1 2 3 4 5 6 
Можно эти аксиомы формулировать несколько иначе и в ином порядке, имея в виду определения кривых 2–го порядка, данные нами в § [ ]. Но этого мы не станем делать, чтоб не загромождать изложения.
     
4. Сказанного вполне достаточно, чтобы дать аксиоматическую установку для выразительной области геометрии. Но поскольку подобная теория проводится впервые, краткость всегда приведет к сухости, абстрактности и слишком большой общности. Поэтому попробуем войти глубже в диалектику эвклидова и обоих неэвклидовых пространств, привлекая на помощь также индуктивные данные.
     
а) Мы изучаем выразительное пространство. Выражение, являя внутреннее вовне, есть тождество внутреннего и внешнего. Внутренним является идеальная геометрическая фигура, т. е. тот ее чисто мысленный и отвлеченный образ, который мы еще никак и ничем не измеряем и о котором не знаем, какую форму он примет в реальном пространстве. Это реальное пространство и есть то внешнее, с чем внутреннее, т. е. идеальная фигура, отождествляется. Как же происходит это отождествление?
     
Будем покамест говорить о простейшем геометрическом образе — точке. Та точка, с которой мы до сих пор имели дело, вполне «идеальная». Она идеальная до того, что не имеет даже тех измерений, которые свойственны вообще разным фигурам. Может ли эта исключительная идеальность, доходящая до какой–то фантастической абстрактности, оставаться такой до конца? Этого не может быть уже потому, что реальные точки нашего опыта всегда имеют то или иное измерение. Это или чернильное пятнышко, или острие иголки и пр. А ведь геометрия должна осилить ^весь чувственный опыт,> если она хочет быть жизненной. Следовательно, эту фантастическую бесплотность точки надо превратить в живую плоть. И этим занимается выразительная геометрия.
     
b) Именно, точка, будучи «внутренним», «идеальным», «чистым» и т.д. образом, погружается во «внешнее», «реальное» становление с тем, чтобы отождествиться с ним. Но диалектическое отождествление предполагает отождествляемое неизменным. Поэтому, чтобы идеальная точка воплотилась в реальном становлении, необходимо, чтобы и становление стало идеальным, и идеальное стало становящимся. Чтобы становление стало идеальным, надо ему перестать быть растянутым, грузным, тяжелым инобытием. Оно должно стать легким и невесомым, как сама точка. Это значит, что такая выразительная точка сразу должна находиться во всех моментах своего становления. Становление не должно тут быть процессом, но оно должно быть таким же мгновенным, как и сама точка. С другой стороны, оно не может просто уничтожиться; диалектика требует, чтобы оно в этом новом синтезе и тождестве, в этом новом пространственно–выразительном символе оставалось самим собой. Это значит, что оно здесь абсолютно безразлично в себе и не занято никакой едино–раздельностью, как и полагается чистому меону. А это значил, что точке безразлично, в каком направлении двигаться, когда она переходит в становление; она всегда и при всяком случае остается самой собой, т. е. всегда сама тождественно находит себя в становлении, но уход в становление, т. е. от себя, тождествен возвращению из становления, т. е. к себе. Это значит, наконец, что она движется по замкнутой линии.
     
Итак, идеальность инобытия заставляет точку сразу быть во всех моментах своего пути одновременно, а инобы–тийность идеального заставляет точку иметь этот путь в виде замкнутой линии (скажем, окружности). Выразительная точка, следовательно, есть окружность, во всех моментах которой точка пребывает одновременно и неизменно.
     
Этот совершенно понятный язык можно пояснить еще и так. Идеальное — вневременно и внепроцессуально. Но оно может отождествляться с реальным. В таком случае оно охватывает все реальное, двигаясь по нему с бесконечной скоростью. Когда точка движется по своему пути с бесконечной скоростью, она сразу и одновременно находится во всех без исключения точках своего пути. Это и значит, что она сохранила в реальном свою идеальность. Выразительная точка поэтому тождественна с бесконечно большой окружностью, которая, однако, пройдена вся сразу в одно бесконечно малое мгновение.
     
