примера». «Пример» того или иного качества, как я склонен употреблять это слово, есть комплекс сосуществующих качеств, одним из которых является данное качество. В некоторых случаях этот взгляд кажется естественным. «Пример» человека имеет и другие качества, кроме качества человечности: «человек» этот является или белым, или черным, он или француз, или англичанин, умен или глуп и так далее Его паспорт перечисляет достаточное количество его характерных признаков, чтобы отличить его от остальных людей. Каждый из этих характерных признаков имеется, как можно предполагать, и у многих других конкретных «примеров» человека. Существуют детеныши жирафов, имеющие рост, упомянутый в его паспорте, и попугаи, день рождения которых тот же, что и у него. Только совокупность качеств делает конкретный пример единственным. И действительно, каждый человек определяется через такую совокупность качеств, из которых качество человечности является только одним из многих.
   
Но когда мы переходим к точкам пространства, моментам времени, частицам материи и тому подобным объектам, с которыми имеет дело абстрактная наука, мы чувствуем, что особенное становится как бы «чистым» примером, отличающимся от других примеров не своими качествами, а отношениями. До некоторой степени мы чувствуем это и в отношении менее абстрактных объектов; мы говорим: «Похожи, как две горошины», предполагая при этом, что между двумя горошинами нет качественных различий. Мы думаем также, что два цветовых пятна являются просто двумя и отличаются только нумерически. Я считаю, что думать таким образом ошибочно. Я сказал бы, что когда один и тот же цвет появляется сразу в двух местах, то это один цвет, а не два; при этом, однако, имеются два комплекса, в которых цвет комбинируется с теми качествами, которые дают положение в зрительном поле. Людей так навязчиво преследует идея физиков об относительности пространственного положения, что они забывают об абсолютности пространственного положения в зрительном поле. В каждый момент то, что находится в центре моего зрительного поля, имеет качество, которое может быть названо «центральностью»; то, что находится направо от него, является «правым», а что находится налево — «левым», то, что находится выше,"верхним», а что ниже — «нижним». Все это — качества зрительных данных, а не отношений. Именно комплекс, состоящий из одного из таких качеств в соединении с цветом, отличается от другого комплекса, содержащего тот же цвет в другом месте. Короче, множество примеров данного цвета образуется точно так же, как образуется и множество примеров человеческого существа, именно посредством добавления других качеств.
   
Подобные соображения применимы и к точкам, моментам и частицам, поскольку они не являются логическими функциями. Разберем сначала моменты. То, что я называю «полным мгновенным опытом», имеет все формальные свойства, которыми должен обладать какой-либо «момент» моей биографии. И оказывается, что везде, где имеется только материя, «полный комплекс сосуществования» может служить для определения момента эйнштейновского местного времени, или для определения «точки-момента» в космическом пространстве-времени. Точки в пространстве восприятия определяются без затруднений, поскольку качества сверху-снизу и направо- налево в их различных степенях уже имеют все свойства, которых мы требуем от «точек». Именно этот факт вместе с восприятием глубины заставляет нас особо выделять пространственные характеристики мира.
   
Я не думаю, что вопрос о «частицах» можно разрешить точно таким же способом. Во всяком случае, они больше уже не являются частью основоположного аппарата физики. Я сказал бы, что они представляют собой нити событий, взаимосвязанные благодаря закону инерции. Они уже не являются больше неразрушимыми и стали просто удобными приближениями.
   
Я перехожу теперь к возможному возражению против вышеприведенной теории, возражению, которое Арно выставил против Лейбница. Если «особенное» действительно является комплексом качеств, тогда утверждение, что такое-то особенное имеет такое-то качество, должно — если оно истинное — быть аналитическим; так по крайней мере должно было бы казаться. Лейбниц считал, что: 1) каждое предложение имеет субъект и предикат; 2) субстанция определяется всей совокупностью ее предикатов; 3) душа есть субстанция. Из этого следовало, что всякое истинное высказывание о данной душе состоит из упоминания какого-либо предиката, одним из тех, которые составляют данную душу. Например, «Цезарь» представлял собой совокупность предикатов, одним из которых было то, что он «перешел Рубикон». Таким образом, получается, что перейти Рубикон его принудила логика, и здесь ничего не остается на долю случайности или свободной воли. В этом пункте Лейбниц должен был согласиться со Спинозой, но он предпочел не делать этого по основаниям, дискредитирующим как его интеллект, так и его моральный характер. Вопрос заключается в следующем: могу ли я избежать согласия со Спинозой без такой же дискредитации самого себя?
   
Мы должны рассмотреть субъектно-предикатное предложение, выражающее суждение восприятия вроде: «Это красное». Что здесь представляет собой «это»? Ясно, что оно не охватывает всего моего опыта данного момента; я ведь не говорю: «Одним из качеств, которые я в настоящий момент переживаю, является краснота». Слово «это» может сопровождаться жестом, указывающим, что то, что я имею в виду, находится в определенном направлении, скажем, в центре моего зрительного поля. В этом случае сущность того, что я говорю, может быть выражена словами: «Центральность и краснота пространственно совмещаются в моем настоящем зрительном поле». Следует заметить, что в пределах широкого комплекса всего моего мгновенного опыта содержатся меньшие комплексы, образованные пространственным сосуществованием в пространстве восприятия. Всякое качество, которое я вижу в определенном направлении, в пространстве восприятия сосуществует с зрительным качеством, образующим это направление. Казалось бы, что слово «это», сопровождаемое жестом, эквивалентно описанию; например, описанию: «то, что занимает центр моего зрительного поля». Сказать, что это описание применимо к красноте значит сказать нечто явно не аналитическое. Но поскольку вместо имени употребляется описание, постольку это представляет собой не совсем то, что мы собираемся рассматривать.
   
Мы рассматривали вопрос о том, что может иметь формальные свойства, необходимые для пространственно-временного порядка. Оно должно иметь место только в одно время и в одном месте; оно не должно повторяться ни в каком другом случае или в каком-либо другом месте. Поскольку дело касается времени и физического пространства, эти условия удовлетворяются понятием «полного комплекса сосуществования», причем все равно, состоит ли этот комплекс из моих мгновенных переживаний или из полной группы совмещающихся физических качеств. (Я называю такую группу «полной» тогда, когда при добавлении чего-либо члены ее не будут больше все сосуществующими.) Но когда мы обращаемся к пространству восприятия, мы не нуждаемся в аналогичной процедуре. Если я одновременно вижу два пятна данного цвета, то они отличаются по качествам сверху вниз, направо налево и только благодаря этому приобретают особенность.
   
После этих предварительных замечаний рассмотрим вопрос о собственных именах.
   
Кажется нелепым мнение, что «Цезарь перешел Рубикон» есть аналитическое предложение. Но если оно таковым не является, тогда что мы имеем в виду под именем «Цезарь»?
   
Рассматривая Цезаря таким, каким он был, без тех ограничений, которые проистекают из нашей неосведомленности, мы можем сказать, что он представлял собой последовательность событий, каждое из которых было полным мгновенным опытом. Если бы нам нужно было определить имя «Цезарь» посредством перечисления этих событий, то в наш перечень вошел бы и переход через Рубикон, и предложение «Цезарь перешел Рубикон» было бы аналитическим. Но на самом деле мы не определяем «Цезаря» этим способом и не можем сделать этого, поскольку не знаем всех переживаний, составлявших его опыт. То, что происходит на самом деле, больше похоже на следующее: определенная последовательность переживаний имеет определенные характерные черты, которые заставляют нас называть такую последовательность «персоной». Каждая персона имеет какое-то число свойственных ей характерных черт; Цезарь, например, имел собственное имя
   
«Юлий Цезарь». Допустим, что P есть какое-то свойство, принадлежащее только одной персоне; тогда мы можем сказать: «Я даю имя А персоне, имеющей свойство p». В этом случае имя А является аббревиатурой выражения «персона, имеющая свойство p». Ясно, что если эта персона имеет также и свойства Q, тогда утверждение «А имеет свойство Q» не является аналитическим, если Q не является аналитическим консеквентом P.
   
Все это очень хорошо в отношении исторических персон, но как обстоит дело в отношении тех, кого я знаю очень близко, например, в отношении меня самого? Как обстоит дело с таким утверждением, как «мне жарко»? Согласно нашему вышеприведенному анализу, оно может быть переведено в предложение: «Жара есть одно из качеств, составляющих то, чем являюсь я теперь». Здесь «я теперь» обозначает тот же комплекс, который обозначается словами: «мой полный настоящий мгновенный опыт». Но остается вопрос: каким образом я знаю, что обозначается словами «я теперь»? То, что обозначается, находится в процессе непрерывного изменения; ни в каких двух случаях обозначение не может остаться тем же самым. Но вместе с тем ясно, что слова «я теперь» в каком-то смысле имеют постоянное значение; они являются фиксированными элементами в языке. Мы не можем сказать, что в обычном смысле «я теперь» есть такое же имя, как и «Юлий Цезарь», потому что для того, чтобы знать, что оно обозначает, мы должны знать, когда и кем оно употребляется. Не имеет оно также и никакого определяемого понятийного содержания, так как такое содержание не изменялось бы с каждым случаем его употребления. Точно такие же проблемы встают и в отношении слова «это».
   
Но хотя «я теперь» и «это» не являются именами в самом обычном смысле, я все-таки склонен думать, что в некотором смысле их следует считать именами. Собственное имя в противоположность скрытому описанию может быть дано всему тому или любой части того, что говорящий в определенный момент переживает. Когда наша словесная изобретательность оказывается несостоятельной, мы возвращаемся к слову «это» для обозначения той части нашего полного мгновенного опыта, которую мы имеем в виду, и к словам «я теперь» для обозначения полного мгновенного опыта. Я считаю, что я могу воспринять комплекс сосуществующих качеств без необходимости воспринимать все составляющие целое качества. Такому комплексу я могу дать имя «это» и затем благодаря вниманию заметить, что, скажем, краснота есть одно из составляющих его качеств. Получающееся в результате этого знание я выражаю предложением: «Это — красное», которое является соответственно суждением анализа, ЕЮ не является аналитическим суждением в логическом смысле. Комплекс может быть воспринят и без моего осознания всех его частей; когда благодаря вниманию я осознаю, что он имеет такую-то часть, получается суждение восприятия, которое анализирует целое, но не является аналитическим, потому что целое было определено как «это», а не как комплекс, состоящий из известных мне частей.
   
То, что я имею в виду, подчеркивается представителями гештальт-психологии. Допустим, что у меня есть часы, которые показывают не только часы и минуты, но и дни месяца, месяц года и год нашей эры, и допустим, что эти часы действуют в течение всей моей жизни. В этом случае они в течение моей жизни никогда не показывали бы дважды одно и то же время. Я мог бы воспринимать, что показания их всегда различны, но не мог бы сказать сразу, в чем состоит это различие. Следя внимательно за стрелками в разное время, я мог бы сказать: «В этом положении минутная стрелка находится у самой верхней точки; а в том положении она находилась у самой нижней точки». Здесь «это» и «то» просто имена, и поэтому ничто, сказанное о них, не может быть логически аналитическим.
   
Имеется и другой способ избежать заключения, что суждения являются аналитическими, когда на самом деле они явно эмпирические. Обратимся снова к нашим часам, которые никогда не повторяют своих показаний. С помощью этих часов мы могли бы определить даты безошибочно. Допустим, что когда эти часы показывают 10 часов 47 минут 15 июня 1947 года, я говорю: «Мне жарко». Это можно выразить следующим образом: «Жара сосуществует с показанием часов, которые показывают 10 часов 47 минут 15 июня 1947 года». Это, конечно, не аналитическое предложение.
   
Один из способов сделать ясным сферу и цель нашего исследования заключается в том, чтобы выразить его в терминах «минимального словаря». Мы можем задать вопрос: «Что в принципе представляет собой минимальный словарь для описания мира моего чувственного опыта?» Мы должны спросить себя: могу ли я удовлетвориться названиями качеств и словами для обозначения сосуществования и пространственных и временных отношений или мне необходимы также и собственные имена? Если нужны и собственные имена, то какого рода вещи будут нуждаться в собственных именах?
   
Я говорил, что обычные собственные имена, такие, как «Сократ», «Франция» или «Солнце», применяются к интересующим нас непрерывным отрезкам пространства-времени и что пространство-время составляется из «полных комплексов сосуществования», которые сами составляются из качеств. Согласно этой теории, «пример», скажем, цвет, есть комплекс, составной частью которого является этот цвет. Сам цвет существует везде (как мы обычно говорим), где есть нечто, обладающее этим цветом. Всякая совокупность сосуществующих качеств может быть названа «комплексом сосуществования», но он является только «полным комплексом», если не может быть расширен, не перестав при этом быть комплексом сосуществования. Иногда полный комплекс может быть определен упоминанием только некоторых его компонентов, например в вышеприведенном случае с часами, где комплекс определяется, когда сообщается положение их стрелок. Благодаря этому датирование является удобным.
   
Субъектно-предикатные предложения, выражающие суждения восприятия, высказываются двумя способами. Во-первых, если комплекс становится определенным, когда упоминаются только некоторые его составляющие качества, то мы можем утверждать, что этот комплекс имеет также какие-то другие качества; примером служит утверждение: «Мне было жарко, когда часы показывали 10 часов 47 минут».
   
Во-вторых, я могу воспринимать комплекс, не осознавая все его части; в этом случае я, уделив воспринимаемому достаточное внимание, могу высказать суждение восприятия по форме «P» есть часть «W», где «W» есть собственное имя воспринятого комплекса. Если такие суждения признаются несводимыми, то для обозначения комплексов нам нужны собственные имена. Но необходимость в таких суждениях возникает, по-видимому, благодаря незнанию, а при лучшем знании все наше W всегда может быть описано через составляющие его части. Поэтому я думаю, хотя и с некоторым колебанием, что нет теоретической необходимости в каких-либо собственных именах, кроме имен качеств и отношений. Все, что датируется и определяется через местоположение, сложно, и понятие о простом «особенном» является ошибочным.
   
Так как предмет рассмотрения этой главы несколько труден, для большей ясности и предупреждения превратного понимания полезно будет повторить основные моменты вышеприведенного рассмотрения в более краткой и менее полемической форме. Начнем с «сосуществования».
   
«Сосуществование», как я понимаю этот термин, применимо к физическому миру так же, как и к миру психическому. В физическом мире оно эквивалентно «совмещению в пространстве-времени», но это нельзя рассматривать как его определение, поскольку сосуществование необходимо для определения пространственно-временного положения. Я хочу особо подчеркнуть, что это отношение должно быть одним и тем же и в физике, и в психологии. Замечая, что многое происходит одновременно в нашем сознании, мы должны предположить, что многое совершается одновременно и в каждом месте пространства-времени. Когда мы глядим на ночное небо, каждая видимая нами звезда производит на нас свое собственное воздействие, а это возможно только в том случае, если на поверхности глаза происходят явления, связанные с каждой видимой звездой. Все эти различные явления «сосуществующие».
   
Везде, где сосуществует несколько явлений или вещей, они образуют то, что я называю «комплексом сосуществования». Если имеются другие явления или вещи, сосуществующие с первыми, то они могут быть добавлены для образования более широкого комплекса. Когда больше уже нельзя найти ничего сосуществующего с составными элементами образованного комплекса, я называю этот комплекс «полным». Таким образом, «полный комплекс сосуществования» есть такой комплекс, составные элементы которого имеют два свойства: а) все они сосуществующие и б) ничто вне этой группы не сосуществует с каждым членом группы.
   
«Я теперь» обозначает полный комплекс сосуществования, включающий в себя настоящее содержание моего сознания. Слово «это» обозначает любую часть этого комплекса, на которую я обращаю особое внимание.
   
Полные комплексы сосуществования являются субъектами пространственно-временных отношений в физическом пространстве-времени. По эмпирическим, но не логическим основаниям в высокой степени вероятно, что ни один из них не повторяется, то есть ни один из них не предшествует сам себе и не находится к северу, или к западу, или сверху по отношению к самому себе.
   
Полный комплекс сосуществования имеет значение пространственно-временной точки-момента.
   
Неполный комплекс обычно является частью различных полных комплексов; это же верно и относительно отдельного качества. Данный цвет, например, является частью каждого полного комплекса, который представляет собой пространственно-временную точку, в которой этот цвет имеет место. Сказать о каком-либо качестве или о неполном комплексе, что он «существует» в такой-то пространственно-временной точке, значит сказать, что он есть часть того полного комплекса, которым является эта точка.
   
Неполный комплекс занимает непрерывную область пространства-времени; если при этом даны две пространственно-временные точки, являющиеся частью этой области, то от одной точки к другой имеется непрерывный маршрут, полностью состоящий из точек, частью которых этот неполный комплекс является.
   
Такой комплекс может быть назван «событием». Он имеет свойство неповторяемости, но не в том смысле, что он занимает только одну пространственно-временную точку.
   
Положение данного неполного комплекса в непрерывной области может быть определено следующим образом: можно сказать, что полный комплекс В находится «между» двумя не слишком удаленными друг от друга полными комплексами А и С, если то, что является общим для A и С, есть часть В. Совокупность полных комплексов является непрерывной (для наших целей), если между любыми двумя из их числа имеются другие члены совокупности. Это, однако, только приблизительное определение; точное определение могло бы быть дано только с помощью топологии.
   
Мы никогда не можем узнать, что данный комплекс сосуществования является полным, так как всегда может оказаться что-либо такое, о чем мы не знаем, но что сосуществует с каждой частью данного комплекса. Это является другим способом выражения того, что мы не можем — в практике — определить место или дату вполне точно.
   
Некоторые неполные комплексы имеют преимущество с точки зрения установления даты. Возьмем, например, дату сегодняшней газеты и идущие в течение суток часы. Вместе они составляют комплекс, который никогда не повторяется и длительность которого так коротка, что для большинства целей нам не нужно отмечать, что она больше момента. Именно посредством таких непонятных комплексов мы фактически и определяем даты.
   
Для определения пространственного положения имеются подобные преимущества в зрительных качествах центральности, верха-низа, вправо-влево. Эти качества взаимно исключают друг друга в отношении того, что может быть названо «личным сосуществованием», которое является отношением между элементами одного полного мгновенного опыта. Например, качество центральности имеет «личное сосуществование» с цветом, занимающим центр моего зрительного поля Корреляция мест в моем личном пространстве с местами в физическом пространстве осуществляется при предположении, что если объекты зрительных восприятий не являются сосуществующими для одного лица, то сосуществующие физические объекты не являются общественно сосуществующими, но если объекты зрительных восприятии оказываются сосуществующими для одного лица, то соответствующие физические объекты могут отличаться друг от друга по их расстоянию от воспринимающего, хотя будут приблизительно согласовываться в направлении. Таким образом, сосуществование объектов восприятия для одного лица есть необходимое, но недостаточное условие для общественного сосуществования соответствующих физических объектов.
   
Следует иметь в виду, что в общем всякое увеличение числа качеств, соединяемых в комплекс сосуществования, уменьшает объем пространства-времени, который этот комплекс занимает. Полный комплекс сосуществования будет занимать отрезок пространства-времени, не имеющий таких частей, которые были бы отрезками пространства-времени; если мы предположим непрерывность, то такой отрезок будет иметь такие свойства, которых мы ждем от точки-момента. Но нет никаких оснований — ни эмпирических, ни априорных — предполагать как непрерывность, так и прерывность пространства-времени; все известное нам может быть одинаково хорошо объяснимо, исходя из каждой из этих гипотез. Если оно прерывно, то конечное число комплексов сосуществования будет занимать конечный пространственно-временной объем, и структура пространства-времени будет зернистой, подобно структуре кучи дробинок.
   
Комплекс сосуществования, как я его понимаю, оказывается определенным, когда даны составляющие его качества. Это значит, если качества q1, q2… qn все взаимно сосуществуют, то имеется один комплекс сосуществования, скажем С, который состоит из комбинации этих качеств. Логически всегда возможно, что С будет иметь место не один только раз, но я считаю, что если С достаточно сложен, то повторений фактически не будет. Нужно в нескольких словах разъяснить, что с логической точки зрения имеется в виду под словом «повторение». Для простоты ограничимся временем одной биографии и начнем с рассмотрения полных комплексов.
   
Я исхожу из предположения, что между любыми двумя полными комплексами, принадлежащими к одной биографии, имеется отношение раньше позже. Предположить, что полный комплекс может повториться, значит предположить, что полный комплекс имел отношение раньше-позже по отношению к самому себе. Я думаю, что этого не бывает, или по крайней мере не бывает в течение любого обычного периода времени. Я не намереваюсь догматически отрицать, что история, как думали некоторые стоики, может быть циклической, но эта возможность слишком маловероятна, чтобы ее нужно было брать в расчет.
   
Так как мы никогда не можем знать, что известный комплекс сосуществования является полным — поскольку на самом деле мы можем быть совершенно уверенными, что он таковым не является, — мы в практике для целей хронологии и географии пользуемся такими неполными комплексами, которые или вообще не повторяются или повторяются весьма регулярно. Календарная дата устойчиво существует в течение двадцати четырех часов, а затем резко изменяется. Некоторые часы имеют минутную стрелку, передвигающуюся по циферблату рывками один раз в минуту; показание таких часов устойчиво длится в течение одной минуты и повторяется каждые двенадцать часов. Если бы мы имели шестьдесят таких часов, расположенных по кругу и если бы каждые из них делали свой рывок один раз в секунду, после рывка часов, находящихся слева, то комплекс, состоящий из показаний всех шестидесяти часов, фиксировал бы время в течение одной секунды. При помощи таких методов точность датирования может быть бесконечно увеличена. Точно такие же замечания применимы к методам определения широты и долготы.
   
Комплекс сосуществования, хотя и определяется только тогда, когда даны все составляющие его качества, должен, однако, пониматься не как класс, являющийся чисто логической конструкцией, а как нечто, Что может стать известным и названным и без того, чтобы мы обязательно знали все составляющие его качества. Связанный с этим логический момент можно уяснить следующим образом: отношение раньше-позже имеет место прежде всего между двумя полными комплексами сосуществования и только в производном и подлежащем определению смысле между частными комплексами. В случае чисто логической структуры утверждение об этой структуре может быть сведено к утверждению о ее компонентах, но в случае временного порядка это невозможно согласно теории «особенного», принятой в этой главе. Комплекс, следовательно, может быть упомянут только способом, не сводимым к утверждению о любой или о всех его составных частях. На самом деле он представляет собой объект, который есть «это» и который может иметь собственное имя. Данная совокупность качеств только образует комплекс сосуществования, если все качества взаимно сосуществуют; когда они равны, комплекс есть нечто новое, не сводящееся только к составляющим его качествам, хотя и представляющее собой нечто единичное только тогда, когда эти качества даны.
   
Согласно вышеизложенной теории, комплекс сосуществования, который не повторяется, становится на место, традиционно занимаемое «особенным»; один такой комплекс или нить таких комплексов, причинно связанных определенным образом, представляет собой определенного рода объект, которому условно принято давать собственное имя. Но комплекс сосуществования относится к тому же логическому типу, что и отдельное качество; это значит, что любое утверждение, имеющее значение в отношении любого из них, имеет значение, хотя, вероятно, и не истинное, и в отношении другого.
   
Мы можем согласиться с Лейбницем в том, что только наше незнание делает имена для комплексов необходимыми. В теории каждый комплекс сосуществования может быть определен через перечисление составляющих его качеств. Но на самом деле мы можем воспринимать комплекс, не воспринимая всех составляющих его качеств; в этом случае, если мы обнаруживаем, что определенное качество является его компонентом, нам нужно имя для комплекса, чтобы выразить то, что мы обнаружили. Необходимость в собственных именах, следовательно, связана с нашим способом приобретения знания и исчезла бы, если бы наше знание было полным.
  
  
   
    
ГЛАВА 9
    
ПРИЧИННЫЕ ЗАКОНЫ
   
   
Практическая польза науки зависит от ее способности предвидеть будущее. Когда бросались атомные бомбы, ожидалось, что большое число японцев умрет, что и случилось. Такие весьма удовлетворительные результаты привели в наше время к преклонению перед наукой, основой для которого является то наслаждение, которое мы получаем от удовлетворения нашего стремления к могуществу. Самые могущественные общества людей являются и самыми развитыми в научном отношении, хотя могуществом, даваемым знанием, владеют не ученые. Наоборот, настоящие ученые быстро попадают в положение государственных пленников, осужденных их жестокими хозяевами на рабский труд, подобно подвластным джинам в «Арабских ночах». Но мы не должны больше тратить время на такие приятные темы. Могущество науки своим происхождением обязано открытию наукой причинных законов, и именно эти законы и являются предметом нашего рассмотрения в этой главе.
   
«Причинный закон», как я буду употреблять этот термин, может быть определен как главный принцип, в силу которого — если имеются достаточные данные об определенной области пространства-времени — можно сделать какой-то вывод об определенной другой области пространства-времени. Вывод может быть только вероятным, но эта вероятность должна быть значительно больше половины, если интересующий нас принцип заслуживает названия «причинного закона». Я намеренно сделал вышеприведенное определение очень широким. Во-первых, вовсе не обязательно, чтобы область, о которой мы делаем вывод, была по времени более поздней, чем та, от которой мы в выводе исходим. Правда, имеются некоторые законы, особенно второй закон термодинамики, которые позволяют делать выводы скорее относительно будущего, чем прошедшего, но это не является общей характеристикой причинных законов. Например, в геологии почти все выводы обращены к прошлому. Во-вторых, мы не можем сформулировать правила, касающиеся числа исходных данных, необходимых для установления закона. Если бы когда-нибудь стало возможным сформулировать законы эмбриологии в терминах физики, то потребовались бы чрезвычайно сложные исходные данные. В-третьих, вывод может быть только о более или менее общем характере выводимого события или событий. До Галилея было известно, что не поддерживаемые тяжелые тела падают, что было причинным законом; но не было известно, как быстро они падают, так что, когда какое-либо тело падало, было невозможно точно сказать, где оно будет через какой-либо данный промежуток времени. В-четвертых, если закон устанавливает высокую степень вероятности, он может быть почти столь же удовлетворительным, как если бы он устанавливал достоверность. Я не имею в виду, что сама вероятность закона истинна; причинные законы, как и все остальное наше знание, могут быть ошибочными. Я имею в виду только то, что некоторые законы устанавливают вероятности, например статистические законы квантовой теории. Такие законы, даже если допустить, что они вполне истинны, делают выводимые на основе их события только вероятными, но это не мешает считать их причинными законами, согласно вышеприведенному определению.
   
Одним преимуществом признания законов, которые дают только вероятность, является то, что они позволяют нам ввести в науку грубые обобщения, от которых отправляется обыденный здравый смысл, вроде таких, как «огонь жжет», «хлеб питает», «собаки лают» или «львы свирепы». Все эти примеры являются примерами причинных законов, и тем не менее все они имеют исключения, так что в каком-либо конкретном случае они дают только вероятность. Огонь на пудинге не жжет вас, отравленный хлеб не питает, некоторые собаки слишком ленивы, чтобы лаять, а некоторые львы так привязываются к своим воспитателям, что перестают быть свирепыми. Но в огромном большинстве случаев вышеприведенные обобщения являются надежным руководством к действию. Имеется большое число таких приблизительных повторяемостей, принятых в нашем повседневном поведении, и именно из них возникло понятие причинных законов. Правда, научные законы не столь просты; они усложнились в попытках придать им такую форму, в которой они были бы свободны от исключений. Но старые более простые законы остаются действенными, поскольку они рассматриваются как законы, утверждающие только вероятность.
   
Причинные законы бывают двух видов: одни, касающиеся постоянства, и другие, касающиеся изменений. Первые часто не рассматриваются как причинные, но это неверно. Хорошим примером закона постоянства является первый закон движения. Другим примером является закон постоянства материи. После открытия кислорода, когда стал понятным процесс горения, стало возможным рассматривать материю как неуничтожимую. Истинность этого закона теперь стоит под сомнением, но он остается истинным для большинства практических целей. Более точным в смысле истинности является закон постоянства энергии. Постепенное развитие законов, устанавливающих постоянства, началось с веры обыденного здравого смысла, основанной на донаучном опыте, говорящем, что большинство твердых объектов продолжает существовать, пока на распадается от старости или не уничтожается огнем, и что когда это происходит, все-таки остается возможность предполагать, что какие-то небольшие их части сохраняются в другой форме. Именно эта, донаучная точка зрения и положила начало вере в материальную субстанцию.
   
Причинные законы, касающиеся изменения, были открыты Галилеем и Ньютоном и сформулированы с помощью ускорения, то есть изменения скорости по величине, или направлению, или по тому и другому. Величайшим триумфом этой точки зрения был закон тяготения, согласно которому каждая частица материи вызывает в каждой другой ускорение, прямо пропорциональное массе притягивающей частицы и обратно пропорциональное квадрату расстояния между ними. Однако данная Эйнштейном форма закона тяготения сделала его больше сходным с законом инерции и в некотором смысле с законом постоянства, чем с законом изменений. Согласно Эйнштейну, пространство-время наполнено тем, что можно было бы назвать «холмами»; каждый такой «холм» становится круче, по мере того как вы на него поднимаетесь, и на своей вершине имеет кусок материи. Результатом этого является то, что самым легким путем от одного места до другого является путь, огибающий эти «холмы». Закон тяготения состоит в том, что тела всегда избирают легчайший путь, который называется «геодезическим». Существует закон космической лености, называемый «принципом наименьшего действия», который устанавливает, что когда тело движется от одного места к другому, оно избирает путь, требующий наименьшей затраты работы. Благодаря этому принципу тяготение сводится к геометрии пространства-времени.
   
Основными законами изменения в современной физике являются законы квантовой теории, которые управляют переходом энергии из одной формы в другую. Атом может испускать энергию в форме света, который затем двигается без изменений, пока не встретится с другим атомом, который может поглотить энергию света. Такие обмены энергией управляются определенными правилами, которых не достаточно, чтобы сказать, что произойдет в данном случае, но которые могут с очень высокой степенью вероятности предсказать статистическое распределение возможных случаев в очень большом числе обменов. Это самое большее, чего физика может достичь в настоящее время в отношении основного характера причинных законов.
   
Все, что (как мы думаем) мы знаем о физическом мире, целиком зависит от допущения, что причинные законы существуют. Ощущения и то, что мы оптимистически называем «восприятиями», суть события в нас. В действительности мы не видим физических объектов, так же как не слышим электромагнитных волн, когда слушаем радио. Если бы мы не имели основания верить, что наши ощущения имеют внешние причины, мы могли бы думать, что существует только то, что мы непосредственно переживаем. Поэтому важно исследовать нашу веру в причинение. Является ли она просто предрассудком или имеет под собой твердое основание?
   
Вопрос об оправдании нашей веры в причинность относится к теории познания, и я поэтому пока откладываю его. В этой части книги моей целью является интерпретация науки, а не исследование оснований предположения о ее правильности. В некотором смысле наука признает причинность, и наш вопрос сводится к следующему: в каком смысле причинность связана с научным методом?' Следующие страницы в сокращенной форме предваряют более полное обсуждение, приводимое в пятой и шестой частях этой книги.
   
Вообще говоря, научный метод состоит в изобретении гипотез, соответствующих данным опыта, которые являются настолько простыми, насколько это совместимо с требованием соответствия опыту, и которые делают возможным выведение заключений, подтверждаемых затем наблюдением. Теория вероятности показывает, что правильность этого процесса зависит от допущения, которое может быть грубо сформулировано как постулат существования определенного рода общих законов. Этот постулат в соответствующей форме может сделать научные законы вероятными, тогда как без него эти научные законы не обладают даже вероятностью. Мы должны поэтому исследовать это допущение и найти наиболее приемлемую его форму, в которой он окажется и наиболее эффективным и возможно истинным.
   
Если не существует предела сложности возможных законов, то всякий воображаемый ход событий будет подчиняться законам, и тогда допущение о существовании законов станет тавтологией. Возьмем, например, номера всех такси, которые я нанимал в течение моей жизни, и моменты времени, когда я нанимал их. Мы получим конечный ряд целых чисел и конечное число соответствующих моментов времени. Если n есть номер такси, которое я нанял в момент времени t, то бесконечным числом способов безусловно можно найти такую функцию f, что формула
   
n = f(t)
   
будет истинной для всех значений n и f, которые до сего времени имели место. Бесконечное число этих формул окажется неверным в отношении следующего такси, которое я найму, но все еще будет бесконечное число таких, которые останутся истинными. К тому времени, когда я умру, можно будет прекратить счет, и все-таки еще останется бесконечное число возможных формул, каждая из которых могла бы притязать на значение закона, связывающего номер такси с моментом времени, когда я его нанимаю.
   
Достоинство этого примера для моей настоящей цели заключается в его явной абсурдности. В том смысле, в котором мы верим в естественные законы, мы сказали бы, что не существует закона, связывающего n и t вышеприведенной формулы, и что если какая-либо из предложенных формул окажется действенной, то это будет просто делом случая. Если бы мы нашли формулу, действенную для всех случаев, вплоть до настоящего времени, то мы не ждали бы, что она будет действенной в следующем случае. Только суеверный человек, действующий под влиянием эмоций, поверит в такого рода индукцию; игроки в Монте-Карло прибегают к индукциям, которые, однако, ни один ученый не одобрит. Однако совсем нелегко установить разницу между индукциями суеверного игрока и индукциями вдумчивого ученого. Ясно, что различие между ними имеется, но в чем оно состоит? И является ли это различие таким, чтобы повлиять на логическую правильность индукции, или оно состоит только в различии в отношении явности апеллирования к чувствам? Является ли вера в научный метод только суеверием ученого, свойственным тому виду игры, в которой он участвует? Эти вопросы, однако, относятся к теории познания. Сейчас я хочу заняться вопросом, не почему мы верим, а во что мы верим, когда верим в естественные законы.
   
Стало обычным говорить об индукции как о том, что необходимо для того, чтобы сделать истинность научных законов вероятной. Я не думаю, что простая и чистая индукция является чем-то основополагающим. Это показывает вышеприведенный пример с номерами такси. Все прошлые наблюдения в отношении этих номеров совместимы с каким угодно числом законов формы n = f(t), а эти законы будут, как правило, давать разные значения для следующего n. Мы не можем поэтому использовать их для предсказания, а в действительности не имеем склонности верить ни в один из них. Обобщая все это, мы можем сказать: каждый конечный ряд наблюдений совместим с каким угодно числом взаимно несовместимых законов, которые имеют совершенно одни и те же индуктивные свидетельства в свою пользу. Таким образом, чистая индукция несостоятельна и, кроме того, не является тем, во что мы на самом деле верим.
   
Всякий раз, когда индуктивное свидетельство делает, как нам кажется, предполагаемый закон очень вероятным, закон этот предполагается и кажется правдоподобным более или менее независимо от этого свидетельства. Когда дело происходит таким образом, последующее подтверждающее свидетельство кажется чрезвычайно убедительным.
   
Это, однако, верно только отчасти. Если предполагается закон, следствия которого сильно отличаются от того, что мы готовы были ожидать, и если он затем подтверждается наблюдением, то мы бываем более склонны поверить в него, чем в том случае, если его результаты оказываются обычными для нас. Но в таком случае может казаться правдоподобным сам закон, хотя его следствия при этом и оказываются удивительными. Возможно, что одним из самых важных следствий научного образования является способность изменять гипотезы, которые с первого взгляда кажутся вероятными. Именно эта причина, а не прямое отрицательное свидетельство, привела к упадку веры в колдовство. Если бы у вас было известное количество внешне похожих коробок, а в некоторых из них содержались бы гиростаты, и если бы вы показали эти коробки дикарю, сказав при этом, что произнесением магической формулы вы можете сделать так, что ни одну из них нельзя будет перевернуть, то индуктивное свидетельство скоро убедило бы его, что вы говорите правду, тогда как научно образованный человек стал бы искать другого объяснения, вопреки повторяющимся явным подтверждениям вашего «закона».
   
Индукция, кроме того, не подтверждает множества выводов, в отношении которых наука чувствует себя в высшей степени уверенной. Мы все убеждены, что когда много людей слышат звук одновременно, то их общее восприятие звука имеет внешний источник, который передается через промежуточную среду звуковыми волнами. Не может быть индуктивного свидетельства (кроме как в некотором расширенном смысле этого слова) в пользу чего-либо, находящегося вне человеческого опыта, вроде звуковой волны. Наш опыт будет тем же самым независимо от того, имеются ли на самом деле звуковые волны или же имеют место слуховые ощущения, как если бы звуковые волны существовали, хотя они на самом деле и не существуют: никакое индуктивное свидетельство не может дать преимущество какой-либо из этих гипотез. Тем не менее на самом деле каждый признает реалистическую гипотезу, даже философ-идеалист, кроме того времени, когда он судит в соответствии со своей профессией. Мы делаем это на том основании, что нам нечего делать с индукцией — отчасти потому, что предпочитаем, чтобы законы были насколько возможно более простыми, отчасти же потому, что верим в то, что причинные законы должны обладать свойством пространственно-временной непрерывности, то есть не должны предполагать действие на расстоянии.
   
В установлении научных законов опыт играет двойную роль. С одной стороны, через наблюдение наличия или отсутствия предсказанных гипотезой следствий опыт или ясно подтверждает или опровергает гипотезу, а с другой стороны, прежний опыт определяет, какую гипотезу мы предварительно считаем вероятной. Но, кроме этих влияний опыта, имеются некоторые неопределенные общие ожидания, и если они не сообщают определенным видам гипотез некую ограниченную априорную вероятность, то научные выводы бывают недейственными. Совершенствуя научный метод, важно как можно больше уточнять эти ожидания и исследовать, подтверждает ли успех науки в какой-либо степени их достоверность. После уточнения эти ожидания являются, конечно, совсем не тем, чем они были, когда оставались неопределенными, но пока они остаются неопределенными, вопрос об их истинности или ложности также остается неопределенным.
   
Мне кажется, что то, что может быть названо «верой» науки, более или менее сводится к следующему: имеются формулы (причинные законы), связывающие как воспринимаемые, так и невоспринимаемые события; эти формулы выражают пространственно-временную непрерывность, то есть они не предполагают прямого и непосредственного отношения между событиями, находящимися на конечном расстоянии друг от друга. Формула, имеющая вышеупомянутые характеристики, становится в высокой степени вероятной, если она, кроме ее согласованности со всеми прошлыми наблюдениями, дает нам возможность предсказывать другие события, которые затем подтверждаются и которые были бы невероятными, если бы формула была ложной.
   
Оправдание этой «веры», если оно возможно, относится к теории познания. Наша настоящая задача сводится только к установлению этого. Однако необходимо все-таки обсудить происхождение и развитие этой «веры».
   
Существует много различных постулатов, которые могут быть приняты в качестве основы научного метода, но их трудно сформулировать с необходимой точностью. К ним относится закон причинности, принцип единообразия природы, — постулат о господстве закона, вера в естественные виды и принцип ограниченного многообразия Кейнса, наконец, принцип структурного постоянства и пространственно-временной непрерывности. Из всех этих довольно расплывчатых предположений необходимо отобрать какую-то отличающуюся определенностью аксиому или аксиомы, которые, будучи верными, придадут научным выводам желаемую степень истинности.
   
Принцип причинности появляется в трудах почти всех философов в той элементарной форме, в которой он никогда не фигурирует ни в одной достаточно развитой науке. По мнению философов, наука признает, что если дан какой-либо определенный класс событий А, то всегда есть какой-то другой класс событий В, такой, что А «причинно обусловливается» этим В; более того, они считают, что всякое событие относится к какому-либо из таких классов.
   
Большинство философов считало, что «причина» есть нечто отличающееся от «неизменного антецедента». Это отличие может быть иллюстрировано опытом Гейлинкса с двумя часами, которые идут абсолютно согласованно: когда одни из них показывают час, другие бьют, но мы, однако, не думаем, что первые «причинно обусловливают» бои других. Один далекий от естественной науки член моего колледжа заметил с замешательством, что «барометр перестал оказывать какое бы то ни было влияние на погоду». Это замечание было воспринято как шутка, но если бы под «причиной» имелся в виду «неизменный антецедент», то это не было бы шуткой. Предполагается, что когда А причинно обусловливается В, следствие является не просто только фактом, а становится в некотором смысле необходимым. Это понимание связано со спорами о свободной воле и детерминизме, отражением которых служат следующие строки поэта:
   
    
     
Черт возьми! — сказал один молодой человек, —
     
Горько узнавать, что я представляю собой созданье,
     
Движущееся по заранее проложенным рельсам,
     
Что я, одним словом, не автобус, а трамвай.
    
   
   
В противоположность этому взгляду большинство эмпиристов считало, что слово «причина» обозначает не что иное, как «неизменный антецедент». Затруднения, связанные с этим взглядом и со всяким предположением, что научные законы имеют форму «А причинно обусловливает В», заключаются в том, что такие следствия редко бывают неизменными и что, даже если они действительно неизменны, легко можно представить себе обстоятельства, которые помешают им быть неизменными. Если вы скажете человеку, что он дурак, то, как правило, он рассердится, но он может оказаться святым или может умереть от удара прежде, чем успеет рассердиться. Если вы чиркаете о спичечную коробку спичкой, то последняя обычно загорается, но иногда она ломается или бывает отсыревшей. Если вы бросаете камешек вверх, то обычно он падает снова вниз, но его может проглотить орел, вообразивший, что это птица. Если вы хотите двинуть своей рукой, то обычно она будет двигаться, но этого не случится, если она парализована. Таким образом, все законы, имеющие форму «А причинно обусловливает В», подвержены исключениям, так как всегда может произойти нечто, что помешает наступить ожидаемому результату.
   
Тем не менее имеются основания (значение и роль которых выявится в шестой части книги) для признания законов формы «А причинно обусловливает В», если только мы признаем их с соответствующими предосторожностями и ограничениями. Понятие о более или менее постоянных устойчивых физических объектах в форме, придаваемой им обыденным здравым смыслом, предполагает понятие «субстанции», а если «субстанцию» отвергнуть, то мы должны найти какой-либо другой способ определения тождества физического объекта в различное время. Я думаю, что это должно быть сделано с помощью понятия «причинной линии». Я называю последовательность событий «причинной линией», если при том условии, что даны некоторые из них, мы можем вывести что-либо о других без необходимости знать что-либо об окружающих обстоятельствах. Например, если двери и окна моей комнаты закрыты и я, время от времени оглядываясь, вижу, что моя собака спит на коврике перед камином, то я делаю вывод, что она находится там, или по крайней мере где-то в комнате, и в то время, когда я не гляжу на нее. Фотон, идущий от звезды к моему глазу, является последовательностью событий, подчиняющихся внутреннему закону, но перестающих подчиняться ему, когда фотон достигает моего глаза. Когда два события принадлежат одной и той же причинной линии, то о более раннем из них можно сказать, что оно есть «причина» более позднего. Благодаря такому вниманию законы формы «А причинно обусловливает В» могут сохранять определенное значение. Они важны как в связи с восприятием, так и в связи с устойчивостью материальных объектов.
   
Именно возможность какой-либо зависимости от внешних условий привела физику к тому, что она сформулировала свои законы в форме дифференциальных уравнений, которые могут рассматриваться как формулы того, что имеет тенденцию к проявлению. Классическая же физика, как уже говорилось выше, когда имеет дело с несколькими причинами, действующими одновременно, представляет результат их действия в виде векторной суммы, так что в каком-то смысле каждая причина производит свое следствие, как если бы не действовала никакая другая причина. Однако в действительности вся концепция «причины» сводится к понятию «закона». А законы, в том виде, в каком они встречаются в классической физике, имеют дело с тенденциями в тот или иной момент. То, что реально совершается, должно быть выведено с помощью векторной суммы всех тенденций момента и последующего интегрирования для нахождения результата, наступающего спустя какой-то ограниченный период времени.
   
Все эмпирические законы выводятся из ограниченного числа наблюдений, восполняемых с помощью интерполяции и экстраполяции. То, что должно выполняться интерполяцией, не всегда адекватно реализуется. В качестве примера возьмем видимые движения планет. Мы полагаем, что в течение дня они сохраняют свое плавное движение, которое легко согласуется с их наблюдаемым движением в течение предшествующих и последующих ночей. Возможной гипотезой является то, что планеты существуют только тогда, когда их наблюдают, но это допущение сделало бы законы астрономии чрезвычайно сложными. Если против этого допущения будут возражать и говорить, что планеты можно непрерывно фотографировать, то этот же вопрос возникает в отношении фотографий: существуют ли они, когда на них никто не смотрит? Это опять вопрос интерполяции, а интерполяция оправдывается тем, что она формулирует самые простые законы, совместимые с данными наблюдения.
   
Этот же принцип применим и к экстраполяции. Астрономия говорит не только о том, что делают планеты с тех пор, как существуют астрономы, но и о том, что они будут делать и что они делали до того времени, как появился некто, кто стал их наблюдать. Об экстраполяции часто говорят, что она будто бы предполагает какой-то другой по сравнению с интерполяцией принцип, но на самом деле здесь принцип тот же самый: выбирать простейший закон, который согласуется с известными фактами.
   
В качестве постулата, однако, этот принцип не защищен от очень серьезных возражений. «Простой» — есть очень неопределенное понятие. Кроме того, часто случается, что простой закон спустя некоторое время оказывается слишком простым, тогда как правильный закон гораздо более сложным. Но в таких случаях простой закон обычно бывает приблизительно верным. Если поэтому мы утверждаем только то, что закон приблизительно верен, то нас нельзя обвинить в ошибке ссылкой на то, что какой-то другой закон дает еще большее приближение.
   
Единообразие природы, о котором иногда говорят как о принципе, не имеет определенного смысла вне его связи с законами природы. Если принимается, как уже данное, что существуют законы природы, то принцип единообразия природы означает, что время и пространство явно не должны выступать в формулах законов: законы должны быть одними и теми же в различных частях пространства-времени. Этот принцип может быть, а может и не быть верным, но он, во всяком случае, недостаточен в качестве постулата, поскольку он уже предполагает существование законов.
   
Признание существования естественных видов лежит в основе большинства донаучных обобщений, вроде «собаки лают» или «дерево плавает». Сущность «естественного вида» заключается в том, что он представляет собой класс объектов, все из которых обладают свойствами, о которых неизвестно, что они логически взаимосвязаны. Собаки лают, рычат и виляют хвостами, тогда как кошки мяучат, мурлычут и облизываются. Мы не знаем, почему все представители видов животных имеют так много общих качеств, но мы наблюдаем, что они имеют их, и основываем наши ожидания на том, что наблюдаем. Мы очень удивились бы, если бы кошка начала лаять.
   
Естественные виды важны не только в биологии. Атомы и молекулы также являются естественными видами, как и электроны, позитроны и нейтроны. Квантовая теория ввела новую форму естественных видов в своей дискретной серии уровней энергии. Теперь стало возможным понимать первичную структуру физического мира не как непрерывный поток, по способу традиционной гидродинамики, а скорее в пифагорейском смысле, согласно которому модели создаются по аналогии с кучей дробинок. Если во времена Дарвина считалось, что эволюция «медленно совершается от прецедента к прецеденту», то теперь считается, что она идет революционными скачками посредством мутаций или различного рода отклонений.
   
Может быть, войны и революции сделали нас нетерпеливыми по отношению к постепенности: как бы то ни было, но современные научные теории гораздо больше подвержены всякого рода толчкам и тряске, чем плавный космический ход упорядоченного прогресса, каким его воображали себе люди викторианской эпохи.
   
Все это имеет большое значение для индукции. Если вы имеете дело со свойством, характерным для естественного вида, то вы смело можете делать обобщение на основании очень немногих примеров. Лают ли собаки? Услышав, как лают с полдюжины собак, вы с уверенностью ответите: «Да», — потому что вы убеждены заранее, что или все собаки лают, или ни одна из них не лает. Когда вы обнаруживаете, что несколько кусков меди являются хорошими проводниками электричества, вы без колебаний признаете, что это верно для меди вообще. В таких случаях обобщение обладает априорной вероятностью, и индукция здесь в меньшей степени ненадежна, чем в других случаях.
   
Кейнс сформулировал постулат, с помощью которого, по его мнению, индуктивный вывод может быть оправдан; он называет его принципом ограниченного многообразия. Он представляет собой форму признания естественных видов. Это одно из средств получения общих положений, которые, будучи истинными, говорят о силе научного метода. Ниже я буду говорить об этом подробнее. Сказанное же в этой главе является только предварительным рассмотрением вопроса.
  
  
   
    
ГЛАВА 10
    
ПРОСТРАНСТВО-ВРЕМЯ И ПРИЧИННОСТЬ
   
   
Физические события упорядочиваются физикой в четырехмерное многообразие, называемое пространством-временем. Это многообразие является усовершенствованием старого многообразия «вещей», упорядоченного в различные пространственные структуры, изменяющиеся во времени; а это в свою очередь было усовершенствованием того многообразия, которое получалось в результате предположения точного соответствия между восприятием и «вещами». Без сомнения, физика хотела бы забыть свою раннюю историю, которая, подобно истории многих установлений, не так уж много делает ей чести, как этого хотелось бы. Но, к несчастью, ее право на наше уважение в значительной мере опорочивается ее прежней связью с наивным реализмом; даже в ее наиболее утонченной форме она все еще является тем произведением, основное содержание которого дает наивный реализм.
   
Перцептуальное пространство является конструкцией обыденного здравого смысла, созданной из различных сырых материалов. Тут есть зрительные пространственные отношения: наверху-внизу, направо-налево, глубина на определенное расстояние (за пределами которого различия в глубине не воспринимаются). Тут имеются и различия в осязательных ощущениях, которые позволяют нам отличать прикосновение к одной части тела от прикосновения к другой. Тут есть и довольно неопределенная способность определения направления звука. Затем здесь имеются установленные в опыте корреляции, из которых самой важной является корреляция зрения и осязания; имеются, наконец, наблюдения движения и опыт движущихся частей нашего собственного тела.
   
Из таких сырых материалов (вышеприведенный перечень не претендует на полноту) обыденный здравый смысл конструирует единое пространство, содержащее воспринимаемые и невоспринимаемые объекты, причем воспринимаемые объекты отождествляются с объектами восприятия, согласно принципам наивного реализма. Невоспринимаемыми объектами для, обыденного здравого смысла являются, во-первых, объекты, которые мы воспринимали бы, если бы находились в соответствующем положении и обладали бы должным образом приспособленными органами чувств, во-вторых, объекты, воспринимаемые только другими, и объекты, находящиеся внутри Земли, которые никем не воспринимаются, а выводятся обыкновенным рассудком.
   
При переходе от мира обыденного здравого смысла к миру физики некоторые положения обыденного здравого смысла сохраняются, хотя и в измененной форме. Например, мы предполагаем, что мебель нашей комнаты продолжает существовать и тогда, когда мы не видим ее. Обыденный здравый смысл полагает, что то, что продолжает существовать, есть то самое, что мы видим, когда смотрим, а физика говорит, что то, что продолжает существовать, есть внешняя причина того, что мы видим, то есть обширное собрание атомов, подверженных частым квантовым превращениям. В ходе этих превращений они испускают энергию, которая при вступлении в контакт с человеческим телом оказывает на него различные воздействия, некоторые из которых называются «восприятиями». Две одновременные части одного зрительного восприятия находятся в определенном зрительном пространственном отношении, которое является компонентом целого восприятия; физические объекты, соответствующие этим частям моего целого восприятия, имеют отношение, грубо соответствующее этому зрительному пространственному отношению. Когда я говорю, что отношение «соответствует», я имею в виду, что оно является частью системы отношений, имеющей до некоторой степени ту же самую геометрию, которую имеют и элементы зрительного восприятия, и что расположение физических объектов в физическом пространстве имеет явное отношение к расположению объектов восприятия в пространстве восприятия.
   
Но это соответствие никоим образом не является точным. Сравним для упрощения нашей проблемы небесные тела, как они есть, с тем, как они проявляются. Если брать их в той форме, в какой они проявляются, то они не отличаются явно друг от друга по расстоянию от нас; они выглядят яркими точками или пятнами на небесной сфере. Это значит, что их положение в зрительном пространстве определяется только двумя координатами. Но затмения и затемнения скоро привели к взгляду, что на самом деле они находятся не на одинаковых расстояниях от Земли, хотя они находились не на одинаковых расстояниях от Земли еще задолго до того, как были признаны различия в расстоянии между неподвижными звездами. Для того чтобы установить положение небесного тела по отношению к нам, нам нужны три полярные координаты r, f, y. Было предположено, что f и y могут быть одними и теми же как для физической звезды, так и для воспринимаемой, а r должно быть вычислено; и действительно, вычисление r составляет очень значительную часть того, чем занимается астрономия. Допущение, что f и y одни и те же как в зрительном, так и в физическом пространстве, эквивалентно предположению, что свет распространяется прямолинейно. Со временем выяснилось, что это предположение не вполне правильно, но оно достаточно правильно для первого приближения.
   
Хотя f и y астрономического пространства и имеют приблизительно ту же числовую меру, что и f и y зрительного пространства, но они все же не тождественны с ними. Если бы они были тождественны, гипотеза о том, что свет распространяется не вполне прямолинейно, не имела бы смысла. Это иллюстрирует сразу и связь, и различие между зрительным пространством, видимым нами, когда мы смотрим на ночное небо, и астрономическим пространством, сконструированным астрономами. Связь между ними удерживается очень близкая, хотя лишь до известного пункта, за пределами которого от нее следует отказаться, если мы должны верить в сравнительно простые законы, управляющие реальными и видимыми движениями небесных тел.
   
Небольшие расстояния от нас не определяются тщательно разработанными методами, необходимыми в астрономии. Мы можем грубо «видеть» небольшие расстояния, хотя стереоскоп нас и обманывает в этом отношении. Мы думаем, что вещи, касающиеся нашего тела, находятся рядом с той его частью, которой они касаются. Когда вещи нас не касаются, мы иногда можем подвинуться так, чтобы прийти в контакт с ними; количество необходимого для этого движения приблизительно измеряет их первоначальное расстояние от нас. Мы имеем, таким образом, три обычных для обыденного здравого смысла способа определения расстояния до видимых объектов на поверхности земли. Научные приемы определения расстояния используют эти приемы как свою основу, но уточняют их с помощью физических законов, выводимых на их основе. Весь процесс основан на исправлениях и уточнениях. Если определения расстояний и величин, даваемые обыденным здравым смыслом, правильны в грубом приближении, тогда и некоторые физические законы правильны в грубом приближении. Если эти законы вполне правильны, то в определения обыденного здравого смысла должны быть внесены небольшие поправки. Если различные законы не вполне совместимы, то они должны быть приспособлены, пока несогласованность не исчезнет. Таким образом, наблюдение и теория взаимодействуют; то, что в научной физике называется наблюдением, обычно включает в себя значительный элемент теории.
   
Оставим теперь соображения, касающиеся стадий приближения к теоретической физике, и сравним обработанный физический мир с миром обыденного здравого смысла. Предположим, что я вижу лютик и колокольчик (дикий гиацинт); обыденный здравый смысл говорит, что лютик — желтый, а колокольчик — голубой. Физика же говорит, что электромагнитные волны, имеющие различную частоту, идут от солнца и достигают этих двух цветков; когда они достигают их, лютик рассеивает волны такой частоты, которые производят ощущение желтого цвета, а колокольчик рассеивает те, которые производят ощущение голубого цвета. Предполагается, что это различие в эффекте двух цветков происходит от какого-то различия в их структуре. Таким образом, хотя желтый и голубой цвета существуют только там, где есть глаз, различие между ними позволяет нам сделать вывод о различиях между физическими объектами в том направлении, в каком мы видим соответственно желтое и голубое в отдельности.
   