c) Но и этого мало. Наша идеальная точка двигалась в определенном направлении, чтобы воплотиться в становление. Скажем для простоты, что это было горизонтальное направление. Но выбор этого направления,•конечно, вполне условен. Становление точки совершается не только в горизонтальном направлении, но и, например, в вертикальном, и притом вполне одновременно с горизонтальным. Так как идеальное внепространственно, то оно не зависит и от направлений в пространстве, т.е. оно одновременно и совершенно в одинаковом смысле воплощается и становится сразу во всех направлениях пространства. Следовательно, наша точка сразу и одновременно описывает в одно мгновение бесконечно большую окружность и вправо, и влево, и вверх, и вниз, и во всех промежуточных направлениях, различие которых исчеза–юще мало. Наша точка есть некий фонтан бытия, бегущий сразу во все направления пространства, которые только можно себе представить. Она сразу пробегает всю бесконечность во всех направлениях и мгновенно возвращается к себе. Ей все равно, куда двигаться. Когда она движется налево, это все равно, что ей двигаться направо. Удаляясь от себя налево, она этим самым приближается к себе справа, и, двигаясь от себя вверх, она тем самым спешит к себе снизу. Такова эта сокровенная мысль круга. Удаляться от себя — значит приближаться к себе, и стремиться к себе — значит уходить от себя. Куда бы мы ни двигались, мы все равно приходим к себе, или, что то же, к иному. Но и самый момент начала движения абсолютно совпадает с моментом конца движения, так что не только безразлично, куда двигаться, но и безразлично, двигаться ли вообще.
     
В этом образе выразительной точки лучше всего можно проверить неизбежность всех основных диалектических категорий идеального: бытия, инобытия, различия, тождества, движения и покоя. Таково идеальное вообще, выраженное здесь геометрически.
     
d) Теперь не удивляйтесь, если я скажу, что этот бегло намеченный нами образ выраженной точки и есть не что иное, как пространство Римана.
     
Когда стараешься вникнуть в эти многочисленные изложения геометрии Римана, поражает одна яркая антитеза— неумолимая строгость всего вывода и чудовищность, с обычной точки зрения, всех получаемых результатов. Чтобы понять философскую сущность пространства Римана, приходится разыскивать его зерно, его душу, его перво–принцип, а это–то и трудно уловить за бесконечными и чудовищными нагромождениями. Сами математики мало этому помогают. Тончайший и глубочайший вопрос о смысловом содержании пространства Римана они почти всегда подменяют вульгарным и матерым вопросом о его «реальности». Еще неизвестно как следует, в чем дело и что это за тайна — эллиптическо–сферическое пространство Римана, а уже решается вопрос, реально ли это пространство. И тут, как всегда, целый букет разнообразных вкусов и капризов. Одним хочется, чтобы оно было; другим хочется, чтобы его не было; третьи — и нашим, и вашим; и т. д. Мы отбрасываем весь этот «кабинет любомудрия» и попробуем вникнуть в самое смысловое содержание пространства Римана и неэвклидовых пространств вообще.
     
5. а) Для нашего исследования очень малую роль играют аналитические рассуждения. Как ни просто, ясно и прекрасно мероопределение Кэли — Клейна, оно нам почти ничего не дает для философского истолкования неэвклидовых пространств. Этот множитель К в определении расстояния, принимающий разное значение для пространств Эвклида, Лобачевского и Римана и связанный с т. н. кривизной пространства, уже предполагает некую интуицию, которую приходится заимствовать из каких–то других источников. Больше дает нам выяснение отношения указанных трех пространств к пространству проективному. Уже в § [63 ] мы видели, как разные типы геометрии получаются при помощи усложнения проективной геометрии. Виды геометрии, рассматриваемые у нас сейчас, также без особого труда выводимы из проективной геометрии. Но и этот метод все еще недостаточно интуитивен и все еще слишком сложен для того непосредственного ощущения, которое должно лежать в основе всякого философского заключения.
     
Остается один способ — это попробовать использовать обе основные неэвклидовы геометрии эвклидовски–ми методами. Нельзя ли в «нашем», «обычном» пространстве найти такие формы, которые бы в той или иной форме символизировали собою эти чудовищные (на первый взгляд) нагромождения неэвклидовых пространств? Такие попытки были предприняты крупнейшими математиками, Пуанкаре и Клейном, а в простейшей и наглядной форме это изложено у И. Вельштейна в его «Основаниях геометрии». И в этом — якорь нашего философского спасения. Не будь этой эвклидовской интерпретации неэвклидовых пространств, философская сущность последних была бы недостижима и теперь, через сто лет после открытия неэвклидовой геометрии, как она была неясна и тогда[75].
     
Для уловления этого изначального символа эллиптического пространства рассмотрим сначала понятие т. н. связки.
     
b) Формулируем сначала ряд несложных геометрических понятий.
     
Степенью точки относительно данной окружности называется произведение всей секущей, проходящей (рис. I)[76] через эту точку, на ее внешний отрезок. Это величина постоянная для данной окружности и точки и равняется квадрату касательной к данной окружности из этой точки. В случае, когда эта точка находится внутри окружности, степень равняется квадрату полухорды, перпендикулярной к прямой, соединяющей ее с центром окружности. В первом случае оба отрезка секущей всегда расположены по одну сторону точки (будем называть ее О), во втором случае — по разные стороны. Отсюда в первом случае степень считают положительной, во втором же—отрицательной. Если точка О лежит на окружности, то ясно, что степень ее равна нулю. Точки, обладающие одной и той же степенью относительно нескольких окружностей, расположенных в одной плоскости, лежат на одной прямой, перпендикулярной к их линии центров и называемой радикальной осью данных окружностей. В различных точках этой оси степень точки относительно данных окружностей, конечно, разная. Точка пересечения этих осей называется радикальным центром.
     
     
Окружности, расположенные в одной плоскости и имеющие общую радикальную ось, образуют пучок окружностей. Эти окружности по числу общих точек образуют три группы[77] пучков: 1) параболический пучок, в котором окружности имеют только одну общую точку (рис. 2), 2) эллиптический, когда (рис. 3) их две и 3) гиперболический, когда их ни одной (рис. 4). В первом случае радикальная ось {а) проходит/ через общую точку, т. е. точку касания всех окружностей, во втором — она внутри окружностей (А1А2) и в третьем — она вне их (а'). Легко доказывается из рис. 4, что линия центров эллиптического пучка есть радикальная ось гиперболического пучка, а радикальная ось эллиптического есть линия центров гиперболического и окружности обоих пучков пересекаются ортогонально.
     
Совокупность окружностей на плоскости, относительно которых какая–нибудь точка О имеет одну и ту же» степень, называется связкой окружностей. Связки тоже бывают трех типов с теми же названиями, что и у пучков, в зависимости от того, имеет ли общий радикальный центр положительную или отрицательную степень относительно окружностей связки или окружности, проходя через одну и ту же точку плоскости, определяют для нее и одну и ту же нулевую степень. Связку можно определить и иначе. Имея в виду, например, что в гиперболической связке значение степени есть (+р2) и что окружность с центром О и радиусом ρ ортогонально пересекает все окружности связки, можно сказать и так: связка окружностей есть такая совокупность окружностей, которые пересекают данную окружность ортогонально. Поскольку в эллиптической связке общий радикальный центр имеет степень (— р2) относительно всех окружностей связки, диаметральная окружность эллиптической связки относится к самой связке, в то время как в гиперболической она — вне ее. Точки пересечения всех окружностей связки могут быть расположены и на самой диаметральной окружности, как это видно на рис. 5[78].
     
Наконец, необходимо иметь в виду и пространственные отношения. Пучок окружностей, вращаясь вокруг линии центров, образует пучок сфер, т. е. совокупность сфер, имеющих общую радикальную плоскость. Если же окружности связки вращаются каждая вокруг своего центра, то получается связка сфер, совокупность сфер, имеющих общую радикальную ось. Совокупность же сфер, относительно которых некая точка О имеет одну и ту же степень, называется сетью сфер.
     
     
В случае связки окружностей каждая прямая, проходящая через точку О, пересекает каждую окружность связки в двух точках, в т. н. паре точек связки. Соответственно и в сферической сети — пара точек сети. Эти точки — взаимообразные, потому что они получаются одна из другой путем аналогичного преобразования.
     
с) Все эти установки дают нам в руки весьма тонкий инструмент для уловления философской сущности неэвклидовой геометрии. Попробуем представить себе, что в эллиптической связке пара точек в инверсии сети является одной точкой. Другими словами, представим себе, что точки Qx и Q2 (рис. 4) пересечения всех окружностей (и сфер) связки есть одна и та же точка. Представить это, может быть, и не так легко. Но вспомним, что мы говорили выше. Точка на данной ступени диалектического развития геометрии должна мыслиться не абстрактно, но выразительно: она вмещает в себя и свою антитезу, т. е. свой уход в бесконечное инобытие, свою «бесконечно удаленную» точку. Итак, точку мы берем вместе с ее диалектической антитезой.
     