Обыденный здравый смысл конструирует единое пространство, содержащее «вещи», которые объединяют такие открываемые различными чувствами свойства, как горячее, твердое и яркое. Эти «вещи» помещаются обыденным здравым смыслом в трехмерном пространстве, в котором расстояние не может быть определено методами обыденного здравого смысла, если оно не очень мало, физика до недавнего времени сохраняла нечто вроде «вещей», но называла это «материей» и лишала ее всех свойств, кроме положения в пространстве. Положение части материи в пространстве грубо отождествлялось с положением соответствующей «вещи», не говоря уже о том, что расстояние, если оно было велико, должно было вычисляться довольно тщательно разработанными научными методами.
   
В этом собирании и выборе некоторых верований обыденного здравого смысла физика действовала и действует без определенных сформулированных принципов, но тем не менее по какому-то неосознанному плану, который мы должны попытаться раскрыть. Частью этого плана всегда является сохранение мира обыденного здравого смысла, насколько это только возможно без слишком тяжелых усложнений; другой частью этого плана является выдвижение таких неопровержимых предположений, которые ведут к признанию простых причинных законов. Эта последняя процедура скрыто содержится и в вере обыденного здравого смысла в «вещи»: мы не верим, что видимый мир перестает существовать, когда мы закрываем наши глаза и считаем, что кошка существует, когда она украдкой ест сливки, так же как и тогда, когда мы наказываем ее за это. Все это — «вероятный» вывод: логически вполне можно предположить, что мир состоит только из моих восприятии, и вывод о существовании мира обыденного здравого смысла, как и мира физики, не доказателен. Но сейчас я не хочу выходить за пределы обыденного здравого смысла; я хочу только рассмотреть переход от обыденного здравого смысла к физике.
   
Современная физика отошла дальше от обыденного здравого смысла, чем физика XIX столетия. Она рассталась с материей, заменив ее последовательностью событий; она отвергла непрерывность в микроскопических явлениях; и она заменила статистическими средними значениями строго детерминистическую причинность, обусловливающую каждое индивидуальное событие. Но она все еще сохранила очень многое из того, источником чего является обыденный здравый смысл. В случае рассмотрения макроскопических явлений непрерывность и детерминизм еще сохраняют свое значение, а для многих целей все еще сохраняется и материя.
   
Мир физики по содержанию больше, чем мир восприятий, и в некоторых отношениях больше, чем мир обыденного здравого смысла. Но, превосходя их обоих по количеству своего содержания, мир физики уступает им в познанном качественном разнообразии. И обыденный здравый смысл, и физика дополняют восприятия предположением, что вещи не перестают существовать, когда их никто не воспринимает, и дальнейшим предположением, что никогда не воспринимавшиеся вещи часто могут быть результатом вывода. Физика дополняет мир обыденного здравого смысла теорией микроскопических явлений; то, что она утверждает об атомах и их истории, превосходит то, о чем позволяет себе делать выводы обыденный здравый смысл.
   
Имеются две особенно важные цепи событий: первая — цепь событий, составляющих историю данной части материи; вторая — цепь событий, связывающих объект с его восприятием. Например, Солнце имеет биографию, состоящую из всего того, что происходит в той части пространства-времени, которую оно занимает; об этой биографии можно сказать, что она есть Солнце. Но от него также исходит радиация, некоторая часть которой достигает глаз и мозга и является причиной такого события, которое называется «видением Солнца» Вообще говоря, первая группа событий состоит из квантовых переходов, вторая же — из лучистой энергии. Соответственно имеются две группы причинных законов, одна группа связывает события, принадлежащие к одной и той же части материи, а другая — части одного и того же излучения. Имеется также и третья группа законов, касающихся перехода от энергии атома к лучистой энергии, и наоборот.
   
Процесс восприятия, как мы знаем его путем самонаблюдения, кажется чем-то совершенно непохожим на события, которые рассматривает физика. Поэтому если существуют выводы от восприятий к физическим событиям или от физических событий к восприятиям, то должны быть законы этих выводов, которые с первого взгляда не являются физическими. Я склонен думать, что физика может быть интерпретирована, чтобы включить в себя и эти законы, но сейчас я не буду рассматривать эту возможность. Наша проблема, следовательно, сводится к следующему: признавая восприятия, как мы знаем их из опыта, и физические события, как о них говорит физика, какие мы знаем законы, которые связывают те и другие и тем самым позволяют делать выводы от одних к другим?
   
Ответ на этот вопрос очевиден и для обыденного здравого смысла. Мы видим, когда свет касается глаза, слышим, когда звук касается уха, осязаем, когда тело находится в контакте с чем-либо другим, и так далее. Эти законы не являются законами физики или физиологии, если физику не подвергать новой радикальной интерпретации. Они являются законами, устанавливающими физические антецеденты восприятия. Эти антецеденты отчасти находятся вне тела воспринимающего (за исключением случаев, когда он воспринимает что-либо происходящее в его собственном теле), отчасти в его органах чувств и нервах и отчасти в его мозгу. Расстройство в любом из этих антецедентов служит помехой для восприятия. Но если один из этих последних антецедентов бывает причинно обусловлен необычным способом, то и восприятие будет таким, каким оно было бы, если бы причинение было обычным, и воспринимающий в таком случае оказывается обманутым, например чем-либо видимым в зеркале или слышимым по радио, если он предварительно не освоился с зеркалами и радио.
   
Каждый отдельный вывод от восприятия к физическому объекту может поэтому быть ошибочным в том смысле, что он может служить причиной ожиданий, которые не сбываются. Он не будет обычно ошибочным в этом смысле, поскольку привычка делать такой вывод должна была образоваться на основе большого числа случаев, когда этот вывод подтверждался. Но здесь необходимо небольшое уточнение. С практической точки зрения вывод от восприятия подтверждается в том случае, если он возбуждает ожидания, которые сбываются. Это, однако, все остается в пределах восприятия. Из всего этого следует только то, что наши выводы, касающиеся физических объектов, согласуются с опытом, но могут быть и другие гипотезы, равно согласующиеся с опытом.
   
Подтверждение наших выводов от восприятия к физическим объектам зависит от согласованности всей системы в целом. Во-первых, от обычных восприятии мы приходим к элементарной физике; этого достаточно, чтобы выделить в отдельную категорию сновидения, миражи и так далее, которые противоречат элементарной физике. Затем мы принимаемся совершенствовать нашу элементарную физику так, чтобы она могла включать в себя необычные явления; имеется, например, очень хорошая физическая теория миражей. Идя таким путем, мы научаемся относиться к нашему материалу критически и образуем понятие «опытного наблюдателя». Во имя закона мы критически относимся к восприятиям и во имя восприятий критически относимся к законам; постепенно, по мере усовершенствования физики, устанавливается все более и более совершенная гармония между восприятием и законами.
   
Но когда я говорю, что мы начинаем критически относиться к восприятиям, я должен предостеречь от неправильного понимания. Восприятия, конечно, существуют, и та теория, которая пытается отрицать их, является ложной; но некоторые восприятия, причинно обусловленные необычным способом, ведут обыденный здравый смысл к ошибочным выводам. Мираж является хорошим примером этого. Если я вижу озеро, которое является только миражем, я вижу его так же хорошо, как если бы предметом моего видения было физическое озеро; я ошибаюсь не в отношении восприятия, а в отношении того, что оно значит. Восприятие заставляет меня думать, что если я пойду в определенном направлении, то я дойду до воды, которой я могу напиться, и в этом я ошибаюсь; но мое зрительное восприятие может быть совершенно таким же, каким оно было бы, если бы я видел действительную воду. Мои познания в физике, если они достаточны, должны объяснять не только то, что на самом деле воды нет, но также и то, почему мне кажется, что вода есть. Ошибочное восприятие ошибочно не в отношении самого восприятия, а в отношении его причинных коррелятов, антецедентов и консеквентов; часто ошибка коренится в анимальном выводе. Тот факт, что анимальные выводы могут быть ошибочными, является одним из оснований в пользу того, чтобы считать их выводами.
   
Отношение физических законов к опыту совсем не является простым. Вообще говоря, законы могут быть опровергнуты опытом, но не могут быть доказаны им. Это значит, что они утверждают больше, чем может удостоверить один только опыт. В случае миража, если я сначала поверил в реальность воды, а затем сообразил, что большое озеро не может высохнуть в течение нескольких часов, я могу обнаружить, что мираж привел меня к ложной вере. Но ложной верой может оказаться и вера в то, что озеро не может высохнуть так скоро. Вера в продолжение существования материальных объектов в течение интервала между двумя случаями, когда их наблюдают, является верой, которая с точки зрения логики не может быть доказана наблюдением. Допустим, что я выдвигаю гипотезу, что столы, когда никто на них не смотрит, превращаются в кенгуру; это предположение сделало бы законы физики весьма сложными, но никакое наблюдение не могло бы его опровергнуть. Законы физики, в той их форме, в какой мы их принимаем, должны не только быть в согласии с наблюдением, но должны также иметь определенные, эмпирически недоказуемые черты простоты и непрерывности и в отношении того, что не наблюдается. Вообще мы думаем, что на физические явления не оказывает воздействия тот факт, что их наблюдают, хотя это и не считается вполне правильным в отношении тех мельчайших событий, на которых основывается квантовая теория.
   
Если бы физика стала совершенной, она имела бы две характерные черты. Во-первых, она могла бы предсказывать восприятия; никакое восприятие не было бы в противоречии с тем, ожидать чего внушала бы нам физика. Во-вторых, она предполагала бы, что ненаблюдаемые физические события управляются причинными законами, сходными (насколько это только возможно) с теми, которые мы выводим на основе непрерывного наблюдения. Например, если я слежу за движущимся телом, то я вижу, что движение, которое я наблюдаю, чувственно непрерывно; я поэтому предполагаю, что всякое движение — все равно, наблюдают ли за ним или нет, — приблизительно непрерывно.
   
Это приводит нас к вопросу о причинных законах и физическом пространстве-времени. Физическое пространство-время, как мы видели, является выводом из пространства и времени восприятия; оно содержит все наблюдаемые, а также и все ненаблюдаемые события. Но поскольку оно является выводным, постольку и локализация событий в нем есть также результат вывода. Локализация событий в физическом пространстве-времени осуществляется двумя способами. Во-первых, существует корреляция между пространством и временем восприятия и физическим пространством-временем, хотя эта корреляция является только грубой и приблизительной. Во-вторых, причинные законы физики приписывают какой-то порядок соответствующим событиям и только отчасти с помощью этих законов ненаблюдаемые события локализуются в пространстве-времени.
   
Причинный закон — как я употребляю этот термин — есть любой закон, который, будучи истинным, при некотором числе событий дает возможность сделать какой-то вывод о каком-то другом событии (или других событиях). Например, «планеты движутся по эллипсам» — есть причинный закон. Если этот закон истинен, то поскольку пять точек определяют эллипс, постольку пять данных положений планеты (теоретически) позволили бы нам вычислить орбиту этой планеты. Большинство законов, однако, не обладает этой простотой; они обычно выражаются в форме дифференциальных уравнений. Когда они выражаются таким способом, они предполагают определенный порядок: каждое данное событие должно иметь четыре координаты, а соседними событиями являются такие, координаты которых незначительно отличаются от координат данного события. Однако встает вопрос: как мы приписываем координаты событиям в физическом пространстве-времени? Я полагаю, что при этом мы пользуемся причинными законами. Это значит, что отношение причинных законов к пространственно-временному порядку является взаимно-эквивалентным. Правильной формулировкой является следующая: события могут быть упорядочены в такой четырехмерный порядок, что когда они так упорядочены, они оказываются взаимосвязанными с помощью причинных законов, которые приблизительно непрерывны, то есть что события, координаты которых различаются очень незначительно, различаются между собой также очень незначительно. Или иначе: при данном любом событии имеется последовательность очень сходных событий, в которой временная координата непрерывно изменяется от меньшей к большей по сравнению с координатой данного события и в которой пространственные координаты изменяются непрерывно около координат данного события. Этот принцип, очевидно, не применим к квантовым переходам, но он применим для макроскопических событий и для всех событий (вроде световых волн), где нет материи.
   
Корреляция между физическим и воспринимаемым пространством-временем, которая является только приблизительной, осуществляется следующим образом: в видимом пространстве, если объекты достаточно близки и в силу этого различия их глубины воспринимаемы, каждое зрительное восприятие имеет три полярные координаты, которые могут быть названы расстоянием, положением по вертикали вверху-внизу и положением по горизонтали направо-налево. Все эти положения являются качествами восприятия, и все доступны измерению. Мы можем приписать те же самые числовые координаты физическому объекту, который мы видим, но эти координаты здесь не будут иметь того же самого значения, какое они имеют в зрительном пространстве. Именно благодаря тому, что они не имеют того же самого значения, корреляция может быть только очень грубой, например в том случае, когда объект наблюдается сквозь преломляющую среду. Но хотя эта корреляция и груба, она все же очень полезна для установления первого приближения к координатам событий в физическом пространстве-времени. Последующие уточнения делаются с помощью причинных законов, примером чего может опять служить преломление света.
   
Нет никакого логического основания для вопроса, почему должны быть такие причинные законы или известные отношения, устанавливающие среди событий такой четырехмерный порядок. Обычным аргументом в пользу признания физических законов является то, что эти законы представляют собой те простейшие из изобретенных до сего времени гипотез, которые согласуются с наблюдением везде, где оно возможно. Они не являются, однако, единственными гипотезами, согласующимися с наблюдением. Не ясно также, по какому праву мы объективируем наше предпочтение простых законов.
   
То, что физика говорит о мире, гораздо более абстрактно, чем это кажется, потому что мы воображаем, что ее пространство таково, каким мы его знаем по нашему опыту, и что ее материя есть род вещи, которая ощущается как твердая, когда мы ее касаемся. На самом деле — даже при допущении истинности физики — мы знаем очень мало о физическом мире. Рассмотрим сначала теоретическую физику в ее абстрактной форме, а затем в ее отношении к опыту.
   
Как абстрактная система физика в настоящее время утверждает нечто следующее: существует многообразие, называемое многообразием событий, которое имеет такую систему отношений между его элементами, посредством которой оно приобретает определенную четырехмерную геометрию. Существует также негеометрическая величина, называемая «энергией», которая неравномерно распределена по всему многообразию, но некоторое конечное количество ее имеется в каждом конечном объеме. Общее количество энергии постоянно. Законы физики суть законы, касающиеся изменений в распределении энергии. Для того чтобы установить эти законы, мы должны различать два вида областей пространства: те, которые называются «пустыми», и те, о которых говорят, что они содержат «материю». Существуют очень маленькие материальные системы, называемые «атомами»; каждый атом может содержать любую из определенных дискретных, счетных множеств последовательностей количеств энергии. Иногда он внезапно отдает ограниченное количество энергии нематериальному окружению. Иногда он внезапно поглощает ограниченное количество энергии из окружающей среды. Законы, касающиеся этих переходов от одного уровня энергии к другому, являются только статистическими. В данный период времени, если он не слишком короток, будет иметь место, при данном состоянии окружающей среды, исчислимое количество переходов всевозможного рода, причем меньшие переходы более обычны, чем большие.
   
В «пустом пространстве» законы проще и более определенны. Порции энергии, покидающие атом, распространяются равномерно во всех направлениях, двигаясь со скоростью света. Двигается ли порция энергии волнообразно, или прерывно, или еще каким-либо способом, представляющим собой комбинацию первых двух, — все это условно. Все протекает просто, пока лучистая энергия не придет в соприкосновение с атомом, после чего атом может поглотить ограниченное количество ее с той же самой индивидуальной индетерминированностью и статистической регулярностью, которые применимы и к испусканию атомами энергии.
   
Количество испускаемой атомом энергии при каком-либо данном переходе определяет «частоту» получающейся в результате лучистой энергии. А частота в свою очередь определяет воздействие, которое лучистая энергия может оказать на любую материю, с которой она может встретиться. Слово «частота» ассоциируется с волнами, но если отбросить волновую теорию света, то «частота» может пониматься как измеримое, но не получившее определения качество радиации. Измеримо оно по своему действию.
   
Вот и все о теоретической физике как об абстрактной логической системе. Остается рассмотреть, как она связана с опытом.
   
Начнем с геометрии пространства-времени. Мы допускаем, что положение точки в пространстве-времени может быть определено четырьмя действительными числами, называемыми координатами; обычно также полагают, хотя это и несущественно, что каждой группе, состоящей из четырех действительных чисел в качестве координат (если они не слишком большие), соответствует какое-либо положение в пространстве-времени. Принятие этих предположений упрощает дело. Если мы принимаем их, то число положений в пространстве-времени будет таким же, как и число действительных чисел, обозначаемое знаком С. Теперь о каждом классе, состоящем из отдельных С, мы можем утверждать любую геометрию, в которой имеется взаимооднозначное соответствие между положением и ограниченным упорядоченным множеством действительных чисел (координат). Поэтому спецификация геометрии многообразия не говорит нам ничего, если не дано упорядочивающее отношение. Поскольку физика намерена давать эмпирическую истину, постольку упорядочивающее отношение не должно быть чисто логическим отношением вроде такого, какое могло бы быть сконструировано в чистой математике, но должно быть отношением, определяемым в терминах, полученных из опыта. Если упорядочивающее отношение получается из опыта, то утверждение, что пространство-время имеет такую-то геометрию, имеет в основном эмпирическое содержание, но если это отношение получается не из опыта, то об эмпирическом содержании говорить нельзя.
   
Я предполагаю, то упорядочивающим отношением является смежность или сосуществование в том их смысле, в каком мы знаем эти отношения из чувственного опыта. Об этом следует кое-что сказать.
   
Смежность (соприкосновение) есть свойство, обнаруживаемое зрением и осязанием. Две части зрительного поля являются смежными, если их видимые расстояния и их угловые координаты (вверху-внизу, направо-налево) отличаются очень мало. Две части моего тела соприкасаются, если качества, с помощью которых я локализую прикосновение в этих двух частях, отличаются очень мало. Соприкосновение квантитативно и поэтому позволяет нам получить последовательность восприятий: если А, В и C соприкасаются, но B больше соприкасается с A и C, чем они между собой, то B должно быть помещено между A и C. Имеется также смежность и во времени. Когда мы слышим предложение, первое и второе слова более смежны друг с другом, чем первое и третье. Таким способом, посредством пространственной и временной смежности, элементы нашего опыта могут быть организованы в упорядоченное многообразие. Мы можем признать, что это упорядоченное многообразие является частью упорядоченного многообразия физических событий и упорядочено тем же самым отношением.
   
Что касается меня, то я все-таки предпочитаю отношение «сосуществования». Если мы используем это отношение, то мы предполагаем, что каждое событие занимает какое-то ограниченное количество пространства-времени; это значит, что ни одно событие не ограничено одной точкой пространства или одним моментом времени. О двух событиях можно сказать, что они «сосуществуют», когда они совмещаются в пространстве-времени; это является определением для абстрактной физики. Но нам необходимо, как мы видели, определение, полученное из опыта. В качестве наглядного определения из опыта я дал бы следующее: два события «сосуществуют», когда они относятся друг к другу так же, как относятся друг к другу две одновременные части одного опыта. В каждый данный момент я вижу определенные вещи, слышу другие, осязаю третьи, вспоминаю четвертые и ожидаю пятые. Все эти восприятия, воспоминания и ожидания происходят во мне сейчас; я скажу, что они взаимно «сосуществуют». Я полагаю, что это отношение, которое я знаю из своего собственного опыта, может также иметь место между событиями, остающимися вне опыта, и может быть отношением, посредством которого конструируется порядок пространства-времени. Это будет иметь следствием то, что два события оказываются сосуществующими, когда они совмещаются в пространстве-времени, что, если пространственно-временной порядок берется как уже определенный, может в «пределах физики» служить в качестве определения сосуществования.
   
Сосуществование не есть то же самое, что и одновременность, хотя последнее и предполагает ее. Сосуществование, как я его понимаю, должно рассматриваться как нечто известное из опыта и имеющее только наглядное определение. Я также не определил бы «сосуществование» как «одновременность в опыте одного человека». Я протестовал бы против этого определения по двум основаниям: во-первых, потому, что его нельзя было бы распространить на те физические явления, которые не попадают ни в чей опыт; во-вторых, потому, что «опыт» представляет собой неопределенное слово. Я сказал бы, что событие «переживается в опыте», когда оно дает начало привычке, и что вообще это происходит только в том случае, если событие совершается там, где есть живая материя. Если это правильно, то «опыт» не является основоположным понятием.
   
Но теперь встает вопрос: можем ли мы построить пространственно-временной порядок из одного сосуществования или нам нужно для этого что-то еще? Возьмем более простую гипотезу. Предположим, что имеется n событий a1, a2, … аn, и предположим, что at сосуществует только с а2, а2 сосуществует с a1 и a3, aз — с a2 и a4 и так далее. Тогда мы можем построить порядок a1, a2,… an. Мы скажем, что событие находится «между» двумя другими, если оно сосуществует с обоими, но они притом не сосуществуют друг с другом; и в более общем виде: если a, b, c суть три разных события, мы скажем, что b находится «между» a и c, если события, сосуществующие и c a и c c, представляют собой подлинную часть событий, сосуществующих с b. Это можно рассматривать как определение отношения «между». Дополненное соответствующими аксиомами, оно может лечь в основу того порядка, который нам нужен.
   
Следует заметить, что мы не можем построить пространственно-временного порядка из эйнштейновского отношения «интервала». Интервал между двумя отрезками луча света равен нулю, и все же мы должны различать световой луч, который идет от A к В, и луч, идущий от В к А. Это показывает, что одного «интервала» недостаточно.
   
Если принять вышеупомянутое рассуждение, то точки пространства-времени становятся классами событий. Я разбирал этот вопрос в книге «Анализ материи» и в главах VI и VIII этой части и не буду поэтому больше его касаться.
   
Этого достаточно для определения пространственно-временного порядка в терминах опыта. Остается восстановить связь физических событий, совершающихся во внешнем мире, с восприятиями.
   
Когда энергия, испускаемая материей в результате квантовых переходов, движется без дальнейших квантовых переходов к данной части человеческого тела, она служит началом цепи квантовых переходов, которые в конце концов достигают мозга. Из правила «Одна и та же причина — одно и то же действие» с его следствием, «Разные действия — разные причины» вытекает, что если две линии лучистой энергии, падая на одну и ту же точку тела, становятся причинами различных восприятий, то должно быть различие в этих двух линиях и, следовательно, и в квантовых переходах, которые дают им начало. При допущении существования причинных законов этот аргумент кажется бесспорным и дает основание для вывода от восприятий к материальному источнику того процесса, посредством которого они создаются.
   
Я думаю — хотя и говорю это с уверенностью, — что различение между пространственным и временным расстоянием требует рассмотрения причинных законов. Это значит, что если есть причинный закон, связывающий событие А с событием В, то А и В разделены во времени и делом условия является, будем ли мы считать их также разделенными и в пространстве. В этом понимании содержатся, однако, некоторые трудности. Множество людей может слышать или видеть что-либо одновременно, и в этом случае имеется причинная связь без временного интервала. Но в таком случае связь не прямая, подобно отношению, связывающему родных или двоюродных братьев; это значит, что она идет сначала от действия к причине, а затем от причины к действию. Но как можем мы отличать причину от действия до установления временного порядка? Эддингтон говорит, что мы делаем это с помощью второго закона термодинамики. В отношении сферической радиации мы принимаем, что радиация идет от центра, а не к центру. Ко поскольку я хочу связать физику с опытом, я предпочел бы сказать, что мы устанавливаем временной порядок с помощью памяти и нашего непосредственного опыта временной последовательности. То, что вспоминается, относится, по определению, к прошлому; и в пределах являющегося настоящего есть более раннее и более позднее. Все' сосуществующее с чем-либо вспоминаемым, а не с моим настоящим опытом также относится к прошлому. Отправляясь от этого, мы можем определение временного порядка и различение прошлого и будущего распространять шаг за шагом на все события. Мы можем тогда отличать причину от действия и говорить, что причины всегда бывают по времени раньше, чем действия.
   
Согласно вышеприведенной теории, имеются определенные элементы, которые переносятся без изменений из мира чувств в мир физики. Эти элементы следующие: отношение сосуществования, отношение более раннего и более позднего, некоторые элементы структуры и различия в некоторых обстоятельствах, то есть, когда мы испытываем различные ощущения, относящиеся к одному и тому же чувству, мы можем предположить, что их причины различны. Это остаток наивного реализма, который все еще живет в физике. Он продолжает жить прежде всего потому, что не никакого положительного аргумента против него, потому, что связанная с ним физика соответствует известным фактам, и потому, что предрассудок заставляет нас склоняться к наивному реализму всегда, когда его нельзя опровергнуть. Остается исследовать, имеются ли для признания физики какие-либо лучшие основания, кроме вышеприведенных.
  
  
   
    
ЧАСТЬ ПЯТАЯ
    
Вероятность
   
   ВВЕДЕНИЕ
   
Обычно считается, что выводы науки и обыденного здравого смысла отличаются от выводов дедуктивной логики и математики в весьма важном отношении, а именно в том, что, когда посылки истинны и само рассуждение правильно, заключение только вероятно. Мы имеем основания верить, что Солнце взойдет завтра, и каждый согласится, что в практике мы можем вести себя так, как если бы эти основания подтверждали достоверность. Но когда мы исследуем их, мы находим, что они оставляют место, хотя и незначительное, для сомнения. Это подтверждаемое сомнение имеет три вида. Что касается первых двух, то: во-первых, могут быть относящиеся к делу факты, которых мы не знаем; во-вторых, законы, которые мы должны принять для того, чтобы предсказывать будущее, могут быть неверными. Первое основание для сомнения не имеет большого значения для нашего настоящего рассмотрения, но второе таково, что требует детального исследования. Существует и третий вид сомнения, который возникает тогда, когда мы знаем закон относительно действия того, что что-либо происходит обычно или может быть в подавляющем большинстве случаев, хотя и не всегда; в этом случае мы имеем право ожидать то, что происходит обычно, хотя и не с полной уверенностью. Например, если человек бросает кости, то случаи, когда будут выпадать две шестерки десять раз подряд, очень редки, хотя это и не невозможно; мы поэтому имеем право ожидать, что он не сможет бросать кость так, чтобы две шестерки выпадали десять раз подряд, но наше ожидание должно иметь оттенок сомнения. Все эти виды сомнения включают нечто такое, что может быть названо «вероятностью», но это слово может иметь разные значения, которые для нас важно выяснить.
   
Математическая вероятность возникает всегда из комбинации двух высказываний, одно из которых может быть полностью известным, а другое совершенно неизвестно. Если я вытащу из колоды карту, то каков шанс, что это будет туз? Я полностью знаю строение колоды карт и знаю, что одна из каждых тринадцати карт есть туз; но я совершенно не знаю, какую карту я вытащу. Но если я говорю: «Вероятно, Зороастр существовал», — то я высказываю что-то о степени недостоверности или о правдоподобии в добавлении к одному предложению: «Зороастр существовал». Это понятие сильно отличается от понятия математической вероятности, хотя во многих случаях оба эти понятия связывают друг с другом.
   
Делом науки является выведение законов из частных фактов. Вывод подобного рода не может быть дедуктивным, кроме того случая, когда в добавление к частным фактам среди наших посылок имеются общие законы; с чисто логической точки зрения это совершенно очевидно. Иногда думают, что, хотя частные факты и не могут сделать закон достоверным, все же они могут сделать его вероятным. Частные факты, конечно, могут быть причиной веры в общее предложение; именно тот факт, что в нашем опыте нам приходится встречаться со смертью отдельных людей, послужил причиной нашей веры в то, что все люди смертны. Но если наша вера в смертность всех людей оправдывается, то это как общее правило, происходит потому, что определенные виды частных фактов служат доказательством общих законов. А поскольку дедуктивная логика не знает никакого подобного принципа, постольку всякий принцип, который должен оправдывать вывод от частного к общему, должен быть законом природы, то есть утверждением, что действительная вселенная имеет определенный характер, который она могла бы и не иметь. Я попытаюсь исследовать такой принцип или принципы в шестой части этой книги; в пятой же части я буду только отстаивать ту мысль, что индукция через простое перечисление не является таким принципом, и если не подвергнуть ее жестким ограничениям, то можно доказать, что она незаконна.
   
В науке мы выводим не только законы, но также и частные факты. Если мы читаем в газете, что король умер, мы делаем вывод, что он мертв; если оказывается, что мы должны совершить длинное путешествие по железной дороге без возможности поесть в дороге, то мы делаем вывод, что нам придется поголодать. Все такие выводы могут быть оправданы только в том случае, если есть возможность установить законы. Если бы не было общих законов, то знание каждого человека было бы ограничено только его личным опытом. Больше необходимости в том, чтобы законы существовали, чем в том, чтобы их знали. Если за А всегда следует В и если какое-либо животное, увидев А, ожидает В, то об этом животном можно сказать, что оно знает о наступлении B без знания общего закона. Но хотя некоторое знание о еще не воспринятых фактах и может быть получено таким путем, все-таки достигнуть многого без знания общих законов невозможно. Такие законы в общем устанавливают вероятность (в одном смысле) и сами только вероятны (в другом смысле). Например, вероятно (в одном смысле), что если вы больны раком, то вероятно (в другом смысле), что вы умрете. Это положение вещей делает очевидным, что мы не можем достигнуть понимания научного метода без предварительного исследования различных видов вероятности.
   
Но хотя такое исследование и необходимо, я все-таки не думаю, что вероятность имеет такое большое значение, какое ей придают некоторые авторы. Значение, которое она имеет, возникает двумя путями. С одной стороны, нам нужны в качестве предпосылок науки не только данные, полученные благодаря восприятию и памяти, но также и определенные принципы синтетического вывода, которые не могут быть установлены дедуктивной логикой или аргументами, полученными из опыта, поскольку они предполагаются во всяком выводе от фактов опыта к другим фактам или законам. Можно допустить, что эти посылки не вполне достоверны, то есть что они не обладают наивысшей «степенью правдоподобия». Одной из задач нашего анализа этой формы вероятности будет показать вопреки противоположному мнению Кейнса, что данные и посылки вывода могут быть недостоверными. Это — один путь, на котором теория вероятности оказывается нужной, но есть также и другой. Случается, что мы часто знаем (в некотором смысле слова «знаем»), что что-то происходит обычно, но, возможно, не всегда, например, что за молнией следует гром. В этом случае мы имеем класс случаев А, большинство из которых, как мы имеем основание думать, принадлежит к классу В. (В нашем примере А суть периоды времени, наступающие сейчас же после молнии, а В периоды времени, когда слышится гром.) В таких условиях, когда дан случай класса А, относительно которого мы не знаем, является ли он случаем класса B, мы имеем право сказать, что он, «вероятно», является членом класса В. Здесь слово «вероятно» имеет не тот смысл, который ему придается, когда мы говорим о степенях правдоподобия, а совсем другой, который оно имеет в математической теории вероятности.
   
На основании этих соображений, а также и потому, что логика вероятности гораздо менее полна и гораздо менее бесспорна, чем элементарная логика, необходимо развить теорию вероятности подробнее и исследовать различные спорные вопросы ее интерпретации. Следует помнить, что все обсуждение вопроса о вероятности играет роль предварительного введения к исследованию постулатов научного вывода.
  
  
   
    
ГЛАВА 1
    
ВИДЫ ВЕРОЯТНОСТИ
   
   
Попытки создать логику вероятности были многочисленны, но против большинства из них выдвигались роковые для них возражения. Одной из причин ошибочности этих теорий было то, что они не различали — или, скорее, намеренно смешивали — в корне различные понятия, которые в обычном словоупотреблении имеют одинаковое право называться словом «вероятность». В этой главе я намереваюсь провести предварительное и дискурсивное исследование этих разных понятий, откладывая до следующих глав попытку достичь строгих определений.
   
Первым весьма значительным фактом, который мы должны взять в расчет, является существование математической теории вероятности. Среди математиков, занимающихся этой теорией, существует весьма полное согласие в отношении всего того, что может быть выражено в математических символах, но вместе с тем полностью отсутствует согласие в отношении интерпретации математических формул. При таких обстоятельствах самым простым путем является перечисление аксиом, из которых эта теория может быть выведена, и принятие решения, что любое понятие, которое удовлетворяет требованиям этих аксиом, имеет с математической точки зрения одинаковое право называться словом «вероятность». Если имеется много таких понятий и если мы решаем сделать выбор среди них, то мотивы нашего выбора должны лежать вне математики.
   
Есть одно очень простое понятие, которое удовлетворяет требованиям аксиом теории вероятности и которое по другим основаниям имеет преимущество перед другими. Если дан конечный класс В, имеющий n членов, и если известно, что количество m из них принадлежит к какому-то другому классу A, то мы говорим, что если выбрать наудачу какой-либо член класса В, то шанс, что он будет принадлежать к классу А, будет равен числу m /n. Вопрос о том, соответствует ли это определение тому употреблению, которое мы хотим сделать из математической теории вероятности, мы будем рассматривать позже; если оно не соответствует, мы должны будем поискать какую-либо другую интерпретацию математической вероятности.
   
Следует иметь в виду, что здесь не встает вопрос об истинности или ложности. Любое понятие, которое удовлетворяет требованиям аксиом, может рассматриваться как понятие, которое само есть математическая вероятность. Действительно, возможно, что в одном контексте может быть удобным принять одну интерпретацию, а в другом — другую, так как удобство является единственным руководящим мотивом. Такова обычная ситуация при интерпретации математической теории. Например, как мы видели, вся арифметика может быть выведена из пяти аксиом, перечисленных Пеано, и, следовательно, если все, чего мы хотим от чисел, есть только то, что они должны повиноваться правилам арифметики, то мы можем определить, как ряд натуральных чисел, любой ряд, удовлетворяющий пяти аксиомам Пеано. Однако эти аксиомы удовлетворяются любой прогрессией, и, в частности, рядом натуральных чисел, начинающимся не с 0, а со 100, 1000 или с любого другого конечного целого числа. Только в том случае, если мы хотим, чтобы наши числа служили для перечисления, а не только для арифметики, мы получаем основание для выбора ряда, начинающегося с 0. Точно так же обстоит дело и в математической теории вероятности, где избираемая интерпретация может зависеть от той цели, которую мы имеем в виду.
   
Слово «вероятность» часто употребляется так, что не допускает или по крайней мере не допускает явно своей интерпретации как отношения чисел двух ограниченных классов. Мы можем сказать: «Вероятно, Зороастр существовал», «Вероятно, теория тяготения Эйнштейна лучше, чем теория Ньютона», «Вероятно, все люди смертны». Это не следует смешивать с предложением: «Все люди, вероятно, смертям». Но мы могли бы утверждать, что в этих случаях имеются определенные показания, о которых известно, что они в громадном большинстве случаев сочетаются с определенного рода выводами; таким путем теоретически и здесь можно было бы применить определение вероятности как отношения чисел двух классов. Следовательно, возможно, что примеры вроде вышеприведенных не предполагают нового значения «вероятности».
   
Есть, однако, два афоризма, которые все мы склонны принимать без особой проверки, но которые, если их принять, предполагают такую интерпретацию «вероятности», которую, по-видимому, нельзя примирить с вышеприведенными определениями. Первым из этих афоризмов является изречение епископа Батлера, что «вероятность есть руководитель жизни». Вторым является положение, что все наше знание только вероятно, на чем особенно настаивал Рейхенбах.
   
Изречение епископа Батлера, очевидно, имеет силу в соответствии с одной очень распространенной интерпретацией «вероятности». Когда, как это обычно бывает, я не уверен в том, что должно произойти, но должен действовать в соответствии с той или иной гипотезой, мне обычно и вполне правильно советуют выбирать наиболее вероятную гипотезу и всегда правильно советуют учитывать степень вероятности при принятии решения. Но существует очень важное логическое различие между вероятностью этого рода и математической вероятностью, а именно то различие, что последняя касается пропозициональных функций, а первая — высказываний. Когда я говорю, что шанс, что монета выпадет лицевой стороной, равен половине, то это отношение между двумя пропозициональными функциями «х есть бросание монеты» и «х есть бросание монеты, которая выпадает лицевой стороной». То есть высказываний, содержащих неопределенные переменные, например «А есть человек», которые становятся высказываниями, когда мы приписываем переменной (в приведенном примере переменной А) какое-либо значение. Если мне приходится делать вывод, что в каком-либо отдельном случае шанс выпадения лицевой стороной равен 1/2, то я должен сказать, что рассматриваю этот частный случай только как отдельный пример. Если бы я мог вникнуть во все его частности, я мог бы теоретически решить, упадет ли монета лицевой или оборотной стороной, и тогда я больше уже не был бы в сфере вероятности. Когда мы применяем вероятность в качестве руководителя наших действий, то это происходит потому, что наше знание недостаточно; мы знаем, что рассматриваемое событие является членом класса событий В, и мы можем знать, какая часть членов этого класса принадлежит к некоему классу А, которым мы интересуемся. Но эта часть будет изменяться в соответствии с нашим выбором класса В; мы, таким образом, получим различные вероятности, одинаково ценные с математической точки зрения. Для того чтобы вероятность могла стать руководителем практики, мы должны иметь какой-то способ выбора одной вероятности как действительной вероятности. Если мы не можем этого сделать, то все различные вероятности остаются одинаково ценными, и мы останемся без руководства.
   
Возьмем пример, когда каждый здравомыслящий человек руководствуется вероятностью. Я имею в виду страхование жизни. Я выясняю условия, на которых некая страховая компания согласна застраховать мою жизнь, и должен решить, будет ли страхование на этих условиях выгодной сделкой именно для меня, а не для страхования вообще.
   
Моя задача отличается от задачи страховой компании и является гораздо более трудной. Страховая компания не интересуется моим индивидуальным случаем: она предлагает страхование всем членам определенного класса и нуждается только в учете статистических средних чисел. Но я могу верить, что у меня есть особые основания думать, что я проживу долго или что я похож на того шотландца, который умер на другой день после уплаты последнего страхового взноса, успев сказать с последним вздохом: «Я всегда был счастливым парнем». Тут имеет значение каждое обстоятельство в моем здоровье и в моем образе жизни, но некоторые из этих обстоятельств могут быть настолько необычными, что я не смогу получить сколько-нибудь надежной помощи от статистики. Наконец, я решаю проконсультироваться с врачом, который, задав мне несколько вопросов, благожелательно говорит: «О, я думаю, что вы проживете до 90 лет». Я с сожалением сознаю не только то, что его суждение поспешно и не научно, но также и то, что он хочет сказать мне что-то приятное. Вероятность, к которой я в конце концов прихожу, является, таким образом, чем-то в высшей степени неопределенным и совершенно не поддающимся числовому измерению; но именно на основании этой неопределенной вероятности я, как последователь епископа Батлера, и должен действовать.
   
Вероятность, являющаяся руководителем жизни, не относится к математическому виду вероятности не только потому, что она относится не к произвольным данным, а ко всем данным, которые с самого начала имеют отношение к вопросу, но также и потому, что она должна учитывать нечто целиком лежащее вне сферы математической вероятности, что можно назвать «внутренне присущей сомнительностью». Именно это и имеется в виду, когда говорят, что все наше познание только вероятно. Возьмем, например, воспоминание о далеком прошлом, которое стало настолько забытым, что мы не можем больше относиться к нему с доверием, звезду, настолько тусклую, что мы не уверены в том, действительно ли мы ее видим, или шум, настолько слабый, что мы думаем, что он нам только кажется. Это крайние случаи, но в меньшей степени такого рода сомнительность очень обычна. Если мы утверждаем, как это делает Рейхенбах, что все наше знание сомнительно, то мы не можем определить эту сомнительность математическим путем, ибо при составлении статистики уже предполагается, что мы знаем, что А есть или не есть В, что этот застрахованный человек умер или что он жив. Статистика строится на структуре предположенной достоверности прошедших случаев, и всеобщая сомнительность не может быть только статистической.
   
Я думаю поэтому, что все, во что мы склонны верить, имеет какую-то «степень сомнительности» или, наоборот, какую-то «степень правдоподобия». Иногда это бывает связано с математической вероятностью, а иногда нет; это более широкое и более неопределенное понятие. Но оно, однако, не является чисто субъективным. Есть родственное субъективное понятие, а именно степень убежденности, которую человек чувствует по отношению ко всякой своей вере; но «правдоподобие», как я его понимаю, есть объективное понятие в том смысле, что оно есть степень доверия, которое оказывает разумный человек. Когда я подытоживаю свои расчеты, то в первый раз я оказываю получающемуся результату только некоторое доверие, значительно большее я оказываю, если я получаю тот же результат во второй раз, и приобретаю почти полное убеждение, если я получаю его в третий раз. Этот рост убежденности идет вместе с накоплением подтверждений и является поэтому разумным. В любом предложении, в пользу которого имеется показание, хотя бы и недостаточное, есть соответствующая «степень правдоподобия», что есть то же самое, что и степень доверия, оказываемая разумным человеком. (Это последнее соображение может рассматриваться, возможно, как определение слова «разумный».) Большое значение придается вероятности в практике благодаря ее связи с правдоподобием, но если мы вообразим, что эта связь теснее, чем она на самом деле, то мы внесем путаницу в теорию вероятности.
   
Связь между правдоподобием и субъективным убеждением есть связь, которая может быть изучена эмпирически; у нас поэтому нет необходимости иметь какие-либо взгляды по этому вопросу до эмпирического свидетельства. Фокусник, например, может создать обстоятельства способом, известным ему самому, но рассчитанным на то, чтобы обмануть публику; он может, таким образом, приобрести данные в отношении того, как создавать неверные убеждения, что, вероятно, полезно в деле рекламы и пропаганды. Мы не можем так легко изучить отношение правдоподобия к истине, потому что мы обычно принимаем высокую степень правдоподобия за достаточное свидетельство истины, а если мы этого не делаем, мы оказываемся больше не в состоянии открывать какие бы то ни было истины. Но мы можем обнаружить, образуют ли предложения, имеющие высокую степень правдоподобия, взаимно согласованную последовательность, так как такая последовательность содержит предложения (высказывания) логики.
   
В результате вышеприведенного предварительного обсуждения я думаю, что каждое из обоих различных понятий имеет на основе обычного употребления равное право называться «вероятностью». Первое из них является математической вероятностью, которая поддается числовому измерению и удовлетворяет требованиям аксиом исчисления вероятности; это — тот вид вероятности, который предполагается при использовании статистики, будь то в физике, в биологии или в общественных науках, и также тот ее вид, который, как мы думаем, предполагается в индукции. Этот вид вероятности всегда имеет дело с классами, а не с отдельными случаями, за исключение того обстоятельства, когда они могут рассматриваться только как примеры.
   
Но существует и другой вид, который я называю «степенью правдоподобия». Этот вид применим к отдельным предложениям и всегда связан с учетом всех относящихся к делу свидетельств. Он применим даже в некоторых таких случаях, в которых нет никакого известного свидетельства. Высшая степень правдоподобия, которой только мы можем достигнуть, применима к большинству суждений восприятия; различные степени применимы к суждениям памяти в соответствии с их живостью и свежестью. В некоторых случаях степень правдоподобия может быть выведена из математической вероятности, в других же случаях это не может быть сделано; но даже в тех случаях, когда она может быть выведена, важно помнить, что это другое понятие. Именно этот вид, а не математическая вероятность подразумевается, когда говорят, что все наше познание только вероятно и что вероятность есть руководитель жизни.
   
Оба вида вероятности требуют обсуждения. Я начну с математической вероятности.
  
  
   
    
ГЛАВА 2
    
ИСЧИСЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ
   
   
В этой главе я собираюсь трактовать теорию вероятности как ветвь чистой математики, в которой мы выводим следствия определенных аксиом, не стараясь приписать им ту или иную интерпретацию. Относительно «интерпретации» смотри главу 1 четвертой части этой книги. Следует заметить, что, в то время как интерпретация в этой области является спорной, само математическое исчисление диктует здесь ту же меру согласия, как и во всякой другой области математики. Это положение вещей никоим образом не является чем-то особенным. Интерпретация исчисления бесконечно малых почти в течение двух столетий была предметом, по поводу которого спорили математики и философы; Лейбниц считал, что она предполагает актуально бесконечно малые, и только Вейерштрасс окончательно опроверг этот взгляд. Возьмем еще более существенный пример: никогда не было никаких споров по поводу элементарной арифметики, и все-таки определение натуральных чисел все еще остается предметом спора. Мы не должны поэтому удивляться, что существует сомнение в отношении определения «вероятности», в то время как его нет (или очень мало) в отношении исчисления вероятности.
   
Следуя Джонсону и Кейнсу, мы будем обозначать выражением p/h неопределенное понятие «вероятность p при данном h». Когда я говорю, что это понятие является неопределенным, я имею в виду, что оно определяется только с помощью аксиом или постулатов, которые должны быть перечислены. Все, что удовлетворяет требованиям этих аксиом, является «интерпретацией» исчисления вероятности, и следует думать, что здесь возможно множество интерпретаций. Ни одна из них не является более правильной или более законной, чем другая, но некоторые могут быть более важными, чем другие. Так, среди интерпретаций пяти аксиом Пеано для арифметики та интерпретация, в которой первое число — 0, является более важной, чем та, в которой первое число — 3781; она более важна потому, что позволяет нам отождествить интерпретацию формалистической концепции с концепцией, признаваемой в перечислении. Но сейчас мы отвлечемся от всех вопросов интерпретации и займемся чисто формальной трактовкой вероятности.
   
Необходимые аксиомы, или постулаты, даются почти одинаково различными авторами. Следующие формулировки взяты у профессора Ч. Д. Брода. Эти аксиомы таковы:
   
1. Если даны p и h, то существует только одно значение p/h. Мы поэтому можем говорить о «данной вероятности p при данном h».
   
2. Возможные значения выражения p/h суть все действительные числа от 0 до 1, включая и то и другое. (В некоторых интерпретациях мы ограничиваем возможные значения рациональными числами; этот вопрос я буду рассматривать ниже.)
   
3. Если h имеет значение p, то p/h=1 (мы употребляем «1» для обозначения достоверности).
   
4. Если h имеет значение не-p, то p/h=0 (мы употребляем «О» для обозначения невозможности).
   
5. Вероятность p и q при данном h есть вероятность p при данном h, помноженная на вероятность q при данных p и h, и является также вероятностью q при данном h, помноженной на вероятность p при данных q и h.
   
Эта аксиома называется «конъюнктивной».
   
6. Вероятность p и q при данном h есть вероятность p при данном h плюс вероятность q при данном h минус вероятность p и q при данном h.
   
Это называется «дизъюнктивной» аксиомой.
   
Для наших целей несущественно, являются ли эти аксиомы необходимыми; нас касается только то, что они достаточны.
   
В отношении этих аксиом требуются некоторые замечания. Ясно, что аксиомы 2, 3 и 4 выражают частично соглашения, которые легко можно изменить. Если, когда они приняты, значение какой-то данной вероятности есть x, то мы можем с одинаковым успехом принять в качестве ее значения любое число f(x), которое возрастает по мере возрастания x, вместо 1 и 0 в аксиомах 3 и 4 мы должны будем подставить f(1) и f(0).
   
Согласно вышеприведенным аксиомам, предложение, которое должно быть истинным, если истинны данные, должно иметь в отношении данных вероятность, равную 1, а предложение, которое должно быть ложным, если данные истинны, должно иметь в отношении данных вероятность, равную 0.
   
Важно иметь в виду, что наше основное понятие p/h является отношением двух предложений (или конъюнкцией предложений), а не свойством одного предложения p. Это отличает вероятность, каковой она является в математическом исчислении, от вероятности, которой руководствуются в практике, так как последняя должна относиться к предложению, взятому само по себе или по крайней мере в отношении данных, которые не произвольны, а определяются проблемой и природой нашего познания. В исчислении, наоборот, выбор данных х совершенно произволен.
   
Аксиома V есть «конъюнктивная» аксиома. Она имеет дело с вероятностью того, что каждое из двух событий произойдет. Например, если я буду тянуть из колоды две карты, то каков шанс, что обе окажутся красными? Здесь «h» представляет собой данное, что колода состоит из 26 красных и 26 черных карт; 'p» обозначает, что «первая карта красная», а «q»- что «вторая карта красная». Тогда (p и q)/h» есть шанс, что обе карты будут красные, «p/h «есть шанс, что первая — красная, «q / (p и h)» есть шанс, что вторая красная, при условии, что первая — красная. Ясно, что p/h =1/2, q (p и h) =25/51. Очевидно, согласно аксиоме, шанс, что обе карты будут красные, равен 1/2х25/51.
   
Аксиома VI есть «дизъюнктивная» аксиома. В вышеприведенном примере она дает шанс, что по крайней мере одна из карт будет красная. Она говорит, что шанс, что по крайней мере одна будет красная, есть шанс, что первая красная, плюс шанс, что вторая — красная (когда не дано, будет ли первая красной или не будет), минус шанс, что обе — красные. Это равняется 1/2+1/2-1/2х25/51, если использовать результат, полученный выше с помощью конъюнктивной аксиомы.
   
Ясно, что с помощью аксиом V и VI, при том условии, что даны отдельные вероятности любой ограниченной совокупности событий, мы можем исчислить вероятность наступления их всех или по крайней мере вероятность наступления одного из них.
   
Из конъюнктивной аксиомы следует, что
   
Это называется «принципом обратной вероятности». Ее полезность может быть иллюстрирована следующим образом. Пусть p будет какой-либо общей теорией, а q — экспериментальным данным, относящимся к p. Тогда p/h есть вероятность теории p в отношении ранее известных данных, q /h — вероятность q в отношении ранее известных данных и q (p и h) — вероятность q, если p истинно. Таким образом, вероятность теории p после того, как q установлено, получается посредством умножения прежней вероятности p на вероятность q при данном p и деления на прежнюю вероятность q. В самом благоприятном случае теория p будет предполагать q, так что q/ (p и h) =1. В этом случае это значит, что новое данное q повышает вероятность p пропорционально предшествующей невероятности q. Другими словами, если наша теория предполагает нечто весьма неожиданное, а это неожиданное затем происходит, то это сильно повышает вероятность нашей теории.
   
Этот принцип может быть иллюстрирован открытием Нептуна, рассматриваемым как подтверждение закона тяготения. Здесь p — закон тяготения, h — все относящиеся к делу факты, известные до открытия Нептуна, q — факт обнаружения Нептуна в определенном месте. Тогда q /h было предварительной вероятностью, что до сего времени неизвестная планета будет найдена в определенной небольшой области неба. Пусть она была равна m/n. Тогда после открытия Нептуна вероятность закона тяготения стала в n/m раз большей, чем раньше.
   
Ясно, что этот принцип имеет большое значение в оценке роли нового свидетельства в пользу вероятности научной теории. Мы найдем, однако, что он доказывает нечто разочаровывающее и не дает таких хороших результатов, на которые можно было бы надеяться.
   
Существует имеющее большое значение предложение, иногда называемое теоремой Бейеса, которая имеет следующий вид. Пусть Р1, P2, …, Pn будут n взаимно исключающих друг друга возможностей, причем известно, что какая-то одна из них истинна; пусть h будет означать общие данные, а q — какой-либо относящийся к делу факт. Мы хотим узнать вероятность одной возможности p, при данном q, когда мы знаем вероятность каждого P1 до того, как стало известным q, a также вероятность q при данном р1 для каждого г. Мы имеем
   
Это предложение позволяет нам решить, например, следующую задачу: дано n +1 сумок, из которых первая содержит n черных шаров и ни одного белого, вторая содержит n — 1 черных шаров и один белый; r+1-я сумка содержит n — r черных шаров и r белых. Берется одна сумка, но неизвестно, какая именно; из нее вынимается m шаров, и оказывается, что все они белые; какова вероятность, что взята была сумка r? Исторически эта задача важна в связи с претензией Лапласа на доказательство индукции.
   
Возьмем, далее, закон больших чисел Бернулли. Этот закон устанавливает, что если на каждое число случаев шанс наступления определенного события есть p, то при данных любых двух сколько угодно малых числах e и s шанс, что, начиная с достаточно большого числа случаев, отношение случаев наступления события всегда будет отличаться от p больше, чем на величину s, будет меньше, чем e.
   
Поясним это с помощью примера с бросанием монеты. Допустим, что выпадение лицевой и оборотной сторон монеты одинаково вероятно. Это значит, что, по-видимому, после достаточно большого количества бросаний отношение выпадений лицевой стороной никогда не будет отличаться от 1/2 больше, чем на величину s, как бы мала ни была эта величина s; далее, как бы s не было мало, где бы то ни было после n бросаний, шанс такого отклонения от 1/2 будет меньше e, если только n достаточно большое.
   
Так как это предложение имеет большое значение в приложениях теории вероятности, например в статистике, постараемся получше освоиться с точным смыслом того, что утверждается в вышеприведенном примере с бросанием монеты. Прежде всего я утверждаю, что начиная с определенного числа их выпадения процент выпадения монеты лицевой стороной всегда будет, скажем, между 49 и 51. Допустим, что вы оспариваете мое утверждение и мы решаем проверить его эмпирически насколько только возможно. Значит, теорема утверждает, что чем дольше мы будем продолжать проверку, тем больше будет казаться, что мое утверждение порождено фактами и что по мере того, как число бросаний будет увеличиваться, эта его вероятность будет приближаться к достоверности как к пределу. Предположим, что с помощью этого эксперимента вы убеждаетесь, что начиная с некоторого числа бросаний процент выпадения лицевой стороной всегда остается между 49 и 51, но теперь я утверждаю, что начиная с некоторого большего числа бросаний этот процент будет всегда оставаться между 49,9 и 50,1. Мы повторяем наш эксперимент, и спустя некоторое время вы снова в этом убеждаетесь, хотя на этот раз, возможно, спустя большее время, чем прежде. После любого данного числа бросаний останется шанс, что мое утверждение не подтвердится, но этот шанс все время будет уменьшаться по мере того, как число бросаний будет увеличиваться, и может стать меньше любой приписанной ему величины, если бросание будет продолжаться достаточно долго.
   
Вышеприведенное предложение легко вывести из аксиом, но оно не может, конечно, быть адекватно проверено эмпирически, поскольку оно предполагает бесконечную последовательность испытаний. Если будет казаться, что испытания, которые мы можем осуществить, будут подтверждать его, то возражающий всегда сможет сказать, что они не показали бы этого, если бы мы продолжали испытание дальше; а если будет казаться, что они не подтверждают его, то защищающий теорему сможет точно так же сказать, что они еще не достаточно долго продолжали испытания. Теорему нельзя, таким образом, ни доказать, ни опровергнуть эмпирическим свидетельством.
   
Вышеприведенные предложения являются основными предложениями чистой теории вероятности, имеющими большое значение в нашем исследовании. Я хочу, однако, сказать еще кое-что по вопросу о a +1 сумках, каждая из которых содержит n белых и черных шаров, причем r+1-я сумка содержит r белых шаров и n — r черных шаров. Мы исходим из следующих данных: я знаю, что сумки содержат разные количества белых и черных шаров, но при этом нет никакого способа отличить эти сумки друг от друга по внешним признакам. Я выбираю одну сумку наудачу и вынимаю из нее один за другим m шаров, причем, вынимая эти шары, я не кладу их обратно в сумку. Оказывается, что все вынутые шары белые. Учитывая этот факт, я хочу знать две вещи: во-первых, каков шанс того, что я выбрал сумку, содержащую одни только белые шары? Во-вторых, каков шанс того, что следующий шар, который я выну, окажется белым?
   