Но что же тогда мы назовем прямой? Прямая предполагает по крайней мере две точки. Но, взглянувши на рис. 4 и помня сказанное выше о выразительности точки, мы сразу замечаем, что какая–то прямая должна образоваться, уже когда абстрактная точка удалилась в свое бесконечное инобытие, и что если она в этом последнем нашла не что иное, как саму же себя, то это возможно только благодаря замкнутости пути, проходимого ею для этого. Следовательно, прямая в нашей новой геометрии есть не что иное, как окружность. Уйти в инобытие, отрицая себя, и найти в инобытии себя же, отрицая свое отрицание и тем заново утверждая себя, — это значит двигаться по окружности. Да мы и раньше, еще в конструкции отвлеченных фигур (§ [55 ]), нашли, что выразительная линия есть определенным образом замкнутая линия. Итак, будем считать окружности нашей связки за прямые.
     
Теперь не потребует объяснения, что плоскостью в нашей новой геометрии нужно считать сферу.
     
Итак, вот у нас новое пространство. В нем точка — это то, что сразу охватывает всю бесконечность в смысле совмещения с данной точкой и той, которая от нее бесконечно удалена (хотя в буквальном смысле о бесконечности может тут идти речь только в отношении предельного случая, когда окружность выпрямляется в прямую; в остальных же случаях о бесконечности можно говорить только символически); прямая—это окружность, и плоскость—сфера, что, конечно, тоже является охватом бесконечности, но только в смысле последующих измерений (с указанным символическим пониманием бесконечности, поскольку Риманово пространство вообще может рассматриваться как конечный символ бесконечного). Все прямые и все плоскости в нашем новом пространстве проходят через эту точку, т. е. все они выходят из нее и в нее возвращаются. Но мы, кроме того, говорим о связке окружностей и сфер. А это значит, что прямые, выходя из этой точки и возвращаясь в нее, заполняют решительно всю плоскость, двигаясь сразу во все стороны, которые только допускает плоскость; и плоскости, выходя из этой точки и возвращаясь в нее, заполняют решительно все пространство, двигаясь во всех направлениях, которые только допускает пространство. Сферическая сеть есть именно символ того нового пространства, которое раньше мы называли пространством Римана; и анализировать этот символ — значит понимать и самое пространство Римана.
     
d) В самом деле, в этом пространстве имеет полную силу наша аксиома самотождественного различия, т. е. Гильбертовы аксиомы сочетания. Можно и нужно говорить, что через две точки тут всегда проходит прямая, и притом одна, потому что две «точки» здесь есть не что иное, как две пары точек, т. е. четыре точки, а окружность (в нашем случае — прямая) определяется уже только тремя точками. Через три точки тут всегда проходит плоскость, и притом только одна, потому что три точки дают нам целых шесть точек, которых даже слишком много для определения сферы. Однако и аксиомы подвижного покоя (Гильбертовы аксиомы порядка) также в известном смысле здесь соблюдаются (понятие «между» модифицируется на понятие «развитие двух пар точек»). Формально остаются у нас и фигуры, конструированные у нас при помощи аксиом определенности, непрерывности и конгруэнтности. Единственная новость этого пространства заключается в том, что тут нет параллельных прямых, что все прямые суть замкнутые кривые, что все они пересекают друг друга уже на конечном расстоянии.
     
И эта новая аксиома параллельности накладывает свою неизгладимую печать и на все предыдущие аксиомы, хотя формально, т. е. в той абстрактной, до–выразительной форме, как они были выведены раньше, они и остаются в полной силе.
     