Мы рассуждаем следующим образом. Путь h будет тот факт, что сумки имеют вышеописанный вид и содержание, а q — тот факт, что было вынуто m белых шаров; пусть также Pr будет гипотеза, что мы выбрали сумку, содержащую r белых шаров. Очевидно, что г должно быть по крайней мере таким же большим, как и m, то есть если г меньше, чем m, то Pr/qh=Q и q/Prh=0. После некоторых вычислений оказывается, что шанс, что мы выбрали сумку, в которой все шары белые, равен (m +1)/(n +1).
   
Теперь мы хотим знать шанс, что следующий шар будет белым. После некоторых дальнейших вычислений оказывается, что этот шанс равен (m +1)/(m +2).
   
Заметьте, что это не зависит от n и что если m велико, то оно очень близко к 1.
   
В вышеприведенное описание я не включил никакого аргумента по вопросу об индукции, которой я займусь позже. Прежде всего я рассмотрю адекватность определенной интерпретации вероятности, поскольку она может рассматриваться независимо от проблем, связанных с индукцией.
  
  
   
    
ГЛАВА 3
    
ИНТЕРПРЕТАЦИЯ С ПОМОЩЬЮ ПОНЯТИЯ КОНЕЧНОЙ ЧАСТОТЫ
   
   
В этой главе нас интересует одна очень простая интерпретация «вероятности». Мы должны прежде всего показать, что она удовлетворяет аксиомам главы SI, и затем рассмотреть в порядке предварительного разбора, насколько ее можно сделать соответствующей обычному употреблению слова «вероятность». Я буду называть эту интерпретацию «теорией конечной частоты», чтобы отличить ее от другой формы теории частоты, которой мы займемся ниже.
   
Теория конечной частоты исходит из следующего определения.
   
Пусть В будет любой конечный класс, а A — любой другой класс. Мы хотим определить шанс, что член класса В, выбранный наудачу, будет членом класса А, например, что первый человек, которого вы встретите на улице, будет иметь фамилию Смит. Мы определяем эту вероятность как число членов класса В, являющихся также членами класса А, деленное на полное число членов класса В. Мы обозначаем это знаком А/В.
   
Ясно, что вероятность, определяемая таким образом, должна быть или рациональной дробью, или 0, или 1.
   
Несколько примеров сделают ясным смысл этого определения. Каков шанс, что какое-либо целое число меньше 10, выбранное наудачу, будет простым числом? Существует 9 целых чисел меньше 10, и 5 из них являются простыми; следовательно, этот шанс равен 5/9. Каков шанс, что в прошлом году в Кембридже в день моего рождения шел дождь, в предположении, что вы не знаете, когда бывает день моего рождения? Если m есть число дней, когда шел дождь, то шанс равен m/365. Каков шанс, что человек, фамилия которого содержится в лондонской телефонной книге, носит фамилию Смит? Для решения этой задачи вы должны сначала сосчитать все записи в этой книге с фамилией «Смит», а затем сосчитать вообще все записи и разделить первое число на второе. Каков шанс, что карта, вытащенная наудачу из колоды, окажется пиковой масти? Ясно, что этот шанс равен 13/52, то есть 1/4. Если вы вытянули карту пиковой масти, то каков шанс, что следующая карта, которую вы вытащите, будет тоже пика? Ответ: 12/51. Каков шанс, что в бросании двух костей выпадет сумма 8? Имеется 36 комбинаций выпадения костей, и в 5 из них сумма будет равна 8, так что шанс выпадения суммы 8 равен 5/36.
   
Ясно, что в иных элементарных случаях вышеприведенное определение дает результаты, согласующиеся с обычным употреблением. Теперь исследуем, удовлетворяет ли таким образом определяемая вероятность аксиомам.
   
Буквы p, q и h, употребленные в аксиомах, должны теперь пониматься как обозначающие не предложения, а классы или пропозициональные функции. Вместо выражения «h предполагает p» мы будем иметь выражение «h содержится в p», выражение «p и q " будет обозначать общую часть двух классов p и q, тогда как «p и q» будет классом всех членов, которые принадлежат к каждому или к обоим из двух классов p и q.
   
Наши аксиомы были следующие:
   
1. Есть только одно значение p/h. Оно будет истинным, если только h не является нулем, в каковом случае p/h = 0/0. Мы поэтому исходим из того, что h не есть нуль.
   
2. Возможными значениями p/h являются все реальные числа от 0 до 1. В нашей интерпретации они будут только рациональными числами, если только мы не сможем найти способ распространения нашего определения на бесконечные классы. Этого нельзя сделать просто, поскольку деление не дает единого результата, когда дело касается бесконечных чисел.
   
3. Если h содержится в p, тогда p/n=1. В этом случае общая часть h и p есть h, следовательно, вышеупомянутое следует из нашего определения.
   
4. Если h содержится в не-p, тогда p/h = 0. Это ясно по определению, ибо в этом случае общая часть h и p равна нулю.
   
5. Конъюнктивная аксиома. Согласно нашей интерпретации, она утверждает, что отношение членов h, являющихся членами как p, так и q, есть отношение членов h, являющихся членами p, помноженное на отношение членов p и b, являющихся членами q. Допустим, что число членов h есть а, что число членов, общих для p и h, есть b и что число членов, общих для p, q и h, есть с. Тогда отношение членов h, являющихся членами p и q, есть с/a, отношение членов h, являющихся членами p, есть h/a и отношение членов p и h, являющихся членами q, есть с/b. Таким образом, наша аксиома подтверждается, поскольку с/а = b/a x с/b.
   
6. Дизъюнктивная аксиома. Согласно нашей настоящей интерпретации, эта аксиома говорит, сохраняя вышеприведенные значения а, b и с и добавляя, что d есть число членов h, являющихся членами или p, или q, или обоих из них, тогда как е есть число членов h, являющихся членами q, что
   
То есть d = b + e — c, что опять-таки совершенно очевидно.
   
Таким образом, наши аксиомы удовлетворяются, если h есть конечный класс, не являющийся нулем, за исключением того, что возможные значения вероятности нужно ограничивать рациональными дробями.
   
Из этого следует, что математическая теория вероятности оказывается действенной при вышеприведенной интерпретации.
   
Мы должны, однако, исследовать вопрос о сфере применения таким способом определяемой вероятности, которая с первого взгляда кажется чересчур узкой для того употребления, которое мы хотим сделать из вероятности.
   
Прежде всего мы хотим, чтобы можно было говорить о шансе, что некоторое определенное событие будет иметь некоторые черты, а не только о шансе, что какой-либо рядовой член класса будет иметь их. Например, вы уже осуществили бросание с двумя костями, но я еще не видел результата этого бросания. Какова для меня вероятность, что выпали две шестерки? Мы хотели бы сказать, что эта вероятность равна 1/36, а если наше определение не позволяет нам сказать этого, то оно неадекватно. В таком случае мы сказали бы, что мы рассматриваем событие просто как представителя определенного класса; мы сказали бы, что если А рассматривается просто как член класса В, то шанс, что он принадлежит к классу А, равен А/В. Но здесь не совсем ясно, что значит «рассматривание определенного события просто как члена определенного класса». В таком случае предполагается следующее: нам дается некая характеристика какого-либо события, которая для более полного познания, чем наше, является достаточной, чтобы определить его однозначно; что же касается нашего познания, то мы не имеем способа узнать, принадлежит ли оно к классу А, хотя мы и знаем, что оно принадлежит к классу В. Бросив кости, вы знаете, принадлежит или не принадлежит ваше бросание к классу двойной шестерки, но я этого не знаю. Я знаю только то, что это бросание с двойной шестеркой есть одно из 36 возможных бросаний. Рассмотрим следующий вопрос: каков шанс, что самый высокий человек в Соединенных Штатах живет в штате Айова? Возможно, что кто-нибудь знает этого человека; во всяком случае, существует известный метод, с помощью которого можно узнать, кто этот человек. Если бы этот метод был успешно применен, то имелся бы определенный, не предполагающий вероятности ответ, именно или что он живет в штате Айова, или что он там не живет. Но я не знаю этого. Я ногу только утверждать, что население штата Айова равно числу m, население Соединенных Штатов равно числу n, и сказать, что в отношении этих данных вероятность, что он живет в штате Айова, равна m/n. Таким образом, когда мы говорим о вероятности определенного события, имеющего какую-то характеристику, мы всегда должны специфицировать те данные, по отношению к которым должна быть степень вероятности.
   
Мы можем обобщить: если дан любой объект о и дано, что а есть член класса В, то мы говорим, что в отношении к этому данному вероятность, что о есть член класса А, равна А/В в ранее определенном смысле. Эта концепция полезна, потому что часто о каком-либо объекте мы знаем достаточно много, чтобы определить его однозначно, не имея при этом достаточных знаний, чтобы определить, имеет ли он то или это свойство. «Самый высокий человек в Соединенных Штатах» есть определенное описание, применимое к одному и только одному человеку, но я не знаю, к какому человеку, к поэтому для меня является открытым вопрос, живет ли он в штате Айова. «Карта, которую я собираюсь вытащить», есть определенное описание, и через момент я буду знать, будет ли это описание относиться к красной или к черной карте, но к какой, я еще пока не знаю. Именно это очень обычное состояние частичного незнания в отношении определенных объектов делает полезным применение вероятности и к определенным объектам, а не только к полностью неопределенным членам классов.
   
Хотя частичное незнание есть то, что делает вышеприведенную форму вероятности полезной, незнание все-таки не включено в понятие вероятности, которое по-прежнему имело бы тот же смысл для всеведущего существа, как и для нас. Всеведущее существо знало бы, относится ли a к классу A, но все-таки могло бы сказать: по отношению к данному, что а есть B, вероятность того, что а есть A равна A/B.
   
При применении нашего определения к конкретным примерам в некоторых случаях возможна неясность. Чтобы сделать это понятным, мы лучше воспользуемся языком свойств, чем классов. Пусть класс А определяется свойством f, а класс B свойством y. Тогда мы скажем:
   
Вероятность того, что о имеет свойство f при том, что оно имеет свойство y, определяется как отношение вещей, имеющих как свойство f, так и свойство y, к вещам имеющим свойство y. Мы обозначаем выражение «a имеет свойство f» знаком «fa». Но если о встречается в «fa» больше одного раза, то возникнет неясность. Например, допустим, что 'fa» обозначает «о совершает самоубийство», то есть «a убивает a». Это есть значение выражения «x убивает x», которое является классом самоубийств; оно также есть значение выражения «о убивает х», которое является классом людей, которых убивает а;, оно также есть значение выражения «x убивает a», которое есть класс людей, которые убивают о. Таким образом, определяя вероятность fa, если «a» встречается в «fa» больше одного раза, мы должны указать, какие из его наступлений должны и какие не должны рассматриваться как значения переменной.
   
Окажется, что мы может интерпретировать все элементарные теоремы в согласии с вышеприведенным определением. Возьмем, например, предполагаемое Лапласом оправдание индукции. Имеется N+1 сумок, каждая из которых содержит N шаров. Из этих сумок r+1-я содержит г белых шаров и N — r черных шаров. Мы вытащили из одной сумки n шаров, причем все они оказались белыми.
   
Каков шанс
   
(a) что мы выбрали сумку с одними лишь белыми шарами?
   
(b) что следующий шар окажется тоже белым?
   
Лаплас говорит, что (a) есть (n+1)/(/V+1) и (b) есть (n +1)/(n+2). Иллюстрируем это несколькими числовыми примерами. Во-первых, допустим, что всего имеется 8 шаров, из которых вытащено 4, все белые. Каковы шансы (a), что мы выбрали сумку, содержащую только белые шары, и (b) что следующий вытащенный шар тоже окажется белым?
   
Пусть Pr представляет собой гипотезу, что мы выбрали сумку с r белыми шарами. Эти данные исключают р0, р1, р2, р3. Если мы имеем p4, то имеется только один случай, когда мы могли вытащить 4 белых, и остается 4 случая вытащить черный и ни одного — белый. Если мы имеем р5, то есть 5 случаев, когда мы могли бы вытащить 4 белых, и для каждого из них был 1 случай вытащить следующий белый и 3 — вытащить черный; таким образом, из р5 мы получаем 5 случаев, где следующий шар будет белым, и 15 случаев, где он будет черным. Если мы имеем P6, то есть 15 случаев выбора 4 белых, а когда они вытащены, остается 2 случая выбрать один белый и 2 случая выбрать черный; таким образом, из P6 мы имеем 30 случаев получения следующего белого и 30 случаев, когда следующий будет черным. Если мы имеем p7, то есть 35 случаев вытащить 4 белых, а после того, как они будут вытащены, останется 3 случая вытащить белый и один — вытащить черный; таким образом, мы получаем 105 случаев вытащить следующий белый и 35 — вытащить черный. Если мы имеем P8, то есть 70 случаев вытащить 4 белых, а когда они будут вытащены, то есть 4 случая вытащить следующий белый и ни одного — вытащить черный; таким образом, из P8 мы получаем 280 случаев вынуть пятый белый и ни одного — вынуть черный. Суммируя, мы имеем 5+30+105+280, то есть 420 случаев, когда пятый шар является белым, и 4+15+30+35, то есть 84 случая, когда пятый шар является черным. Следовательно, разница в пользу белого составляет отношение 420 к 84, то есть 5 к 1; это значит, что шанс, что пятый шар окажется белым, равен 5/6.
   
Шанс, что мы выбрали сумку, в которой все шары белые, есть отношение числа случаев получения 4 белых шаров из этой сумки ко всему числу случаев получения 4 белых шаров. Первых, как мы видели, 70; вторых 1+5+15+35+70, то есть 126. Следовательно, шанс равен 70/126, то есть 5/9.
   
Оба эти результата согласуются с формулой Лапласа. Возьмем еще один числовой пример: допустим, что имеется 10 шаров, из которых 5 было вынуто, причем они оказались белыми. Каков шанс р10, то есть того, что мы выбрали сумку с одними белыми шарами? И каков шанс, что следующий шар будет белым?
   
P5 возможно в 1 случае; если р5, то ни одного случая следующего белого, 5 случаев следующего черного;
   
P6 возможно в 6 случаях; если р6, то 1 случай следующего белого, 4 случая черного;
   
P7 возможно в 21 случае; если р7, то 2 случая следующего белого, 3 случая черного;
   
P8 возможно в 56 случаях; если P8, то 3 случая следующего белого, 2 случая черного;
   
P9 возможно в 126 случаях; если P9, то 4 случая следующего белого, 1 случай черного;
   
P10 возможно в 252 случаях; если P10, то 5 случаев следующего белого, 0 случаев черного.
   
Таким образом, шанс р10 равен 252/(1+6+21+56+126+252), то есть 252/462, то есть 6/11.
   
Случаи, когда следующий шар может быть белым, составляют 6+21 * 2+56 * 3+126 * 4+252 * 5, то есть 1980, а случаи, когда он может быть черным, составляют 5+4 * 6+3 * 21+2 * 56+126, то есть 330.
   
Следовательно, разница в пользу белого составляет отношение 1980 к 330, то есть 6 к 1, так что шанс получения следующего белого равен 6/7. Это тоже находится в согласии с формулой Лапласа.
   
Возьмем теперь закон больших чисел Бернулли. Мы можем иллюстрировать его следующим образом. Допустим, что мы бросаем монету n раз и пишем 1 всякий раз, кода выпадает ее лицевая сторона, и 2 — всякий раз, когда она выпадает оборотной стороной, образуя, таким образом число из n-го количества однозначных чисел. Предположим, что каждая возможная последовательность выпадает только один раз. Таким образом, если n = 2, то мы получим четыре числа: 11, 12, 21, 22; если n =3, то мы получим 8 чисел: 111, 112, 121, 122, 211, 212, 221, 222; если n=4, мы получим 16 чисел: 1111, 1112, 1121, 1122, 1212, 1221, 1222, 2111, 2112, 2121, 2122, 2211, 2221, 2222 и так далее
   
Беря последнее из вышеприведенного перечня, мы находим: 1 число со всеми единицами, 4 числа с тремя единицами и одной двойкой, 6 чисел с двумя единицами и двумя двойками, 4 числа с одной единицей и тремя двойками, t число со всеми двойками.
   
Эти числа — 1, 4, 6, 4, 1 — являются коэффициентами в разложении бинома (а + b)4. Легко доказать, что для n однозначных чисел соответствующие числа являются коэффициентами в разложении бинома (о + b)n. Теорема Бернулли сводится к тому, что если n является большим, то сумма коэффициентов около середины будет почти равна сумме всех коэффициентов (которая равна 2n), Таким образом, если мы возьмем все возможные последовательности выпадения лицевой и оборотной сторон в большом числе бросаний, то огромное большинство их будет иметь почти одинаковое число у обеих (то есть у лицевой и оборотной сторон); это большинство и приближение к полному равенству будет, кроме того, неопределенно увеличиваться по мере того, как будет увеличиваться число бросаний.
   
Хотя теорема Бернулли и является более общей и более точной, чем вышеприведенные положения с равно вероятными альтернативами, на все-таки должна интерпретироваться, согласно нашему настоящему определению «вероятности», способом, аналогичным вышеприведенному. Является фактом, что если мы составим все числа, которые состоят из 100 знаков, каждый из которых есть или 1, или 2, то около четверти из них будут иметь 49, или 50, или 51 знак, равный 1, почти половина будет иметь 48, или 49, или 50, или 51, или-52 знака, равных 1, более половины будет иметь от 47 до 53 знаков, равных 1, и около трех четвертей будет иметь от 46 до 54 знаков. По мере того как число знаков будет увеличиваться, будет возрастать и преобладание случаев, в которых единицы и двойки будут почти полностью уравновешиваться.
   
Вопрос, почему этот чисто логический факт должен рассматриваться как дающий нам хорошее основание ожидать, что, если мы бросим монету очень много раз, мы действительно получим приблизительно равное число выпадений ее лицевой и оборотной сторон, является совершенно другим вопросом, включающим в себя в дополнение к логическим законам законы природы. Я упоминаю об этом только для того, чтобы подчеркнуть тот факт, что я сейчас не рассматриваю этого.
   
Я хочу подчеркнуть то, что в вышеприведенной интерпретации нет ничего касающегося возможности и ничего, что по существу дела предполагает незнание. Здесь дается только исчисление членов класса В и определение того, какая их пропорция принадлежит также и к классу А.
   
Иногда утверждают, что мы нуждаемся в аксиоме равновероятности, например, в аксиоме, что выпадение лицевой и оборотной сторон монеты равновероятно. Если это значит, что в действительности они выпадают с приблизительно равной частотой, то это предположение не является необходимым для математической теории, которая как таковая не имеет дела с действительными событиями.
   
Рассмотрим теперь возможные применения определения конечной частоты к случаям вероятности, которые могут казаться стоящими вне ее.
   
Во-первых, при каких условиях можно распространить это определение на бесконечные совокупности? Поскольку мы определили вероятность как дробь, а дроби не имеют смысла, когда числитель и знаменатель бесконечны, постольку наше определение можно расширить только в том случае, когда имеются какие-то средства перейти к пределу. Это требует, чтобы все о, в отношении которых мы должны установить вероятность того, что они суть b, представляли бы собой последовательность, являющуюся на деле рядом (progression), так чтобы они были даны как а1, a2, a3, … an, где для каждого конечного целого числа n существовало бы соответствующее an, и наоборот. Мы можем тогда обозначить через «Pn» пропорцию всех а до an, включительно, которые принадлежат b. Если, по мере того, как n увеличивается, pn стремится к пределу, то мы можем определить этот предел как вероятность того, что а будет b. Этот предел зависит от порядка следования всех о и поэтому является пределом их как последовательности, а не как класса. Мы должны, однако, отличать случай, в котором значение Pn как бы колеблется около своего предела, от случая, в котором оно стремится к пределу только с одной стороны. Если мы многократно бросаем монету, то число выпадений лицевой стороны будет иногда больше половины всех бросаний, а иногда меньше; таким образом, pn как бы колеблется около предела 1/2. Но если мы возьмем пропорцию простых чисел до n (среди всех чисел меньших), то она стремится к пределу нуль только с одной стороны: для любого конечного n величина pn есть определенная положительная дробь, которая для больших значений n приблизительно равна 1/1п n. Однако 1/1n n стремится к нулю по мере того, как n бесконечно возрастает. Таким образом, пропорция простых чисел стремится к нулю, но мы не можем сказать, что «ни одно целое число не является простым»; мы можем сказать, что шанс того, что целое число будет простым числом, является бесконечно малым, но не нулем. Ясно, что шанс того, что целое число будет простым, будет больше, чем шанс того, что оно будет, скажем, и четным и нечетным, хотя этот шанс меньше, чем любая конечная дробь, как бы мала она ни была. Я сказал бы, что когда шанс, что некое о есть b, равняется нулю, мы можем сделать вывод, что «ни одно а не есть b», но когда этот шанс бесконечно мал, мы не можем сделать такого вывода.
   
Следует заметить, что если мы только не делаем какого-либо предположения о ходе вещей в природе, мы не можем использовать этот метод стремления к пределу, когда имеем дело с последовательностью, которая определена эмпирически. Например, если мы многократно бросаем данную монету и обнаруживаем, что число выпадении лицевой стороны — по мере того как мы продолжаем бросание — непрерывно стремится к пределу 1/2, то это не уполномочивает нас делать предположение, что таковым действительно стал бы этот предел, если бы мы смогли сделать нашу последовательность бросаний бесконечной. Может, например, быть, что если n есть число бросаний, то пропорция выпадении лицевой стороны приближается не строго к 1/2, а к где N есть число гораздо большее, чем то, которого мы можем достичь в действительном эксперименте. В этом случае наши индукции становились бы эмпирически фальсифицированными как раз тогда, когда мы думали бы, что они прочно установлены. Или опять-таки с любой эмпирической последовательностью могло бы случиться, что через некоторое время она перестала бы подчиняться закону и перестала бы в каком бы то ни было смысл стремиться к пределу. Если в таком случае вышеприведенное распространение нашего определения на бесконечные последовательности нужно применить к эмпирическим последовательностям, то мы должны будем ввести какую-то индуктивную аксиому. Без этого нет основания ожидать, что более поздние части такой последовательности будут продолжать подчиняться тому закону, которому подчиняются более ранние ее части.
   
В обычных эмпирических суждениях вероятности, таких, например, которые содержатся в прогнозах погоды, имеется смесь различных элементов, которые важно отделить друг от друга. Самым простым предположением — чрезмерно упрощенным здесь для целей иллюстрации — является предположение на основе наблюдения какого-либо симптома, который, скажем, в девяноста процентах случаев, в которых он прежде наблюдался, сопровождался дождем. В этом случае, если бы индуктивные аргументы были столь же бесспорны, как и дедуктивные, мы сказали бы, что «имеется девяностопроцентная вероятность дождя». Это значит, что настоящий момент относится к определенному классу (классу моментов, когда вышеупомянутый симптом налицо), девяносто процентов членов которого являются моментами, предшествующими дождю. Это вероятность в уже разобранном нами математическом смысле. Но не только это делает нас неуверенными в отношении наступления дождя. Мы не уверены также и в отношении бесспорности самого вывода; мы не чувствуем уверенности в том, что за этим симптомом будет в будущем следовать дождь в девяти случаях из десяти. И это сомнение может быть двух видов — научным и философским. Сохраняя в общем полное доверие к методам науки, мы можем чувствовать, что в этом случае слишком мало данных, чтобы обеспечить индукцию, или что не проявлено достаточной заботы для элиминирования других обстоятельств, которые также могут быть налицо и могут быть более неизменными предшественниками дождя. Кроме того, записи могут быть сомнительными: они могли быть испорчены дождем и стать недоступными, для расшифровки или могли быть сделаны человеком, о котором вскоре после этого стало известно, что он ненормален. Такие сомнения относятся к научным методам, но существуют также сомнения, выдвинутые Юмом: является ли индуктивный метод действительным или только удобной для нас привычкой? Все или любое из этик оснований могут заставить нас колебаться в отношении девяностопроцентного шанса дождя, в который наши свидетельства склоняют нас верить.
   
В случаях такого рода мы имеем иерархию вероятностей. Первая ступень: вероятно, будет дождь. Вторая ступень: вероятно, симптомы, которые я заметил, являются признаками вероятного дождя. Третья ступень: вероятно, определенного рода события делают определенные будущие события вероятными. Из этих трех ступеней первая характеризует обыденный здравый смысл, вторая есть уровень науки и третья — философии.
   
На первой ступени мы наблюдали, что до сего времени в девяти случаях из десяти за А следовало В; в прошлом, следовательно, А делало В вероятным в смысле конечной частоты. На этой стадии мы без размышления предполагаем, что мы можем ожидать это же самое и в будущем.
   
На второй ступени, не ставя под вопрос общую возможность выведения будущего из настоящего, мы сознаем, что такие выводы должны подчиняться определенным гарантиям, таким, например, как гарантии четырех методов Милля. Мы сознаем, также, что индукции, даже когда они осуществляются в соответствии с наилучшими правилами, не всегда подтверждаются. Но я думаю, что наши действия все же могут быть включены в сферу теории конечной частоты. Мы осуществили в прошлом какое-то количество индукций, одних более, других менее тщательно. Из осуществленных в соответствии с определенной процедурой пропорция P до сих пор подтверждалась; следовательно, эта процедура до сего времени сообщала вероятность p тем индукциям, которые ома санкционировала. Научный метод в значительной мере состоит из правил, посредством которых p (испытанное прошлыми результатами прошлых индукций) может быть больше приближено к 1. Все это находится все еще в пределах теории конечной частоты, но теперь уже только индукции являются единственными членами в нашей оценке частоты.
   
Это значит, что мы имеет два класса A и B, из которых A состоит из индукций, которые были осуществлены в соответствии с определенными правилами, а В состоит из индукций, которые до сего времени подтверждались опытом. Если n есть число членов A, а m есть число членов, общих для A и B, тогда m/n есть шанс, что индукция, осуществленная в соответствии с вышеупомянутыми правилами, приведет в настоящее время к результатам, которые оказались бы истинными, если бы могли быть проверены.
   
Говоря это, мы не пользуемся индукцией; мы просто описываем черты естественного порядка вещей, поскольку его наблюдали. Мы, однако, нашли критерий высокого качества (до сего времени) всякого предлагаемого правила научной процедуры и нашли его в пределах конечной частоты. Единственно новое есть то, что наши единицы теперь являются не единичными событиями, а индукциями. Индукции трактуются как события, и только те из них, которые действительно имели место, должны рассматриваться, как члены нашего класса.
   
Но как только мы начинаем доказывать или то, что какая-либо отдельная индукция, которая к настоящему времени подтвердилась, будет или вероятно будет подтверждена в будущем, или то, что правила процедуры, дававшие до сих пор большую пропорцию индукций, которые к настоящему времени были подтверждены, способны давать большую пропорцию подтвержденных индукций в будущем, мы выходим за пределы теории конечной частоты, поскольку мы здесь имеем дело с классами, члены которых неизвестны. Математическая теория вероятности, как и вся чистая математика, хотя и дает знание, не даст (по крайней мере в одном весьма важном смысле) чего-либо нового; индукция же, напротив, определенно дает что-то новое, и сомнение касается только того, является ли то, что она дает, знанием.
   
Я пока не хочу исследовать индукцию критически, я хочу только выяснить, что она не может быть введена в сферу теории конечной частоты, даже если мы будем рассматривать отдельную индукцию как одну из класса индукций, поскольку проверенные индукции могут давать только индуктивное свидетельство в пользу еще не проверенной индукции. Если затем мы скажем, что принцип, оправдывающий индукцию, является «вероятным», то мы должны употреблять слово «вероятный» в ином смысле, чем оно употребляется в теории конечной частоты; этот смысл должен — как я сказал бы — быть тем, что мы называли «степенью правдоподобия».
   