Сферическая сеть является в полном смысле слова символом пространства Римана, выражающим его структуру в максимально четкой форме. Она содержит в себе все особенности символа вообще, и прежде всего отождествление идеального и реального. Уже самая обыкновенная проективная геометрия, вводящая в свое рассмотрение бесконечно удаленные элементы, но не отличающая их от конечных, снимает различие идеального и реального. Это остается и в геометрии Римана, которая есть, как, правда, и всякая другая геометрия, не больше чем специальный вид проективной геометрии. В идеальном бытие и инобытие абсолютно тождественны, как, правда, и различны. В реальном же это самотождественное различие должно быть пространственно положено. А это значит, что все прямые такого пространства замкнуты. Тайна эллиптического пространства заключается в выразительном вездеприсутствии идеального, в таком тождестве идеально–отвлеченной фигуры и ее пространственного инобытия, где уже не различимо ни идеальное, ни реальное. Вот почему тут нет параллельных, и вот почему кривизна такого пространства положительная. В этом пространстве, куда бы я ни двигался, я, описавши известную замкнутую линию, возвращаюсь опять к той же исходной точке. При этом я могу двигаться вперед или назад, вверх или вниз, результат один и тот же. Наконец, если я совсем не двигаюсь, это не значит, что меня нет в другом месте. Я в это же время нахожусь и в другом месте, и притом — во всяком месте, как равно, впрочем, и двигаюсь по всем местам, достигая одни и проходя другие. Тайна пространства Римана, повторяясь, есть тайна подвижного вездеприсутствия идеальных форм, это пространственный символ идеальных фигур или, лучше, пространство как символ.
     
е) Этот символ можно несколько видоизменить. Будем мыслить себе не связку окружностей, а просто связку прямых. На этом символе Клейн прекрасно иллюстрирует все свойства эллиптического пространства. Именно, пусть точкой у нас будет вся прямая связки. Тогда под новой прямой придется понимать плоскость связки и под новой плоскостью—всю связку. Но что будет в этих случаях отрезком? Если мы поместим плоскость, пересекающую нашу связку, то каждая прямая связки и точка этой плоскости будут связаны взаимно однозначным соответствием. Спрашивается: на основании чего можно будет судить о расстоянии двух точек такой плоскости? Конечно, на основании угла между соответствующими двумя прямыми связки. Следовательно, отрезок на эллиптической плоскости нужно понимать как некий угол и, в частности, равенство отрезков есть равенство углов, а полупрямая, т. е. прямая, неопределенно продолженная в одну сторону, есть не что иное, как прямой угол. Если же мы захотели представить себе угол на эллиптической плоскости, то, поскольку для этого необходимо пересечение двух прямых, а под прямой мы условились понимать плоскость связки, угол этот на плоскости есть, очевидно, двугранный угол. А треугольник — в таком случае — окажется трехгранным углом связки.
     
На основании такого толкования эллиптической планиметрии мы должны сказать, что все категории геометрии предыдущих аксиом тут понимаются в новом смысле и эта новизна везде обладает одним и тем же методом, методом выразительности. Выразительность же есть прежде всего встреча идеи в инобытии с самой собой. И вот: точка эллиптического пространства уходит в свое инобытие, но все это инобытие, весь путь, пройденный ею, есть точка же; прямая эллиптического пространства уходит в свое инобытие, создавая своим движением плоскость, но эта плоскость есть только та же прямая; отрезок, вращаясь около своей начальной точки, создает угол, но этот угол мы считаем отрезком эллиптической плоскости; угол на эвклидовской плоскости таким же точно путем превращается у нас в двугранный угол, но этот двугранный угол и есть угол эллиптической плоскости и т. д. Везде тут один и тот же метод — выражение идеальной фигуры при помощи инобытийного к ней пространства, если под выражением понимать не внешний безразличный привесок, но самостоятельную смысловую категорию.
     
Усвоивши себе этот выразительный символ эллиптического пространства, нетрудно уже дедуцировать и прочие особенности последнего, равно как и видеть эллиптически–выразительные модификации всех предыдущих аксиом. «Аксиомы сочетания», очевидно, пополняются указанием на то, что всякие вообще две прямые пересекаются, равно как и плоскости. В «аксиомах расположения» уже нельзя просто утверждать, что если А предшествует В, то В следует за А, так как на замкнутой кривой две точки еще не дают представления о направлении. Только четыре точки, или т. н. разделение двух пар точек, обеспечивают здесь категорию следования и «порядка». Две точки определяют тут не один отрезок, а два (ввиду той же замкнутости прямых). Но так как две прямые продолжают тут пересекаться в одной точке, то получается, что прямая не делит эллиптической плоскости на две раздельные части, а плоскость не делит пространства на две равные части. Две пересекающиеся прямые образуют тут не четыре угла, как у Эвклида, а только два, и два смежных угла, равно как и полный угол, одинаково равняются двум прямым углам. Легко доказывается и существование в эллиптической плоскости треугольника, у которого все углы прямые. Так как угол равен тут отрезку, то длина полупрямойа длина всей прямой = π. Можно сказать, что прямая есть частный случай окружности, когда ее радиус равен Сумма углов треугольника всегда меньше π. Этот факт, между прочим, если его истолковать методом связки, есть не что иное, как то, что сумма трех двугранных углов треугольника больше двух прямых двугранных углов. Это обстоятельство так же ясно, как и то, что прохождение через одну точку всех перпендикуляров к одной и той же прямой соответствует прохождению через некоторую прямую всех плоскостей связки, перпендикулярных к одной и той же плоскости. Площадь всей плоскости = 2π и т. д. и т. д.
     