Я склонен думать, что если признать индукцию или любой другой постулат, который мы решим поставить вместо нее, то все точные и измеримые вероятности могут быть интерпретированы как конечные частоты. Допустим, что я, например, говорю, что «имеется высокая степень вероятности, что Зороастр существовал». Чтобы обосновать это утверждение, я должен буду рассмотреть сначала, каковы относящиеся к этому вопросу свидетельства, а затем поискать подобные свидетельства, о которых известно, что они правдивы или неверны. Класс, от которого зависит вероятность, не является классом пророков существующих и несуществующих, ибо, включая несуществующих, мы делаем этот класс до некоторой степени неопределенным; не может этот класс быть также классом только существующих пророков, поскольку исходным вопросом как раз и является вопрос, принадлежит ли Зороастр к этому классу. Мы должны будем рассуждать следующим образом: в случае вопроса о Зороастре имеется свидетельство, принадлежащее к определенному классу А; мы находим что из всех свидетельств, которые принадлежат к этому классу и которые могут быть проверены, отношение p оказывается правдивым свидетельством; мы, следовательно, может сделать индуктивный вывод, что есть вероятность p в пользу подобных свидетельств в случае Зороастра. Таким образом, частота плюс индукция оказываются достаточными для этого использования вероятности.
   
Или допустим, что, подобно епископу Батлеру, мы говорим: «Вероятно, что вселенная является результатом замысла Создателя» Здесь мы начинаем с таких вспомогательных аргументов, как аргумент, что создание часов предполагает часового мастера. Имеется множество образцов часов, о которых известно, что они сделаны часовыми мастерами, и нет ни одних часов, о которых было бы известно, что они сделаны не часовым мастером. В Китае существует вид мрамора, который иногда чисто случайно производит впечатление картины, созданной художником; я видел поразительные примеры этого.
   
Но это бывает так редко, что, когда мы видим картину, мы бываем правы (допуская индукцию), делая с очень высокой степенью вероятности вывод о создавшем ее художнике. Епископу-логику остается — как он и подчеркивает это заглавием своей книги — доказать эту аналогию. Это может считаться сомнительным делом, но, конечно, не может быть подведено под математическую вероятность.
   
Пока, следовательно, может казаться, что сомнительность и математическая вероятность — последняя в смысле конечной частоты — являются единственными понятиями, необходимыми в добавление к законам природы и правилам логики. Это заключение, однако, является только предварительным. Нельзя сказать ничего окончательного, пока мы не рассмотрим некоторые другие предложенные определения «вероятности».
  
  
   
    
ГЛАВА 4
    
ТЕОРИЯ ЧАСТОТЫ МИЗЕСА-РЕЙХЕНБАХА
   
   
Частотная интерпретация вероятности в форме, отличающейся от интерпретации, данной в предшествующей главе, была развита в двух имеющих большое значение книгах германских профессоров, которые жили тогда в Константинополе.
   
Труд Рейхенбаха является развитием труда Мизеса и в различных отношениях лучшей формулировкой той же самой теории. Я поэтому ограничусь рассмотрением теории Рейхенбаха.
   
Изложив аксиомы исчисления вероятности, Рейхенбах предлагает далее интерпретацию, которая, по-видимому, внушена статистическими корреляциями. Он исходит из допущения двух последовательностей (x1, х2, …, xn…), (y1, y2, …. Уn…) и двух классов О и p. Некоторые или все х принадлежат к классу O; его интересует вопрос: как часто соответствующие у принадлежат к классу P?
   
Допустим, например, что вы исследуете вопрос, предрасположен ли мужчина к самоубийству вследствие того, что он имеет сварливую жену. В этом случае x обозначает жен, а у — мужей, класс О состоит из сварливых женщин, а класс p — из самоубийц. Тогда при том, что жена принадлежит к классу О, наш вопрос заключается в следующем: как часто ее муж принадлежит к классу p?
   
Рассмотрим отрезки двух последовательностей, состоящие из первых n членов каждой последовательности. Допустим, что среди первых n членов х имеется а членов, принадлежащих к классу О, и допустим, что из них имеется b членов, таких, что соответствуют у и принадлежат к классу p; соответствующий у есть член с тем же самым индексом. Тогда мы говорим, что во всем отрезке от х1 до Xn «относительная частота» О и P есть b/а. Если все х принадлежат к классу О, то а=n и относительная частота есть b/n. Обозначим эту относительную частоту выражением «Hn (О, p)».
   
Теперь перейдем к определению «вероятности p при данном О», которую мы обозначим как «W(0, p)». Определение следующее: W (О, p) есть предел Нn(0, p), по мере того как n неограниченно увеличивается.
   
Это определение может быть значительно упрощено с помощью небольшого использования математической логики. Во-первых, нет необходимости иметь две последовательности, так как предполагается, что обе являются рядами (progressions) и имеется, следовательно, взаимно-однозначное соответствие их членов. Если это соответствие есть S, то сказать, что определенный член у принадлежит к классу p, равнозначно тому, что сказать, что соответствующий х принадлежит к классу членов, имеющих отношение S к тому или другому из членов P. Например, пусть S есть отношение жены к мужу, тогда если у есть женатый мужчина, ax — его жена, то утверждение, что у есть правительственный чиновник, является истинным, и только в том случае, если х есть жена правительственного чиновника.
   
Во-вторых, нет никакого преимущества в принятии случая, в котором не все х принадлежат к классу О. Определение применимо только в том случае, если бесконечное число членов х принадлежит к классу О, в этом случае те х, которые принадлежат к О, образуют ряд, а остальные могут быть отброшены. Таким образом, мы удержим все существенное в определении Рейхенбаха, если подставим следующее.
   
Пусть О будет рядом, а a каким-либо классом, из числа членов которого в важных случаях имеются члены, которые в последовательности О являются последующими за любым данным членом. Пусть m будет число членов а среди первых n членов О. Тогда W(О, а) определяется как предел m/n, когда n неограниченно возрастает.
   
Возможно, по недосмотру Рейхенбах говорит, как если бы понятие вероятности было применимо только к бесконечным рядам и не было применимо к конечным класса. Я не могу думать, что он имел это в виду. Человеческая раса, например, есть конечный класс, и мы хотим применить вероятность к статистике жизни, что было бы невозможно согласно букве определения. Психологически, когда Рейхенбах говорит о пределе для n-бесконечности, он думает о предел как некотором числе, к которому легко приблизиться всякий раз, когда n с эмпирической точки зрения является большим, то есть когда оно недалеко от того максимума, который наши средства наблюдения позволяют нам достичь. У него есть аксиома или постулат о том, что, когда есть такое число для каждого большого доступного наблюдению n, оно приблизительно равно пределу для n-бесконечности. Это нелепая аксиома не только потому, что она произвольна, но и потому, что большинство рядов, с которыми нам приходится иметь дело вне чистой математики не являются бесконечными; в самом деле, можно сомневаться, являются ли таковыми какие-либо из них. Мы привыкли считать пространство-время непрерывным, что предполагает существование бесконечных рядов; но это предположение не имеет иного основания, кроме математического удобства.
   
Для того чтобы сделать теорию Рейхенбаха насколько возможно более адекватной, я буду исходить из того, что там, где речь идет о конечных классах, должно быть сохранено определение, данное в предшествующей главе, и что новое определение имеет целью только расширение, позволяющее нам применять вероятность к бесконечным классам. Таким образом, его Нn(0, p) будет вероятностью, но приложимой только к первым n членам ряда.
   
То, что Рейхенбах постулирует в качестве своей формы индукции, есть нечто вроде следующего. Допустим, что мы сделали N наблюдений в отношении корреляции О и p, так что мы в состоянии вычислить Нn (О, p) для всех значений n до n=N, и допустим, что во всей последней половине значений n вероятность Hn(О, p) всегда отличается от определенной дроби p меньше, чем на е, где e — мало. Тогда мы утверждаем, что, сколько бы мы ни увеличивали n, вероятность Нn(0, p) будет все-таки находиться в этих узких границах, и, следовательно, W (О, p), являющееся пределом для n-бесконечности, будет также лежать в этих границах. Без этого допущения мы не можем иметь эмпирического свидетельства в отношении предела для n-бесконечности, и вероятности, для которых, определение специально предназначено, должны оставаться неизвестными.
   
В защиту теории Рейхенбаха перед лицом вышеупомянутых затруднений можно высказать два соображения. Во-первых, он может утверждать, что нет необходимости предполагать, что n беспредельно стремится к бесконечности; для всех практических целей достаточно, если n будет очень большим. Допустим, например, что мы занимаемся статистикой жизни. Для страховой компании не имеет значения, что произойдет со статистикой, если она будет продолжена на следующие десять тысяч лет; ее могут касаться самое большее следующие сто лет. Если, собрав статистические данные, мы предполагаем, что частоты останутся приблизительно теми же самыми даже тогда, когда мы соберем в десять раз больше данных, чем мы собрали, то этого будет достаточно почти для всех практических целей. Рейхенбах может сказать, что, когда он говорит о бесконечности, он пользуется удобной математической стенографией, имея в виду только «гораздо больше, чем мы до сих пор исследовали». Он может сказать, что этот случай совершенно аналогичен случаю эмпирического определения скорости. Теоретически скорость может быть определена только, если нет предела малости измеряемых отрезков пространства и времени; в практике, поскольку такой предел имеется, мгновенная скорость никогда не может быть известна даже приблизительно. Правда, мы можем узнать с достаточно большой точностью среднюю скорость на протяжении короткого промежутка времени. Но даже если мы предположим постулат непрерывности, средняя скорость на протяжении, скажем, секунды не дает абсолютно никакого указания на мгновенную скорость в данный момент в интервале этой секунды. Все движение может состоять из периодов покоя, разделенных моментами бесконечно большой скорости. Но даже и помимо этой крайней гипотезы и даже если мы допустим непрерывность в математическом смысле, любая конечная мгновенная скорость несовместима с какой-либо конечной средней скоростью на протяжении конечного интервала времени — как бы он короток ни был, — содержащего этот момент. Для практических целей, однако, это не имеет значения. За исключением таких немногих явлений, как взрывы, если мы принимаем мгновенную скорость в любой момент на протяжении очень короткого измеримого интервала времени как приблизительно среднюю скорость в течение этого интервала, то законы физики оправдываются. «Мгновенная скорость» поэтому может рассматриваться не иначе, как удобная математическая фикция.
   
Подобным же образом Рейхенбах может сказать, когда он говорит о пределе частоты, когда n бесконечно, что он имеет в виду только актуальную частоту для очень больших чисел, или, скорее, эту частоту с небольшим запасом ошибки. Бесконечное и бесконечно малое одинаково ненаблюдаем и, следовательно (как он может сказать), одинаково не имеют значения для эмпирического знания.
   
Я склонен признать справедливость этого ответа. Я только сожалею, что это не выражено явно в книге Рейхенбаха; я думаю тем не менее, что он должен был это иметь в виду.
   
Второе соображение в пользу его теории — то, что она применима как раз к тем случаям, в которых мы хотим воспользоваться аргументами вероятности. Мы испытываем желание воспользоваться этими аргументами, когда имеем некоторые данные, касающиеся определенного будущего события, но которых недостаточно, чтобы определить его характер в некотором интересующем нас отношении. Моя смерть, например, является событием будущего, и если я страхую свою жизнь, то я могу испытывать желание узнать, какое существует свидетельство, касающееся вероятности его осуществления в том или ином данном году. В таком случае мы всегда имеем некоторое число индивидуальных фактов, записанных в виде последовательности, и предполагаем, что частоты, обнаруженные до сих пор, будут более или менее продолжать оставаться такими же. Или возьмем азартную игру, в которой и возник весь этот вопрос. Мы не интересуемся тем простым фактом, что имеется 36 возможных результатов бросаний с двумя костями. Мы интересуемся тем фактом (если это факт), что на протяжении длинной последовательности бросаний каждая из 36 возможностей будет осуществляться приблизительно одинаковое число раз. Этот факт не вытекает из одного лишь существования 36 возможностей. Когда вы встречаете незнакомого человека, есть только две возможности: одна та, что его зовут Эбинизер Уилкс Смит, другая — что его зовут не так. Но на протяжении долгой жизни, в течение которой я встретил множество незнакомых людей, я только один раз столкнулся с реализацией первой возможности. Чисто математическая теория, которая только перечисляет возможные случаи, лишена практического интереса, если мы не знаем, что каждый возможный случай осуществляется приблизительно с одинаковой или с какой-то известной частотой. А это, если мы рассматриваем не логическую схему, а события, может быть известным только через действительную статистику, использование которой — как я сказал бы — должно идти более или менее в соответствии с теорией Рейхенбаха.
   
И этот аргумент я принимаю предварительно; он будет исследован заново, когда мы придем к рассмотрению индукции.
   
Есть совершенно другого рода возражение против теории Рейхенбаха в его собственной формулировке, и это возражение относится к ее введению последовательностей там, где, по-видимому, только классы логически значимы. Возьмем пример: каков шанс, что выбранное наудачу целое число окажется простым? Если мы возьмем целые числа в порядке их следования в натуральном ряде, то шанс, в соответствии с его определением, равен нулю; так как если n есть целое число, то число простых чисел, меньших или равных n, есть приблизительно n /(In n), если n — большое, так что шанс, что целое число, меньшее, чем n, будет простым числом, стремится к n /(In n), а предел 1/(1п n), поскольку n безгранично увеличивается, равен нулю. Но теперь допустим, что мы расставим целые числа в следующем порядке: поставим сначала первые 9 простых чисел, затем первое число, не являющееся простым, затем 9 простых, а затем второе число, не являющееся простым, и так далее до бесконечности. Когда целые числа расставлены в этом порядке, определение Рейхенбаха показывает, что шанс того, что выбранное наудачу число будет простым, равен 9/10. Мы могли бы даже расставить целые числа так, чтобы шанс того, что выбранное число не будет простым, стал равен нулю. Чтобы получить этот результат, начнем с первого непростого числа, то есть с 4, и поставим после n-го числа, не являющегося простым, n простых чисел, следующих после уже поставленных; эта последовательность начинается следующим образом: 4, 1, 6, 2, 3, 8, 5, 7, 11, 9, 13, 17, 19, 23, 10, 29, 31, 37, 41, 43, 12… В этой расстановке перед (n +1) — м непростым будет n непростых и 1/2n (n +1) простых; таким образом, по мере того как n возрастает, отношение числа непростых к числу простых приближается к 0 как пределу.
   
Из этого примера ясно, что если принять определение Рейхенбаха, то при данном любом классе А, имеющем столько же членов, сколько есть натуральных чисел, и при данном любом бесконечном подклассе В шанс, что выбранное наудачу А будет В, равен любому числу между 0 и 1 (включая и то и другое) в соответствии со способом, который мы избираем для распределения членов В среди А.
   
Из этого следует, что если вероятность должна применяться к бесконечным совокупностям, она должна применяться не к классам, а к последовательностям. Это кажется странным.
   
Правда, там, где в деле участвуют эмпирические данные, они все даются во временном порядке и, следовательно, в виде последовательности. Если мы избираем предположение о возможности бесконечного числа событий исследуемого нами вида, тогда мы можем также заключить, что наше определение вероятности является применимым только до тех пор, пока события располагаются во временной последовательности. Но вне чистой математики ни одна последовательность нам неизвестна как бесконечная, а большинство, насколько мы можем судить, является конечными. Каков шанс, что человек шестидесятилетнего возраста умрет от рака? Конечно, мы можем определить этот шанс и без допущения, что число людей, которые до конца мира умрут от рака, бесконечно. Но, согласно букве определения Рейхенбаха, определить это было бы невозможно.
   
Если вероятности зависят от того, что события берутся в их временном, а не в каком-либо другом порядке, в каком их можно расположить, то вероятность не может быть ветвью логики, а должна быть частью изучения природы. Взгляд Рейхенбаха не таков; он считает, напротив, что всякая истинная логика есть логика вероятности и что классическая логика ошибочна, потому что она делит предложения по признаку их истинности или ложности, а не по признаку обладания той или иной степенью вероятности. Он должен был бы поэтому сформулировать основные положения теории вероятности в абстрактных логических терминах, не вводя в них такие случайные признаки действительного мира, как время.
   
Имеется очень большая трудность в соединении статистического взгляда на вероятность со взглядом, которого также придерживается Рейхенбах и который состоит в том, что все предложения обладают только различными степенями вероятности, не достигающими достоверности. Трудность заключается в том, что тем самым мы, по-видимому, осуждены на бесконечный регресс. Допустим, что мы говорим о вероятности того, что человек, заболевший чумой, умрет от нее. Это значит, что если бы мы могли составить полную последовательность людей, которые с древнейших времен и до исчезновения человеческой расы болели и будут болеть чумой, то мы установили бы, что больше половины из них умерли и умрут от нее. Поскольку в отношении будущего и значительной части прошедшего регистрации нет, постольку мы считаем, что зарегистрированные случаи служат хорошим образчиком. Но теперь мы должны вспомнить, что все наше знание только вероятно; следовательно, если, собрав наши статистические данные, мы найдем, что А болел чумой и умер от нее, то мы должны рассматривать этот случай не как достоверный, а только как вероятный. Чтобы узнать, насколько он вероятен, мы должны включить его в последовательность, скажем, официальную регистрацию смертей, и должны найти какой-либо способ удостовериться, какое отношение регистрации смертей является правильным. При этом какой-нибудь отдельный пункт в нашей статистике окажется, например, следующим: «Было официально удостоверено, что мистер Браун умер, но потом оказалось, что он все же живой». Но и этот пункт в свою очередь должен быть только вероятным и должен, следовательно, входить в последовательность зарегистрированных официальных ошибок, некоторые из которых окажутся не ошибками. Это значит, что мы должны собрать случаи, когда мы ошибочно верили, что лицо, зарегистрированное как умершее, оказалось все-таки живым. Этому процессу не может быть конца, если все наше знание только вероятно, а вероятность имеет только статистический характер. Если мы хотим избежать бесконечного регресса, а все наше знание является только вероятным, то «вероятность» должна интерпретироваться как «степень правдоподобия» и должна определяться не статистически, а как-либо иначе. Статистическая вероятность может определяться только на основе действительной или постулируемой достоверности.
   
Я вернусь в Рейхенбаху в связи с индукцией. А сейчас я хочу разъяснить мой собственный взгляд в отношении связи математической вероятности с естественным ходом вещей в природе. Возьмем в качестве примера закон больших чисел Бернулли, выбрав самый простой из возможных случаев. Мы видели, что если мы соберем все возможные целые числа, состоящие из n знаков, каждое из которых будет или 1, или 2, то, если n является большим скажем, не меньшим, чем 1000,- огромное большинство возможных целых чисел будет иметь приблизительно одинаковое число единиц и двоек. Это есть только применение того факта, что при разложении бинома (х + у)n, когда n большое, сумма биноминальных коэффициентов около середины будет мало отличаться от суммы всех коэффициентов, каковая равна 2n. Но какое это имеет отношение к утверждению, что если я буду достаточно много раз бросать монету, то я, вероятно, получу приблизительно одинаковое число выпадений лицевой и оборотной сторон? Первое есть логический факт, второе, очевидно, является эмпирическим фактом; какова же связь между ними?
   
При некоторых интерпретациях «вероятности» утверждение, содержащее слово «вероятный», никогда не может быть эмпирическим утверждением. Признается, что то, что не является вероятным, может произойти, а то, что считается вероятным, может не произойти. Из этого следует, что то, что на самом деле происходит, не показывает, что прежнее суждение о вероятности было или правильным, или ложным; любой воображаемый ход событий логически совместим с любой предшествующей оценкой вероятности, какую только можно вообразить. Это можно отрицать только в том случае, если мы будем считать, что то, что в высокой степени невероятно, не происходит, чего мы не имеем права думать. В частности, если индукция утверждает только вероятности, тогда все то, что может произойти, логически совместимо как с истинностью, так и с ложностью индукции. Следовательно, индуктивный принцип не имеет эмпирического содержания. Это есть reductio ad absurdum и показывает, что мы должны связывать вероятное с действительным теснее, чем это иногда делается.
   
Если мы согласимся с теорией конечной частоты — а я пока не вижу оснований не соглашаться с ней, — то скажем, что, утверждая вероятность суждения «о есть А «при том, что «а есть B», мы имеем в виду, что действительно большинство членов B является членами А Это есть утверждение факта, а не утверждение об a. И если я скажу, что индуктивный аргумент (соответствующим образом сформулированный и ограниченный) делает заключение из него вероятным, то я имею в виду, что он является одним из класса аргументов, из большинства которых вытекают истинные заключения.
   
Что теперь могу я иметь в виду, когда говорю, что шанс выпадения лицевой стороны монеты равен половине? Начнем с того, что это, если оно истинно, является эмпирическим фактом; это не следует из того факта, что в бросании монеты есть только две возможности: выпадение лицевой и оборотной сторон. Если бы это следовало из него, мы могли бы сделать вывод, что шанс того, что какой-либо незнакомец называется Эбинизер Уилкс Смит, равен половине, поскольку здесь есть только две возможности, именно что он или называется, или не называется так. В некоторых монетах лицевая сторона выпадает чаще, чем оборотная; в других оборотная чаще, чем лицевая. Когда я говорю, не конкретизируя монету, что шанс выпадения лицевой стороны равен половине, то что я имею в виду?
   
Мое утверждение, как и все другие эмпирические утверждения, претендующие на численную точность, будет только приблизительным. Когда я говорю, что рост человека равен 6 футам 1 дюйму, мне разрешается до определенных пределов допускать ошибку; даже если бы я поклялся, что у меня нет ошибки, то все равно меня нельзя было бы обвинить в том, что я клятвопреступник, если даже окажется, что я ошибаюсь на одну сотую дюйма. Точно так же нельзя считать, что я высказал ложное утверждение о моменте, если окажется, что 0,500001 будет более точной оценкой, чем 0,5. Однако сомнительно, сможет ли какое бы то ни было свидетельство заставить меня думать, что 0,500001 является лучшей оценкой, чем 0,5. В теории вероятности, как и всюду, мы берем наиболее простое предположение, приблизительно соответствующее фактам. Возьмем, скажем, закон падения тел. Галилей сделал некоторое количество наблюдений, которые более или менее соответствовали формуле s = 1/2 gt2. Без сомнения, он мог бы найти такую функцию f(t), что s = f(t) соответствовала бы его наблюдениям более точно, но он предпочел простую формулу с достаточно хорошим соответствием. Точно так же, если я бросил монету 2000 раз и получил 999 выпадений лицевой стороны и 1001 оборотной стороны, я должен считать шанс выпадения лицевой стороны равным половине. Но что именно должен я иметь в виду, утверждая это?
   
Этот вопрос показывает силу определения Рейхенбаха. Согласно ему, я имею в виду, что если я буду продолжать бросать достаточно долго, то пропорция выпадений лицевой стороны со временем будет постоянно очень близкой к 1/2; действительно, она будет отличаться от 1/2 на величину, меньшую, чем сколь угодно малая дробь. Это предсказание; если оно правильно, то моя оценка вероятности верна, если же неправильно, то она будет неверной. Что может теория конечной частоты противопоставить этому?
   
Мы должны различать между тем, что есть вероятность, и тем, что она вероятно есть. Что касается того, что вероятность есть, то это зависит от класса рассматриваемых нами бросаний. Если мы рассматриваем бросание с данной монетой, тогда, если за все время своего существования эта монета даст m выпадений лицевой стороны из общего числа A бросаний, вероятность выпадения лицевой стороны у этой монеты будет m/n. Если же мы рассматриваем монеты вообще, то n должно быть общим числом бросаний всех монет, какие только существовали и будут существовать на протяжении всей прошедшей и будущей истории мира, а m — числом всех выпадений лицевой стороны. Чтобы сделать вопрос менее обширным, мы можем ограничиться бросаниями, имевшими место в этом году в Англии, или бросаниями, попавшими в таблицы исследований вероятности. Во всех этих случаях m и n — конечные числа, а m/n есть вероятность выпадении лицевой стороны при данных условиях.
   
Но ни одна из приведенных выше вероятностей не известна. Мы поэтому вынуждены оценить их, то есть найти какой-либо способ решить, что они вероятно представляют собой. Если мы присоединяемся к теории конечной частоты, то это значит, что наша последовательность выпадений лицевой и оборотной сторон должна быть членом какого-то ограниченного класса последовательности и что мы должны иметь какое-то относящееся к делу знание обо всем этом классе. Предположим, что мы наблюдали, что в каждой последовательности из 10000 или более бросаний данной монеты отношение выпадений лицевой стороны после 5000-го бросания никогда не изменялось более чем на 2е, где е — очень мало. Мы можем тогда сказать: в каждом наблюдаемом случае отношение выпадений лицевой стороны после 5000 бросков данной монеты всегда оставалось между p — е и p + s, где p есть постоянная, зависящая от монеты. Аргументировать, исходя из этого, к случаю, еще не наблюденному, есть дело индукции. Для того чтобы это заключение было действительным, мы нуждаемся в аксиоме о том, что (при определенных обстоятельствах) признак, присутствующий во всех наблюденных случаях, присутствует в большом отношении всех случаев; или во всяком случае нам нужна какая-либо аксиома, из которой вытекала бы эта. Тогда мы сможем выводить из наблюденных частот вероятную вероятность, интерпретируя вероятность в согласии с теорией конечной частоты.
   
Вышеизложенное является только набросками теории. Главное, что я хочу подчеркнуть, есть то, что по теории, которую я защищаю, всякое утверждение вероятности (в противоположность только сомнительному утверждению) есть утверждение факта, касающегося какого-либо отношения в последовательности. В частности, индуктивный принцип — все равно, истинный или ложный — должен утверждать, что как факт большинство последовательностей определенного вида имеет повсюду любой признак определенного рода, который имеется у большого числа следующих друг за другом членов последовательностей. Если это факт, то индуктивные аргументы могут давать вероятность; если же это не так, то не могут. Сейчас я не исследую, каким образом, мы можем знать, является ли это фактом или нет; эту проблему я не буду рассматривать до последней части нашего исследования.
   
Из сказанного можно видеть, что в результате вышеприведенного обсуждения мы пришли к согласию с Рейхенбахом по многим пунктам, хотя определенно не согласны с ним в отношении определения вероятности. Главное мое возражение против его определения — то, что частота, от которой оно зависит, гипотетична и не поддается удостоверению. Я не согласен с ним также и а том, что более резко по сравнению с ним различаю вероятность и сомнительность, и в том, что считаю, что логика вероятности с логической точки зрения не является основной в противоположность логике достоверности.
  
  
   
    
ГЛАВА 5
    
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ КЕЙНСА
   
   
Сочинение Кейнса «Трактат о вероятности» (Treatise on Probability, 1921) выдвигает теорию, которая в некотором смысле является антитезой теории частоты. Он считает, что отношение, применяемое в дедукции, именно «p имплицирует q», есть крайняя форма отношения, которое может быть названо «p более или менее имплицирует q». «Если знание h, — говорит он, оправдывает рациональную веру в а степени а, то мы говорим, что имеется отношение вероятности степени а между о и h». Мы записываем это: «a/h=а». «Между двумя рядами предложений существует отношение, в силу которого, если мы знаем первый, мы можем приписать второму некоторую степень рациональной веры». Вероятность, по существу, есть отношение: «Так же бесполезно говорить «b вероятно», как и «b равно «или «b больше, чем». Из «a «и «a имплицирует b» мы можем вывести «b»; это значит, что мы можем опустить всякое упоминание посылки и просто утверждать заключение. Но если а так относится к b, что зияние а превращает вероятную веру в b в рациональную, то мы не можем вообще ничего заключить о b, которое не имеет отношения к а; нет ничего соответствующего опусканию истинной посылки в доказательном выводе.
   
Вероятность, согласно Кейнсу, есть логическое отношение, которое не может быть определено иначе, кроме как, возможно, в терминах степеней рациональной веры. Но в целом кажется, что Кейнс скорее склоняется к определению «степеней рациональной веры» в терминах отношения вероятности. Рациональная вера, говорит он, есть нечто производное от знания: когда мы имеем степень рациональной веры в p, это происходит потому, что мы знаем какое-либо предложение h, а также знаем, что p/h = а. Из этого следует, что среди наших посылок должны быть некоторые предложения формы «p/h = а». Наше знание бывает отчасти непосредственным, а отчасти приобретается через умозаключение; наше знание, приобретаемое через умозаключение, осуществляется благодаря непосредственному знанию предложений формы «p имплицирует q», или «q/p = а». Во всяком умозаключении, если его полностью проанализировать, мы должны иметь непосредственное знание отношения посылок к заключению, будь это отношение импликацией или отношением вероятности в какой-либо степени. Знание h и того, что p/h=а, ведет к «рациональной вере соответствующей степени» в p. Кейнс открыто признает, что все непосредственное знание достоверно и что рациональная вера, которой недостает достоверности, может возникнуть только через восприятие отношения вероятности.
   
Вероятности вообще, согласно Кейнсу, не поддаются числовому измерению; те же вероятности, которые поддаются ему, образуют весьма частный класс вероятностей. Он считает, что одна вероятность не может сравниться с другой, то есть не может быть ни большей, ни меньшей, чем другая, ни быть даже равной ей. Он считает даже, что иногда невозможно сравнивать вероятности p и не-p на основе данного свидетельства. Он не имеет при этом в виду, что мы недостаточно знаем, чтобы делать это; он думает, что действительно нет отношения равенства или неравенства. Он думает о вероятностях согласно следующей геометрической схеме: возьмем две точки, представляющие собой 0 невозможности и 1 достоверности; тогда численно измеримые вероятности могут быть изображены лежащими на прямой линии между 0 и 1, тогда как другие лежат на различных кривых, идущих от 0 к 1. Мы можем сказать, что из двух вероятностей, находящихся на одной и той же линии, та, которая находится ближе к 1, является большей, но мы не можем сравнивать вероятности, находящиеся на разных линиях, за исключением тех случаев, когда две линии перекрещиваются, что может случиться.
   
Кейнсу, как мы видели, нужно непосредственное знание предложений вероятности. Для того чтобы положить начало получению такого знания, он исследует и исправляет то, что называется «принципом недостаточного основания», или, как он предпочитает называть его, «принципом индифферентности».
   
В своей грубой форме этот принцип утверждает, что если нет известного основания в пользу какой-либо одной из нескольких возможностей, то все эти возможности равно вероятны. В этой форме, как указывает Кейнс, этот принцип ведет к противоречиям. Допустим, например, что вы ничего не знаете о цвете какой-либо определенной книги; тогда шансы, что она синяя или не синяя, одинаковым и, следовательно, каждый равен 1/2. Точно так же шанс, что она черная, равен тоже 1/2. Следовательно, шанс того, что она синяя или черная, равен 1. Из этого следует, что все книги или синие, или черные, что абсурдно. Или предположим, что мы знаем, что некий определенный человек живет или же в Великобритании, или в Ирландии; возьмем ли мы в качестве наших возможностей эти страны, или возьмем Англию, Шотландию и Ирландию, или возьмем каждое графство как одинаково вероятное? Или если мы знаем, что удельный вес определенного вещества находится между 1 и 3, то будем ли мы рассматривать интервалы от 1 до 2 и от 2 до 3 как равно вероятные? Но если мы примем во внимание относительный объем, то естественно выбрать интервалы от 1 до 2/3 и от 2/3 до 1/3 что создает одинаковые шансы для того, чтобы удельный вес был или между 1 и 3/2 или между 3/2 и 3. Такие парадоксы можно увеличивать бесконечно.
   
Из-за этого Кейнс не расстается полностью с принципом индифферентности; он думает, что этот принцип может быть так сформулирован, что можно будет избежать вышеупомянутых затруднений и что он будет все еще полезен. Для этой цели он сначала определяет то, что является «не относящимся к делу».
   
Грубо говоря, добавленная посылка является «не относящейся к делу», если она не изменяет вероятности, то есть h1 не связано с отношением к x и h, если x/h1h = x/h. Таким образом, например, тот факт, что фамилия человека начинается с буквы M, не имеет отношения к оценке шансов его смети. Вышеприведенное определение является, однако, до некоторой степени слишком простым, потому что h\ может состоять из двух частей, из которых одна может повышать вероятность х, тогда как другая — понижать ее. Например: шансы жизни белого человека понижаются при жизни его в тропиках, но повышаются (или так по крайней мере говорят), если он ведет трезвый образ жизни. Может быть, смертность среди белых трезвенников в тропиках та же, что и вообще у белых людей, но мы не можем сказать, что трезвый образ жизни человека, живущего в тропиках, не имеет отношения к этому вопросу. Поэтому мы говорим, что h1 не имеет отношения к x/h, если нет никакой части h1, которая изменяет вероятность x.
   
Кейнс теперь формулирует принцип индифферентности в следующей форме: вероятности событий а и b в отношении к данному свидетельству одинаковы, если нет относящегося к событию а свидетельства без соответствующего свидетельства, относящегося к событию b; это значит, что вероятности событий а и b в отношении свидетельства равны, если это свидетельство симметрично по отношению к о и b.
   
Здесь, однако, все же добавляется довольно трудное условие. «Мы должны исключить те случаи, в которых одна из относящихся к делу альтернатив сама является дизъюнкцией подчиненных альтернатив той же самой формы». Когда это условие выполняется, альтернативы называются неделимыми по отношению к свидетельству. Кейнс дает следующее формальное определение «делимых» альтернатив: альтернатива f (a) делима по отношению к свидетельству h, если, при данном h, «f(a) эквивалентно f(b)» или «f(с)», где f(b) и f(с) несовместимы, но каждое возможно, когда b истинно. Здесь существенно, что f(a), f(b) и f(с) все суть значения одной и той же пропорциональной функции.
   
Кейнс, таким образом, в конце концов признает в качестве аксиомы тот принцип, что, при данном свидетельстве, f(a) и f(a) равно вероятны, если (1) свидетельство симметрично по отношению к a и b (2) в отношении свидетельства f(a) и f(b) неделимы.
   
По отношению к вышеприведенной теории эмпиристы могут выдвинуть общее возражение. Они могут сказать, что непосредственное знание отношений вероятности, которого она требует, явно невозможно. Дедуктивная доказательная логика — как этот аргумент можно было выразить — возможна потому, что она состоит из тавтологий, потому, что она просто переформирует наш запас исходных предложений другими словами. Когда она делает больше этого — когда, например, она выводит предложение «Сократ смертен» из предложения «Все люди смертны», — она зависит от опыта, связанного со значением слова «Сократ». Ничто, кроме тавтологий, не может быть познано независимо от опыта, а Кейнс не утверждает, что его отношения вероятности являются тавтологиями. Как же в таком случае они могут быть познаны? Ибо ясно, что они не познаются из опыта в том смысле, в котором мы можем говорить это о суждениях восприятия; вместе с тем признается, что некоторые из них не выводятся. Они поэтому составили бы — если их признать — такой род знания, который эмпиризм считает невозможным.
   
Я очень сочувствую этому возражению, но не думаю, что его можно рассматривать как решающее. Когда мы подойдем к обсуждению принципов научного вывода, мы увидим, что наука невозможна без некоторого знания, которого мы не могли бы иметь, если бы эмпиризм в его строгой форме был прав. Во всяком случае, мы не должны догматически считать, что эмпиризм прав, хотя и имеется оправдание нашим попыткам найти совместимые с эмпиризмом решения наших проблем. Вышеприведенное возражение поэтому, хотя и может служить причиной известного нерасположения к принятию теории Кейнса, не должно, однако же, заставлять нас отвергать ее совершенно.
   
Имеется трудность в вопросе, который Кейнс, по-видимому, адекватно не рассмотрел, а именно: сообщает ли вероятность, относящаяся к посылкам, рациональное правдоподобие предложению, которое превращается в вероятное, и если да, то при каких обстоятельствах? Кейнс говорит, что так же бессмысленно говорить, что «p вероятно», как и говорить, что «p равно «или «p больше, чем». Согласно ему, здесь нет ничего аналогичного опущению истинной посылки в дедуктивном выводе. Тем не менее, он говорит, что если мы знаем h и знаем также, что p/h = а, то мы вправе придавать p «рациональную веру в соответствующей степени». Но когда мы поступаем так, мы больше не выражаем отношение p к h, мы пользуемся этим отношением для того, чтобы что-либо вывести относительно p. Это «что-либо» мы можем назвать «рациональным правдоподобием» и можем сказать, что «p рационально правдоподобно в степени а». Но если это должно быть истинным утверждением p, не предполагающим упоминания о h, тогда b не может быть произвольным. Ибо предположим, что P/h = a, а p/h' = a; должны ли мы при допущении, что h и h' известны, придавать p степень а или а' рационального правдоподобия? Невозможно, чтобы оба ответа были правильны при любом данном состоянии нашего знания.
   
Если верно, что «вероятность есть руководитель жизни», тогда при любом данном состоянии нашего знания должна быть одна вероятность, которая относится к p более существенным образом, чем любая другая, и эта вероятность не может быть относительной по отношению к произвольным посылкам. Мы должны сказать, что это есть вероятность, которая получается, когда h рассматривается как все наше относящееся к делу знание. Мы можем сказать: при любой данной совокупности предложений, составляющих определенное знание какого-либо лица, при том, что связь этой совокупности предложений называется n, имеется некоторое число предложений, не являющихся членами этой совокупности, которые имеют к ней отношения вероятности. Если p есть также предложение, a p/h = а, тогда для этого лица а есть степень рационального правдоподобия, принадлежащего p. Мы не должны говорить, что если h' есть некое истинное предложение, несколько отличающееся от h, которое известно лицу, о котором идет речь, и если p/h' = а', тогда для этого лица p имеет степень правдоподобия а'; оно будет иметь только эту степень правдоподобия для лица, знание которого, относящееся к делу, суммируется через h'. Со всем этим, однако, Кейнс, безусловно, согласится. Возражение на самом деле относится только к некоторой рыхлости формулировки, а не к чему-либо существенному в этой теории.
   
Более существенное возражение касается наших средств познания предложений, вроде таких, как p/h = а. Я сейчас не утверждаю априори, что мы не можем их знать; я интересуюсь только вопросом, как мы можем их знать. Нетрудно заметить, что если «вероятность» не может быть определена, то должны быть такие предложения вероятности, которые не могут быть доказаны и которые, следовательно, если принять их, должны быть среди посылок нашего познания. Это является общей чертой всех логически расчлененных систем. Каждая такая система по необходимости начинает с исходного аппарата не получивших определения терминов и недоказанных предложений. Ясно, что не получивший определения термин не может появиться в выводном предложении, если он не появился по крайней мере в одном из недоказанных предложений, тогда как нет необходимости в том, чтобы получивший определение термин появлялся в каком-либо недоказанном предложении. Например, пока считалось, что в арифметике участвуют термины, не получившие определения, приходилось считать, что в ней не должны быть также и недоказанные аксиомы: Пеано имел дело с тремя неопределенными терминами и пятью аксиомами. Но когда числа и сложение определяются логически, арифметика не нуждается в каких-либо недоказанных предложениях, кроме предложений логики.
   
Итак, в нашем случае если «вероятность» может быть определена, то возможно, что могут быть выведены все предложения, в которых это слово встречается; но если она не может быть определена, то должны быть — если мы в состоянии что-либо знать об этом — содержащие это слово предложения, которые мы знаем без свидетельства со стороны.
   
Не совсем ясно, какого рода предложения Кейнс склонен признавать в качестве посылок в нашем познании вероятности. Познаем ли мы непосредственно предложения формы «p/h = a»? И что представляет собой а, когда вероятность численно не измеряется? Или мы знаем только равенства и неравенства, то есть что p/h меньше q/h или p/h = q/h7 Я склонен думать, что Кейнс придерживается последнего взгляда. Но если так, то основными в этом вопросе являются отношения трех предложений, а не двух-, мы должны начинать с тернарного отношения p(p, q, h), что значит: при данном h, p является менее вероятным, чем q. Мы могли бы в таком случае сказать, что «p/h = q/h», значит, «ни p(p, q, h), ни P(q, p, h)». Мы должны были бы допустить, что p является асимметричным и транзитивным по отношению к p и q, когда h постоянно. Принцип индифферентности Кейнса, если его принять, тогда позволит нам при определенных обстоятельствах доказать, что p/h = q/h. A на этом основании исчисление вероятностей — насколько Кейнс считает его действительным может быть построено.
   
Вышеприведенное определение равенства может быть принято только, если p/h и q/h являются сравнимыми; если (как Кейнс считает возможным) ни одно из них не больше другого и все же они не равны, то от этого определения следует отказаться. Мы могли бы преодолеть это затруднение с помощью аксиом, касающихся обстоятельств, при которых вероятности должны быть сравнимыми. Когда они сравнимы, они лежат на одной линии между 0 и 1. В правой части вышеприведенного определения «p/h = q/h» мы должны тогда добавить, что P/h и q /h являются «сравнимыми».
   
Переформулируем теперь принцип индифферентности Кейнса. Он хочет установить обстоятельства, при которых p/h = q/h. Это будет иметь место, говорит он, если выполняются два условия (достаточные, но не необходимые). Пусть p будет f(a) и q будет f(b), тогда h должно быть симметричным по отношению к a и b, а f(a) и f(b) должны быть «неделимыми».
   
Когда мы говорим, что h является симметричным по отношению к а и b, мы имеем в виду предварительно, что если h имеет форму f(a, b), тогда f(a, b) = f(b, а). Это будет иметь место, в частности, если f(a, b) имеет форму g(a) g(b), что является случаем, когда информация, которую h дает об a и b, состоит из отдельных предложении, одного об a и другого об b, и когда оба предложения являются значениями одной пропозициональной функции.
   
Мы теперь положили p = f(a), q = f(b) и h = f(o, b). Наша аксиома должны быть о том, что, с соответствующей оговоркой, взаимозамена f(a) и f(b) и не может вызвать какую-либо разницу. Это предполагает, что
   
f(a)/f(a, b) = f(b)/f(a, b),
   
если только f(a) и (b) сравнимы по отношению к f(a, b). Это следует, если в качестве общего принципа
   
fa/ya = fb/b,
   
то есть если вероятность зависит не от частного субъекта, а от пропозициональных функций. Здесь есть, по-видимому, надежда прийти в этом направлении к такой форме принципа индифферентности, которая может быть более самоочевидной, чем форма Кейнса.
   
Исследуем для этой цели его условия неделимости. Кейнс определяет «f(a) делимо», как значение, что имеются такие два аргумента b и с, что 'fa " эквивалентно «fb или fc», а fb и yc не могут быть оба истинными, тогда как fb и fc оба возможны при данном h. Я не думаю, что это есть именно то, что он на самом деле хочет сказать. Я думаю, что мы подойдем ближе к тому, чего он хочет, если предположим, что о, b и с суть классы, для которых а есть сумма b и с. В этом случае f должно быть функцией, которая берет классы в качестве аргументов. Например, пусть о будет областью на мишени, разделенной на две части, b и c. Пусть «fa» будет значить, что «некоторая точка в а поражена», а fa» будет значить, что «некоторая точка в а взята на прицел». Тогда fa является делимым в вышеуказанном смысле, и мы не получаем
   
fa/ya = fb/\yb,
   
так как очевидно, что fa/ya больше, чем fb/yb.
   
Но остается неясным, что наше прежнее условие, именно, что h должно быть симметричным по отношению к а и b, оказывается недостаточным. Ибо теперь h содержит предложение «b есть часть а», которое не является симметричным.
   
Кейнс обсуждает условия для fa/ya = fb/yb и дает как пример неудачи случай, где fx = x есть Сократ. В этом случае, каково бы ни было значение fx,
   
f (Сократ) / y(Сократ) = 1,
   
тогда как если b не есть Сократ, то fb/yb =0. Чтобы исключить этот случай, я сделал бы оговорку, что «fx» не должно содержать «a». Беря аналогичный случай, допустим, что fx = x значит «убивает а» и что fx = x значит «живет в Англии». Тогда fa/ya есть вероятность, что а совершает самоубийство в Англии, тогда как fx/yx вообще есть вероятность, что а будет убит каким-то англичанином по фамилии x. Ясно, что в большинстве случаев fa/ya больше, чем fb/yb, потому что вероятнее, что человек совершит самоубийство, чем убьет другого, выбранного наудачу.
   
Таким образом, существенным условием, по-видимому, является то, что «fx» не должно содержать «a» или «b». Если это условие выполнено, то я не вижу, почему мы не можем получить
   
fa/ya = fb/yb.
   
Я заключаю, что принцип индифферентности на деле утверждает то, что вероятность есть отношение между пропозициональными функциями, а не между предложениями. Это и есть то, что имеется в виду под такой фразой, как «выбор наудачу». Эта фраза значит, что мы должны рассматривать какой-либо термин только как термин, удовлетворяющий определенной пропозициональной функции; тогда то, что сказано, в действительности относится к пропозициональной функции, а не к тому или иному ее значению.
   
Тем не менее остается кое-что существенное, являющееся тем, что действительно касается нас. Если дано отношение вероятности между двумя пропозициональными функциями fx и yx, то мы можем рассматривать его как отношение между fa и ya, если только «fx» и «yx» не содержит «a». Это необходимая аксиома во всех применениях вероятности к практике, так как именно частные случаи интересуют нас.
   
Я прихожу к выводу, что главный формальный недостаток теории вероятности Кейнса состоит в том, что он рассматривает вероятность скорее как отношение между предложениями, чем как отношение между пропозициональными функциями. Я сказал бы, что применение ее к предложениям относится к приложению теории, а не к самой теории.
  
  
   
    
ГЛАВА 6
    
СТЕПЕНИ ПРАВДОПОДОБИЯ
   
   А. Общие соображения.
   
То, что все человеческое знание в большей или меньшей степени сомнительно, является доктриной, пришедшей к нам из древности; она провозглашалась скептиками и Академией в ее скептический период. В современном мире она подкрепляется прогрессом науки. Шекспир изображая смехотворность самого крайнего скептицизма, говорит:
   
    
     
Сомневаюсь, что звезды — огонь,
     
Сомневаюсь, что солнце действительно движется.
    
   
   
Когда он писал это, последнее уже было поставлено под сомнение Коперником, а вслед за ним под еще более решительное сомнение Кеплером и Галилеем. Первое — ложно, если слово «огонь» употреблено в его химическом смысле. Многое, казавшееся несомненным, оказалось по всей вероятности неверным. Сами научные теории время от времени изменяются по мере того, как накапливаются новые данные; ни один разумный ученый не чувствует той уверенности в истинности какой-нибудь новой научной теории, какую чувствовали по отношению к теории Птолемея на протяжении всех средних веков.
   
Но хотя любая часть того, что мы хотели бы рассматривать как «знание», может быть в некоторой степени сомнительной, ясно, что кое-что почти достоверно, в то время как кое-что иное является продуктом рискованных предположений. Для разумного человека существует шкала сомнительности от простых логических и арифметических предложений и суждений восприятия нас одном конце до таких вопросов, как вопрос о том, на каком языке говорили микенцы или «какую песню пели сирены», на другом конце. Можно ли допускать какую-либо степень сомнительности к наименее сомнительным из наших верований, является вопросом, по поводу которого сейчас нам нет нужды беспокоиться; достаточно того, что любое предложение, в отношении которого у нас есть разумные основания для какой-то степени веры или неверия, может теоретически быть помещено на шкале между достоверной истиной и достоверной ложью. Включаются ли в эту шкалу сами эти границы, является вопросом, который мы можем оставить открытым.
   
Существует определенная связь между математической вероятностью и степенями правдоподобности. Связь эта следующая: когда в отношении всех доступных нам свидетельств какое-либо предложение имеет определенную математическую вероятность, тогда это определяет и степень его правдоподобия. Например, если вы собираетесь бросить кости, то предложение «выпадет двойная шестерка» имеет только одну тридцать пятую правдоподобия, приписываемого предложению «двойная шестерка не выпадет». Таким образом, разумный человек, приписывающий каждому предложению правильную степень правдоподобия, будет руководствоваться математической теорией вероятности в тех случаях, когда она применима.
   
Понятие «степень правдоподобия», однако, применяется гораздо более широко, чем понятие математической вероятности; я считаю, что оно применимо к каждому предложению, за исключением тех, которые не являются ни опытными данными, ни относящимися к данным каким-либо способом, благоприятным или неблагоприятным для их признания. Я считаю, в частности, что оно применимо к предложениям, которые настолько близко, насколько это возможно, приближаются к простому выражению опытных данных. Если этот взгляд с логической точки зрения приемлем, то мы должны считать, что степень правдоподобия, приписываемая предложению, иногда сама является неким данным. Я думаю, что мы должны также считать, что степень правдоподобия, приписываемая какому-либо данному, иногда представляет собой данное и иногда (возможно, всегда) не достигает достоверности. В таком случае мы или можем считать, что есть только одно данное, именно предложение с приписываемой ему степенью правдоподобия, или же можем считать, что это данное и его степень правдоподобия являются двумя отдельными данными. Я не буду обсуждать, какой из этих двух взглядов должен быть принят.
   
Предложение, которое не является чем-то данным, может получить правдоподобие из многих различных источников; человек, который хочет доказать свою невиновность в преступлении, может аргументировать и исходя из алиби и из своего прежнего хорошего поведения. Основания в пользу научной гипотезы практически всегда являются сложными. Если признается, что какое-то данное может не быть достоверным, степень его правдоподобия может быть повышена каким-либо аргументом или, напротив, может быть весьма снижена каким-либо контраргументом.
   
Степень правдоподобия, сообщаемая доказательством не поддается простой оценке. Возьмем сначала простейший из возможных случаев, именно тот, когда посылки достоверны и рассуждение, если оно правильно, является доказательным. На каждой ступени рассуждения мы должны «видеть», что заключение этой ступени вытекает из ее посылок. Иногда это легко сделать, например, если доказательство представляет собой силлогизм модуса Barbara. В таком случае степень правдоподобия, приписываемая связи посылок и заключению, является почти достоверностью и заключение имеет почти такую же степень правдоподобия, как и посылки. Но в случае трудного математического доказательства шанс ошибки в рассуждении будет гораздо большим. Логическая связь может быть совершенно ясной для хорошего математика, тогда как для ученика она является едва заметной и то только моментами. У ученика основания для веры в правильность данной ступени рассуждения не являются чисто логическими; отчасти они являются у него аргументами от авторитета. Эти рассуждения никоим образом не являются доказательными, так как даже наилучшие математики иногда делают ошибки. При таких основаниях, как указывает Юм, заключение длинного доказательства менее достоверно, чем заключение короткого, ибо на каждой ступени имеется некоторый риска, что будет допущена ошибка.
   
Посредством определенного упрощающего предположения этот источник недостоверности может быть включен в сферу математической теории вероятности. Допустим, что она установила, что в определенной ветви математики хорошие математики рассуждают правильно на какой-то ступени их доказательств в отношении x от всех случаев; тогда шанс того, что они рассуждают правильно на протяжении всего хода доказательства, состоящего из n ступеней, равен х». Отсюда следует, что длинное доказательство, не проверенное повторением, содержит заметный риск ошибки, даже если x почти равен 1. Но повторение может понизить риск до очень малой величины. Все это находится в пределах математической теории.
   
В пределы этой теории, однако, не включается частное убеждение индивидуального математика, когда он строит рассуждение на каждой ступени. Это убеждение будет изменяться в зависимости от трудности и сложности ступени; но вопреки этой изменчивости оно должно быть таким же прямым и непосредственным, как и наша уверенность в объектах восприятия. Для того чтобы доказать, что определенная посылка имплицирует определенное заключение, мы должны «видеть» каждую ступень в рассуждении; мы не можем доказать правильность ступени иначе, как только посредством разложения ее на более мелкие ступени, каждая из которых тогда должна стать «видимой». Если не признать этого, все доказательство потеряется в бесконечном регрессе.
   
До сих пор я говорил о доказательном выводе, но в отношении нашего настоящего вопроса недоказательный вывод не представляет никакой новой проблемы, так как, как мы видели, даже доказательный вывод, совершаемый людьми, сообщает заключению только вероятность. Нельзя сказать даже того, что рассуждение, претендующее на доказательность, всегда придает заключению более высокую степень вероятности, чем рассуждение, которое открыто является только вероятным; в традиционной метафизике имеется много примеров этого.
   
Если — как я полагаю и как я буду доказывать, когда это понадобиться, данные так же, как и результата вывода, лишаются самой высокой степени правдоподобия, какая только может быть достигнута, тогда эпистемологическое отношение между данными и выводными предложениями становится до некоторой степени сложным. Я могу, например, думать; что я что-то вспоминаю, но нахожу основание верить, что то, что мне показалось воспоминанием, никогда не происходило; в этом случае доказательство может заставить меня отбросить данное. И наоборот, когда данное само по себе имеет не очень высокую степень правдоподобия, оно может быть подтверждено внешним свидетельством; например, я могу иметь лишь слабое воспоминание об обеде с г-ном имярек, который имел место когда-то в прошлом году, и могу обнаружить, что мой дневник за прошедший год содержит запись, подтверждающую мое воспоминание. Из этого следует, что каждое из моих верований может быть усилено или ослаблено приведением его в отношение с другими верованиями.
   
Отношение между данными и выводами сохраняет, однако, большое значение, поскольку основание для веры непременно должно обнаруживаться после достаточного анализа в данных и только в данных. (Я здесь включаю в число данных и принципы, используемые во всяких выводах, какие могут встретиться.) Из этого следует, что данные, относящиеся к какой-либо отдельной вере, могут быть гораздо более многочисленными, чем это кажется с первого взгляда. Возьмем опять случай с воспоминанием. Тот факт, что я вспоминаю какое-либо происшествие, является свидетельством, хотя и не решающим, того, что происшествие имело место. Если я нахожу современную происшествию запись о нем, то это — подтверждающее свидетельство. Если я нахожу много таких записей, то подтверждающее свидетельство усиливается. Если происшествие является таким, которое, подобно прохождению Венеры перед солнечным диском, делается почти достоверным хорошо установленной научной теорией, то этот факт должен быть прибавлен к записям как добавочное основание уверенности. Таким образом, в то время, как имеются верования, которые являются только заключениями доказательств, отсутствуют такие, которые в рациональной разработке знания являлись бы только посылками. Говоря это, я выражаюсь в терминах эпистемологии, а не логики.
   
Таким образом, эпистемологическая предпосылка может быть определена как предложение, которое имеет какую-то степень рационального правдоподобия благодаря самой себе, независимо от ее отношений к другим предложениям. Каждое такое предложение может быть использовано для сообщения некоторой степени правдоподобия предложениям, которые или следуют из него, или находятся к нему в отношении вероятности. Но на каждой стадии происходит некоторое уменьшение первоначального запаса правдоподобия; это аналогично тому, как состояние уменьшается налогами на наследство каждый раз, когда оно наследуется. Проводя аналогию несколько дальше, мы можем сказать, что внутреннее правдоподобие похоже на состояние, приобретаемое в результате собственных усилий человека, тогда как правдоподобие, получающееся в результате доказательства, подобно наследству. Эта аналогия ограничивается тем, что человек, который составил состояние, может также и наследовать состояние, тогда как каждое состояние должно быть обязанным своим происхождением не наследованию, а чему-либо другому.
   
В этой главе я намереваюсь обсудить правдоподобие, во-первых, в отношении к математической вероятности, затем в отношении данных, затем в отношении субъективной уверенности и, наконец, в отношении к рациональному поведению.
   Б. Правдоподобие и частота
   
Я намереваюсь сейчас обсудить вопрос: при каких обстоятельствах правдоподобие предложения о выводится из частоты fx при данном некотором fx? Другими словами, если «fa» есть предложение «a есть x», то при таких обстоятельствах правдоподобие предложения «альфа есть бета» выводится из одного или более предложений формы: члены а, являющиеся членами p, составляют отношение m/n».
   
Этот вопрос, как мы увидим, не совсем такой общий; как тот, который мы должны поставить, но желательно обсудить его первым.
   