Если мы обратим внимание на то, что в эвклидовской сферической тригонометрии сферический треугольник есть не что иное, как трехгранный угол с вершиной в центре шара и сторонами, равными дугам больших кругов, то можно будет сказать, что прямолинейная эллиптическая тригонометрия вполне тождественна с эвклидовской сферической тригонометрией. Если наши отвлеченно–идеальные фигуры будут воплощены на поверхности шара, но в то же время будут квалифицироваться не как явления на поверхности, а как явления на плоскости, то мы и получим эллиптическую геометрию. Этим фигурам будет свойственна любая выразительная кривизна, зависящая не от них самих, но от непосредственного отождествления их с чистым и пустым, абсолютно алогичным инобытием–пространством.
     
Наконец, из основных геометрических свойств анализируемой плоскости я бы указал еще на одно, может быть, самое замечательное, что здесь имеется. Именно, эллиптическая плоскость односторонней. И чтобы это понять, тут тоже необходимо полететь «вверх пятами», но только на этот раз уже в буквальном смысле. Можно ли себе представить, что плоскость не имеет двух сторон, например верхней и нижней? Казалось бы, это есть уже какое–то умопомешательство. А тем не менее это надо себе представить, так как настоящая математика вообще есть ниспровержение «здравого рассудка», хотя людская пошлость сумела и здесь поставить все вверх дном и понять математику именно как апофеоз здравого рассудка. Но что же это такое, односторонняя плоскость, или поверхность? Укажем сначала ее философское место и потом приведем и геометрический образ.
     
Мы знаем: всякая прямая имеет только одну бесконечно удаленную точку, что указывает на тождество положительного и отрицательного направления в смысле достижения этой точки. Мы знаем также, что в эвклидов–ском пространстве две параллельные встречаются в бесконечно удаленной точке, как бы изгибаясь одна другой навстречу. Но представим себе некую фигуру между этими двумя параллельными. Если верхняя параллельная склоняется книзу[79], а нижняя кверху, то, очевидно, фигура, заключенная между параллельными, перевертывается, прохождение через бесконечно удаленную область сопровождается перевертыванием. То, что в конечной области есть верх, то в бесконечности — низ, а что низ, то — верх. Поверхность, проходящая через бесконечно удаленную область, выворачивается наизнанку, гак что уже нельзя различить, где лицо и где изнанка. Таким образом, односторонность поверхности есть в философском смысле не больше как уход в инобытие, где уходящее отрицает самого себя, но где оно одновременно и находит себя, отождествляется с собою. Одна и та же философская идея заключается и в том, что прямая имеет только одну бесконечно удаленную точку, т. е. что направления тождественны, и в том, что фигура, проходящая через бесконечно удаленную точку, перевертывается, и в том, что эллиптическая плоскость одностороння. Ведь последняя есть символ бесконечности, т. е. она воплощает бесконечные отношения в конечной и, следовательно, выразительной форме. Поэтому то, что у Эвклида осуществляется только при условии предельного процесса, в геометрии Римана происходит уже в конечной области.
     
Яснее всего односторонняя поверхность представима на поверхности Мёбиуса [рис. 6 ][80]. Если в одной точке этой поверхности мы поместим и заведем часы, то, когда они пройдут всю эту поверхность и вернутся к исходной точке, мы заметим, что их стрелка движется теперь уже в обратную сторону. Если по средней линии поверхности Мёбиуса пройдет река, то мы, двигаясь вдоль одного берега, рано или поздно очутимся на другом берегу, хотя и без всякого переплывания с одного берега на другой по воде. Эти чудеса, творящиеся в эллиптическом пространстве, математически объяснимы слишком элементарно, чтобы можно было удивляться (идея односторонней поверхности), философски же это есть только логически последовательно проведенная идея бесконечности.
     