Обыденному здравому смыслу, по-видимому, ясно, что в типичных случаях математической вероятности она равна степени правдоподобия. Если я вытаскиваю наудачу карту из колоды, то степень правдоподобия предложения «карта будет красная» будет в точности равна степени правдоподобия предложения «карта будет не красная», и, следовательно, степень правдоподобия каждого предложения равна 1/3, если 1 представляет собой достоверность. В отношении игральной кости степень правдоподобия предложения «выпадет 1» совершенно та же, что и предложения «выпадет 2», или 3, или 4, или 5, или 6. Отсюда все выведенные частоты математической теории могут быть интерпретированы как выведенные степени правдоподобия.
   
В этом переводе математических вероятностей в степени правдоподобия мы пользуемся принципом, в котором математическая теория не нуждается. Математическая теория просто считает случаи; а при переводе мы должны знать или допускать, что каждый случай равно правдоподобен. Необходимость в этом принципе признавалась с давних пор; он был назван принципом недостаточного основания, или (Кейнсом) принципом индифферентности. Мы рассмотрели этот принцип в связи с теорией Кейнса, а теперь мы должны рассмотреть этот принцип сам по себе. Но перед обсуждением его я хочу отметить, что он не нужен в математической теории вероятности. В этой теории нам нужно знать только численность различных классов. Этот принцип требуется только тогда, когда математическая вероятность рассматривается как мера правдоподобия.
   
То, в чем мы нуждаемся, есть нечто вроде следующего: «Если дан объект а, отношении которого мы хотим знать, какую степень правдоподобия приписать предложению «a есть p», и если дано, что единственно относящееся к делу знание, которое мы имеем, есть «а есть а», тогда степень правдоподобия предложения «a есть p» будет представлять собой математическую вероятность, измеряемую отношением числа членов, общих для альфа, и бета, к числу членов альфа.
   
Иллюстрируем это еще раз примером с самым высоким человеком в Соединенных Штатах и шансом, что он живет в штате Айова. Здесь, во-первых, мы имеет описание d, приложимое к одному и только одному человеку из числа названных людей А1, А2, … an, где n есть число жителей Соединенных Штатов. Это значит, что одно и только одно из предложений «d= Аr» (где r обозначает любого жителя от 1 до n) известно как истинное, но мы не знаем, какое именно. Если это действительно есть все наше относящееся к делу знание, то мы предполагаем, что любое из предложений «d=Ar' столь же правдоподобно, как и любое другое. В этом случае каждое имеет правдоподобие 1/n. Если в штате Айова имеется m жителей, то предложение «d живет в штате Айова» эквивалентно дизъюнкции m предложений «d= Аr» и, следовательно, имеет m раз правдоподобие любого из них, поскольку они взаимно исключают друг друга. Следовательно, оно имеет степень правдоподобия, измеряемую дробью m/n,
   
Конечно, в вышеприведенной иллюстрации предложения «d = Ar» не все одного уровня. Свидетельство позволяет нам исключить детей, людей низкого роста и, возможно, женщин. Это показывает, что применение этого принципа связано с затруднениями, но это не значит, что он ложен.
   
Случай с вытаскиванием карты из колоды ближе подходит к осуществлению условий, требуемых принципом. Здесь описание «d» есть «карта, которую я собираюсь вытащить». Все 52 карты имеют то, что мы можем рассматривать как названия: «двойка пик» и так далее Мы имеем, таким образом, 52 предложения «d = Аr», из которых одно и только одно истинно, но мы не имеем никаких данных, которые склоняли бы нас в пользу одного, а не какого-либо другого. Следовательно, правдоподобие каждого равно 1/52. Если мы это признаем, то это связывает правдоподобие с математической вероятностью.
   
Мы можем, следовательно, сформулировать как возможную форму «принципа индифферентности» следующую аксиому: «Если дано описание d, относительно которого мы знаем, что оно применимо к одному и только одному из объектов а1, a2, … an, и если дано, что мы не имеем знания относительно того, к какому из этих объектов приложимо это описание, тогда n предложений «d=ar» (1 меньше или равно r меньше или равно n) все равно правдоподобны и, следовательно, каждое имеет правдоподобие, измеряемое дробью 1/n».
   
Эта аксиома является более ограниченной, чем принцип недостаточного основания, как он обычно формулируется. Мы должны исследовать, будет ли она достаточной, а также имеем ли мы основание верить ей.
   
Сначала сравним вышеизложенное с принципом индифферентности Кейнса, рассмотренным нами в предшествующей главе. Вспомним, что этот принцип гласит: вероятности p и q в отношении данного свидетельства равны, если (1) свидетельство симметрично по отношению к p и q, (2) p и q «неделимы», то есть ни одно из них не является дизъюнкцией предложений той же самой формы, что и оно само. Мы решили, что это можно упростить: мы говорили, что нужно, чтобы p и q были бы значениями одной пропозициональной функции, скажем p = f(a) и q = f(b), чтобы «fx» не содержало ни a, ни b, и что, если свидетельство содержит упоминание a, скажем, в форме f(a), то оно должно также содержать y(b) и, наоборот, где yx в свою очередь не должно упоминать а или b. Этот принцип является до некоторой степени более общим, чем сформулированный в предшествующем абзаце: он имплицирует последний, но я сомневаюсь, имплицирует ли последний его. Мы, возможно, можем принять более общий принцип и переформулировать его следующим образом: «Если даны две пропозициональные функции fx и yx, ни одна из которых не упоминает о или b, или если и упоминает их, то упоминает симметрично, тогда, при данных ya и yb, два предложения fa и fb имеют равное правдоподобие».
   
Этот принцип, если его принять, позволяет нам выводить правдоподобность из математической вероятности и делает все предложения математической теории пригодными для измерения степеней правдоподобия в случаях, к которым применима математическая теория.
   
Попробуем применить вышеупомянутый принцип к случаю с числом n шаров в сумке, где известно, что каждый шар или белый, или черный; стоит вопрос: какова вероятность, что в сумке содержится х белых шаров? Лаплас допускал, что каждое значение x от 0 до A равно вероятно, так что вероятность данного х есть 1/(n + 1). С чисто математической точки зрения это правильно, если только мы начинаем с пропозициональной функции: х = число белых шаров. Но если мы начинаем с пропозициональной функции: х есть белый шар, то мы получим совсем другой результат. В этом случае имеется много способов получения х шаров. Первый шар может быть получен n способами; когда он получен, следующий может быть получен n — 1 способами и так далее Таким образом, число способов получения х шаров есть
   
Это есть число способов, которыми может быть получено х белых шаров. Чтобы получить вероятность числа х белых шаров, мы должны разделить это число на сумму чисел способов получения 0 белых шаров, или 1, или 2, или 3, или … или n. Легко показать, что сумма равна 2». Следовательно, шанс получить ровно х белых шаров достигается в результате деления вышеупомянутого числа на 2». Назовем его «p (A, r) ".
   
Этот шанс имеет максимум, когда х = 1/2n, если n четное число, или когда х = 1/2n +- 1/2, если n есть нечетное число. Его значение, когда х или n-х мало, очень мало, если n — большое. С чисто математической точки зрения эти два очень различных результата одинаково правильны. Но когда мы подходим к измерению степеней правдоподобия, между ними обнаруживается большая разница Допустим, что у нас независимо от цвета есть какой-либо способ, с помощью которого мы можем различать шары; например, пусть они последовательно вынимаются из сумки и назовем первый вынутый d1, второй вынутый d2; и так далее Обозначим через «a " «белые», через «b» «черные» и поставим 'fa» вместо «белый цвет есть цвет a», «fb» вместо 'черный цвет есть цвет а1». Данные говорят, что верно или fa или fb, но не оба. Это симметрично, и, следовательно, на основании свидетельства данных fa и fb имеют одинаковое правдоподобие, то есть «d1 — белый» и «d1 — черный» имеют одинаковое правдоподобие. Это же самое рассуждение применимо к d2, d3, …, dn. Таким образом, для каждого шара степени правдоподобия белого и черного равны. И, следовательно, как показывает простое вычисление, степень правдоподобия х белых шаров есть p (n, r), где предполагается, что х лежит между 0 и n, включая и их самих.
   
Следует отметить, что в измерении степеней правдоподобия мы предполагаем, что данные не только верны, но и исчерпывающи по отношению к нашему знанию, то есть мы предполагаем, что мы не знаем ничего относящегося к делу, кроме того, что упоминается в данных. Следовательно, для данного человека в данное время существует только одно правильное значение для степени правдоподобия данного предложения, тогда как в математической теории многие значения одинаково правильны в отношении многих различных данных, которые могут быть чисто гипотетическими.
   
В применении результатов математического исчисления вероятности к степеням правдоподобия мы должны тщательно выполнять два условия. Во-первых, случаи, которые образуют основу математического перечисления, все должны быть равно правдоподобны по свидетельству в их пользу; во-вторых, свидетельство должно включать все наше относящееся к нему знание. Следует сказать несколько слов в отношении первого из этих условий.
   
Каждое математическое исчисление вероятности начинает с какого-либо основоположного класса, вроде определенного числа бросаний монеты, определенного числа бросаний игральных костей, колоды карт, совокупности шаров в сумке. Каждый член этого основоположного класса считается за единицу. Из него вывели другие логически производные классы, например класс n последовательностей 100 бросаний монеты. Из этих n последовательностей мы можем выделить подкласс бросаний, состоящий из 50 выпадений монеты лицевой стороной и 50 — упавших оборотной стороной. Или, взяв колоду карт, мы можем образовать класс возможных «игроков», то есть наборов из 13 карт, и далее исследовать, какие из них содержат 11 карт одной масти. Дело в том, что частоты исчисляются, всегда применяются к классам, имеющим какую-то структуру, определяемую логически по отношению к основоположному классу, тогда как основоположный класс в целях разрешения проблемы рассматривается как состоящий из членов, не имеющих логической структуры, то есть их логическая структура не относится к делу.
   
Пока мы ограничиваемся исчислением частоты выпадений, то есть математической теорией вероятностей, мы можем взять любой класс в качестве основоположного класса и исчислять частоты по отношению к нему. При этом нет необходимости делать предположение, что все члены класса равно вероятны; все, что нам нужно сказать, это то, что для данной цели каждый член класса должен рассматриваться как единица. Но когда мы хотим определить степени правдоподобия, необходимо, чтобы наш основной класс состоял из предложений, которые все одинаково правдоподобны в отношении свидетельства в их пользу. «Неделимость» Кейнса имеет целью обеспечить это. Я предпочел бы сказать, что члены основоположного класса должны иметь «относительную простоту», то есть они не должны иметь структуры, определяемой в терминах исходных данных. Возьмем, например, белые и черные шары в сумке. Каждый шар в действительности имеет невероятно сложную структуру, поскольку он состоит из миллиардов молекул: но это не имеет никакого отношения к нашей проблеме. С другой стороны, совокупность m шаров, выбранных из основоположного класса n шаров, имеет логическую структуру по отношению к основоположному классу. Если каждый член основоположного класса имеет название, то каждый подкласс, состоящий из m членов, может быть определен. Все исчисления вероятности имеют дело с классами, которые могут быть определены в терминах основоположного класса. Но сам основоположный класс должен состоять из членов, которые не могут быть логически определены в терминах исходных данных. Я думаю, что когда это условие выполняется, то принцип индифферентности всегда удовлетворяется.
   
В этом пункте, однако, нужна осторожность. Имеются два пути, когда предложение «а есть а» может стать вероятным или (1) потому, что достоверно, что а принадлежит к классу, большинство членов которого суть а, или (2) потому, что вероятно, что а принадлежит к классу, все члены которого суть а. Например, мы можем сказать: «Г-н А, вероятно, смертен», если мы уверены, что большинство людей смертны, или если мы имеем основание считать вероятным, что все люди смертны. Когда мы бросаем игральные кости, мы можем сказать: «Вероятно, не выпадет двойной шестерки», — потому что мы знаем, что большинство бросаний не дает двойной шестерки. С другой стороны, предположим, что я имею свидетельство, дающее основание для предположения, но не доказывающее, что при определенной болезни всегда бывает определенная бацилла; я могу тогда сказать, что когда имеется эта болезнь, то, вероятно, есть и эта бацилла. В каждом из двух вышеприведенных случаев мы имеем что-то вроде силлогизма. В первом случае:
   
Большинство А есть В
   
Это есть А
   
Следовательно, это, вероятно, есть В.
   
Во втором случае:
   
Вероятно, все А суть В
   
Это есть А
   
Следовательно, это, вероятно, есть В.
   
Второй случай, однако, труднее свести к частоте. Исследуем, возможно ли это.
   
В некоторых случаях это явно возможно. Например, большинство слов английского языка не содержит буквы z. Следовательно, если возьмем наудачу какое-либо слово, то вероятно, что ни одна из его букв не будет г. Таким образом, если А — класс букв в данном слове, а В — класс букв, кроме буквы z, то мы получим случай нашего второго псевдосиллогизма. Слово, конечно, должно быть определено каким-либо способом, который пока оставляет нас в неведении относительно того, какое это слово; например, слово должно быть определено как 8000-е слово в «Гамлете» или как третье слово на 248-й странице «Concise Oxford Dictionary. При том, что вы, допустим, в настоящее время не знаете, что представляют собой эти слова, вы поступите разумно, если будете утверждать, что они не содержат буквы z.
   
Во всех случаях нашего второго псевдосиллогизма ясно, что то, что я назвал «основоположным классом», дается как класс классов, и, следовательно, его логическая структура имеет большое значение. Обобщим приведенный выше пример: пусть К будет классом классов, таким, что большинство его членов полностью содержится в некотором классе бета; тогда из предложений «x есть альфа» и «альфа есть k» мы можем заключить, что «х, вероятно, есть бета». (В приведенном выше примере k есть класс слов, альфа — класс букв в определенном слове и бета — алфавит без буквы z). Странно то, что, обозначая через сумма членов k» класс членов членов k, наши посылки оказываются недостаточными для того, чтобы доказать, что какой-либо член суммы k, вероятно, есть член класса p. Например, пусть k состоит из трех слов Strength, Quail, Muck — вместе со всеми словами, не содержащими ни одной буквы, содержащейся в любом из этих трех слов. Тогда сумма k состоит из всех букв алфавита, возможно, за исключением z. Должно ли z включаться в алфавит, это зависит от того, считается ли «Zoo» (сокращенное «зоопарк») словом. Но предложение «k есть а и а есть k» делает вероятным, что х не является одной из букв, содержащихся в вышеприведенных трех словах, тогда как предложение «х есть член суммы х» не делает это вероятным. Это иллюстрирует те сложности, которые возникают, когда основоположный класс имеет относящуюся к вероятностям структуру. Но в случаях, вроде вышеприведенных, все же можно измерить правдоподобие с помощью частоты, хотя и менее простым способом.
   
Имеется, однако, другой и более важный класс случаев, который мы не можем адекватно обсудить иначе, как только в связи с индукцией. Это случаи, где мы имеем индуктивное свидетельство, делающее вероятным, что все А суть В, и где мы выводим, что отдельное А, вероятно, есть В; например, вероятно, все люди смертны (не смешивать с предложением «все люди, вероятно, смертны»), следовательно, Сократ, вероятно, смертен. Это псевдосиллогизм нашего второго вида. Но если слово «вероятно» в предложении «вероятно, все люди смертны» и может быть сведено к частоте, то, конечно, совсем не просто. Я поэтому оставляю обсуждение этого класса случаев до более поздней стадии исследования.
   
Имеются, как мы увидим, различные примеры степеней правдоподобия, не выводимые из частот. К обсуждению этих случаев я и перехожу.
   В. Правдоподобие данных
   
В этом разделе я намерен защищать неортодоксальное мнение, а именно то, что данное может быть недостоверным. До сего времени было два взгляда: во-первых, что при надлежащей разработке знания мы начинаем с посылок, которые достоверны сами по себе и могут быть определены как «данные»; во-вторых, что, поскольку никакое знание не является достоверным, постольку нет никаких данных, а дело обстоит таким образом, что наши рациональные верования образуют замкнутую систему, в которой каждая часть поддерживает каждую другую часть. Первый взгляд является традиционным, унаследованным от греков и сохраняющимся в геометрии Евклида и в теологии; второй является взглядом, впервые защищавшимся, если я не ошибаюсь, Гегелем, но с большим успехом защищавшимся в наши дни Джоном Дьюи. Взгляд, который я собираюсь выдвинуть, является компромиссным, но несколько больше склоняющимся к традиционной теории, чем к теории, которую защищали Гегель и Дьюи.
   
Я определяю «данное» как предложение, которое само по себе имеет некоторую степень разумного правдоподобия, независимо от какого-либо доказательства, полученного из других предложений. Ясно, что заключение доказательства не может получить из доказательства более высокую степень правдоподобия, чем та, которой обладают посылки; следовательно, если существует такая вещь, как рациональная вера, то должны быть рациональные верования, не полностью, основанные на доказательстве. Из этого не следует, что имеются верования, никаким своим правдоподобием не обязанные доказательству, так как предложение может обладать присущим ему правдоподобием и быть также заключением из других предложений, обладающих присущим им правдоподобием. Но из этого не следует, что каждое предложение, рационально правдоподобное в какой бы то ни было степени, должно быть таким или (а) исключительно само по себе, или (б) исключительно как заключение из посылок, рационально правдоподобных сами по себе, или (в) потому, что оно имеет некоторую степень правдоподобия само по себе, а также вытекает с помощью доказательного или вероятного вывода из посылок, которые имеют некоторую степень правдоподобия сами по себе. Если все предложения, имеющие любую степень правдоподобия, сами по себе являются достоверными, то случай (в) не имеет значения, поскольку никакое доказательство не может сделать такие предложения более достоверными. Но с той точки зрения, которую защищаю я, случай (в) имеет наибольшее значение.
   
Традиционный взгляд принят Кейнсом и изложен им в его «Трактате о вероятности» («Treatise on Probability», p. 16). Он говорит: «Для того чтобы мы могли иметь рациональную веру в p, обладающего не достоверностью, а только той или иной степенью вероятности, необходимо, чтобы мы знали ряд предложений h, а также знали какое-либо вторичное предложение q, утверждающее отношение вероятности между p и h».
   
«В приведенном выше разъяснении одна возможность была исключена. Предполагается, что мы не можем иметь рациональной веры в p, обладающего меньшей степенью правдоподобия по сравнению с достоверностью, не иначе как с помощью знания вторичного предложения предписанного типа. Это значит, что такая вера может возникнуть только с помощью восприятия какого-либо отношения вероятности… Всякое знание, получаемое строго непосредственным путем через созерцание объектов познания и без всякой примеси доказательства и созерцания логического влияния на него какого-либо другого знания, соответствует определенной рациональной вере, а не только вероятной степени рациональной веры».
   
Я намерен оспаривать этот взгляд. С этой целью я рассмотрю: 1) слабое восприятие, 2) недостоверное воспоминание, 3) смутное сознание логической связи.
   
1. Слабое восприятие. Рассмотрим следующие хорошо знакомые переживания, а) Вы слышите улетающий аэроплан; сначала вы уверены в том, что слышите его, и, наконец, уверены, что не слышите его, но в промежутке между этими состояниями есть период, во время которого вы не уверены в том, слышите вы его или нет. б) Вы наблюдаете на заре планету Венера; сначала вы видите, как эта планета ярко сияет, и, наконец, вы осознаете, что дневной свет сделал ее невидимой, но между этими двумя моментами вы можете сомневаться относительно того, видите вы ее еще или нет. в) Во время путешествия вы набрались блох; вы стараетесь избавиться от них, и, наконец, вы уверены, что достигли успеха в этом, но тем не менее у вас время от времени появляются какие-то неопределенные ощущения зуда. г) По ошибке вы заварили чай в сосуде, в котором содержится уксус; результат получился ужасный. Вы ополаскиваете сосуд и завариваете чай снова, но все же ясно ощущаете неприятный запах. После второго мытья сосуда вы находитесь в сомнении относительно того, ощущаете ли вы все еще вкус уксуса; после третьей промывки сосуда вы уверены, что больше привкуса уксуса нет. д) Канализация в вашем доме не в порядке, и вы зовете водопроводчика. Сначала после его прихода вы уверены, что противный запах исчез, но постепенно, пройдя через разные стадии сомнения, вы убеждаетесь, что запах снова появился.
   
Такие переживания хорошо знакомы каждому и должны учитываться во всякой теории, касающейся познания, основанного на чувственном восприятии.
   
2. Недостоверное воспоминание. В «Буре» (1-й акт, 2-я сцена) Просперо спрашивает Миранду: «Ну, что еще ты видишь в темноте и в глубине времен, давно минувших?» Она говорит: «Мне помнится, что я всегда имела вокруг себя не менее пяти прислужниц», — и Просперо подтверждает ее неясное воспоминание. Шекспир, Буря, перев. Н. Сатина, изд. Брокгауз-Ефрон. Все мы имеем подобные воспоминания, в отношении которых не чувствуем себя уверенными. Обыкновенно, если это заслуживает внимания, мы можем узнать из другого источника, являются ли наши воспоминания правдивыми или нет, но это не относится к выдвинутому нами тезису, который утверждает, что воспоминания сами по себе имеют определенную степень правдоподобия, хотя эта степень правдоподобия и может быть очень далекой от полной достоверности. Воспоминание, которое имеет очень высокую степень правдоподобия, добавляет свою долю к нашим основаниям веры в какое-либо прошедшее событие, в пользу которого мы имеем другое свидетельство. Но здесь необходимо различать. Недостоверно вспоминаемое прошедшее событие обладает частичным правдоподобием; но когда я привожу воспоминание в качестве основания для веры, я больше не трактую прошедшее событие как данное, ибо не оно, а это настоящее воспоминание является моим данным. Мое воспоминание придает некое правдоподобие тому, что вспоминается; какое именно правдоподобие, мы более или менее можем утверждать индуктивно с помощью статистического исследования частоты ошибок памяти. Но это отличается от прошедшего события, рассматриваемого как данное.
   
То, что такие данные должны поставляться памятью, — это тезис, который я доказывал в другом месте.
   
3. Смутное сознание логической связи. Всякий человек, математические способности которого не являются почти сверхчеловеческими, должен был, если он изучал математику, испытывать ощущение, что он едва ли способен «видеть» определенную ступень в ходе доказательства. Процесс прослеживания доказательства облегчается, если мы его разбиваем на очень небольшие ступени, но какими бы небольшими мы их ни делали, некоторые из них могут оставаться трудными для прослеживания, если содержание рассуждения очень сложно. Ясно, что если мы сделаем ступени настолько небольшими, насколько это возможно, то каждая ступень должна стать данным, ибо иначе всякая попытка доказательства предполагала бы бесконечный регресс. Возьмем, скажем, силлогизм модуса Barbara. Я говорю: «Все люди смертны», — и вы с этим соглашаетесь. Я говорю далее: «Сократ человек», — и вы снова соглашаетесь. Тогда я говорю: «Следовательно, Сократ смертен», — и вы говорите: «Я не вижу, из чего это следует». Что я могу сделать в этом случае? Я могу сказать: «Разве вы не видите, что если f(x) всегда истинно, то f(a) истинно? И разве вы не видите, что, следовательно, если f(x) всегда имплицирует f(x), тогда f (Сократ) имплицирует y (Сократ)? И разве вы не видите, что я могу поставить «x есть человек» вместо 'fx: «и «x смертен» вместо yxc? И разве вы не видите, что это доказывает мое утверждение?» Ученик, который не мог бы следить за этим рассуждением и не мог бы следить за первоначальным силлогизмом, был бы психологическим монстром. И даже, если бы нашелся такой ученик, он все же должен был бы «видеть» ступени моего нового доказательства.
   
Из этого следует, что когда доказательство строится как можно проще, связь, утверждаемая на каждой ступени, должна быть данной. Но невозможно, чтобы связь на каждой ступени имела высшую степень правдоподобия, потому что даже наилучшие математики иногда делают ошибки. Действительно, наши восприятия логических связей между предложениями, подобно нашим чувственным восприятиям и нашим воспоминаниям, могут быть расположены по их степеням правдоподобия: в некоторых мы видим логическую связь так ясно, что нас нельзя заставить сомневаться в ней, тогда как в других наше восприятие связи настолько слабое, что мы не уверены относительно того, видим мы ее или нет.
   
Я буду далее исходить из допущения, что данное, в том смысле, который я определил в начале этого раздела, может быть недостоверным в большей или меньшей степени. Теоретически мы можем установить связь между этим видом недостоверности и видом, полученным из математической вероятности, если предположим, что недостоверность одного вида может быть установлена как большая, равная или меньшая недостоверность другого вида. Например, размышляя, я слышу слабый звук, но я не уверен в этом и теоретически могу сказать: наличие этого звука обладает той же степенью рационального правдоподобия, что и выпадение двойной шестерки на игральных костях. В какой-то степени такие сравнения могут быть проверены посредством сбора свидетельств об ошибках, касающихся слабых ощущений, и разработки их частоты. Все это неопределенно, и я не вижу, как можно сделать это определенным. Но во всяком случае это говорит за то, что недостоверность данных квантитативна и может быть равной или неравной недостоверности, получаемой из вывода о вероятности. Я буду исходить из допущения, что дело обстоит именно так, признавая вместе с тем, что на практике числовое измерение недостоверности какого-либо данного редко оказывается возможным. Мы можем сказать, что недостоверность равна половине, когда сомнение таково, что составляет равенство между верой и неверием. Но такое равновесие может быть установлено только посредством самонаблюдения и не может быть подтверждено каким-либо видом проверки.
   
Допущение недостоверности данных усложняет процесс оценки рационального правдоподобия предложения. Предположим, что определенное предложение p само по себе имеет степень правдоподобия x как данное; и предположим, что имеется также связь h между предложениями, имеющими внутренне присущее им правдоподобие у, из которого на основании доказательства, имеющего правдоподобие z, следует что p имеет степень правдоподобия w. Каково тогда общее правдоподобие p? Возможно, мы могли бы сказать, что он равно х + yzw. Но h также наверняка имеет как выводимое, так и внутренне присущее правдоподобие, и это будет повышать правдоподобие х. Действительно, усложнения скоро становятся трудно поддающимися анализу. Это ведет к некоторому сближению с теорией Гегеля и Дьюи.
   
Если дано некоторое число предложений, из которых каждое имеет очень высокую степень внутреннего правдоподобия, и если дана система выводов, в силу которой эти различные предложения повышают правдоподобие друг друга, то может создаться возможность прийти в конце концов к системе взаимосвязанных предложений, имеющих в целом очень высокую степень правдоподобия. Внутри этой системы некоторые предложения являются только выводными, но ни одно не является только посылкой, ибо те предложения, которые являются посылками, оказываются тоже заключениями. Здание познания можно сравнить с мостом, покоящимся на многих опорах, каждая из которых не только поддерживает мост, но и помогает другим опорам прочно стоять благодаря связывающим их фермам. Опоры являются аналогами предложений, имеющих некоторое внутренне присущее им правдоподобие, тогда как верхние части моста являются аналогами того, что только выводится. Но хотя каждая опора может быть усилена другими опорами, все сооружение в целом опирается на прочный грунт, и подобным же образом опирается все здание знания на внутренне присущее предложениям правдоподобие.
   Г. Степени субъективной достоверности
   
Субъективная достоверность — это психологическое понятие, тогда как правдоподобие, по крайней мере отчасти, является логическим. Вопрос о том, имеется ли какая-либо связь между ними, есть лишь в другой форме поставленный вопрос о том, знаем ли мы что-нибудь. Он не может обсуждаться на основе полного скептицизма; если мы не собираемся что-то утверждать, никакое доказательство невозможно.
   
Прежде всего различим три вида достоверности.
   
1. Пропозициональная функция достоверна в отношении другой функции, когда класс членов, удовлетворяющих второй функции, есть часть класса членов удовлетворяющих первой функции. Например, «x есть животное» достоверно по отношению к «х есть разумное животное». Это значение достоверности относится к математической вероятности. Мы будет называть этот вид достоверности «логической» достоверностью.