     
     
Однородность поверхности вполне ясна и на связке прямых. Если эти прямые образуют конус и его ось мы повернем на 180°, то образующая, которая раньше описывала коническую поверхность в одном направлении, теперь будет описывать ее в обратном, что и есть признак односторонности.
     
6. В настоящем контексте мы не будем подробно рассматривать виды выразительного пространства и ограничимся лишь краткими замечаниями.
     
a) Во–первых, пространство Римана может быть только эллиптическим. Когда мыслится, что всякая прямая пересекается с другой прямой не в одной, а в двух точках, мы получаем не эллиптическую Риманову, но сферическую Риманову геометрию. Используя нашу сеть сфер, мы теперь должны пару точек сети принимать не за одну точку, как в эллиптическом пространстве, но за две взаимно сопряженные точки. То же самое мы получим, если в качестве пра–символа сферического пространства возьмем связку лучей (вместо связки полных прямых). Тогда, по аналогии с эллиптическим пространством, точкой будет луч связки, прямой — плоскость связки, плоскостью— вся связка, отрезком — угол между двумя лучами, углом на плоскости — трехгранный угол и т. д. Если же мы из центра связки лучей опишем шаровую поверхность радиусом = 1 и установим взаимно однозначное соответствие между лучами связки и точками поверхности, то полученная геометрия на поверхности шара будет полным пра–символом сферической планиметрии — стоит только под точкой понимать точку обязательно шаровой поверхности, под взаимно сопряженными точками—диаметрально противоположные, под прямой — окружность большого круга, под плоскостью — поверхность шара, под отрезком—дугу большого круга, под углом — угол между окружностями больших кругов и иод треугольником — сферический треугольник. При всем сходстве с эллиптической системой тут и большие различия— вроде, например, того, что сферическая плоскость—двухсторонняя (она тут как бы дважды выворачивается и потому остается в первоначальном виде) или что полный угол составляет тут не два, а четыре прямых и т. д.
     
Если разница между обеими геометриями Римана есть разница геометрий связки прямых и связки лучей, то для прямой в одной связке мы находим два луча в другой и, следовательно, фигура в одном пространстве соответствует двум симметричным фигурам в другом пространстве, что каждой точке и двум прямым эллиптической плоскости соответствуют две различные, взаимно противоположные точки и две прямые с двумя общими точками сферической плоскости или что, вообще говоря, эллиптическая плоскость двойная[81].
     
b) Обеим Римановым геометриям противостоит геометрия Лобачевского, «гиперболическая». Ее пра–сим–вол — указанная выше гиперболическая связка окружностей. Тут мы находим бесчисленное количество окружностей и сфер, которые не пересекаются с данной окружностью или сферой. Можно сказать, что непересекающиеся окружности пересекаются здесь в мнимых точках, а две непересекающиеся сферы имеют общую мнимую окружность, которую всякая прямая, проходящая через точку О в этой плоскости, пересекает в двух взаимно обратных мнимых точках. Вместо того чтобы всем прямым пересекаться уже на конечном расстоянии, мы находим тут целых три категории взаимоотношения прямых. Две прямые определяют здесь или пучок сходящихся прямых (это есть и у Римана, и у Эвклида), или пучок параллельных прямых (как у Эвклида), или пучок расходящихся прямых. Последние и есть оригинальность плоскости Лобачевского. Этот пучок есть совокупность прямых, перпендикулярных к общему перпендикуляру двух данных прямых. Расстояние между двумя параллелями беспредельно растет в одном направлении и беспредельно убывает в противоположном. Поэтому происходит непрерывный переход от пересекающихся, сходящихся прямых через параллели к расходящимся. Если у Римана вовсе нет вещественных бесконечно удаленных точек <…> так что они пересекают эту область, но все еще не пересекаются в ней, а пересекаются где–то за ней, мнимо.
     
Пуанкаре дал замечательное по наглядности и осязательности истолкование пространства Лобачевского в эв–клидовских терминах. Оно сводится тоже к пра–символу гиперболической связки, но формулировано по–своему, ярче и определеннее. Пусть мы имеем некую прямую[82], все точки которой (V1 N1 U…) являются бесконечно удаленными точками. Пусть мы будем считать точкой обязательно точку верхней полуплоскости, а прямой — полуокружность с центром на данной прямой или полупрямую, перпендикулярную к ней (она, как ясно, будет предельным случаем этих полуокружностей). Новой плоскостью мы станем считать только верхнюю полуплоскость, и вообще нижней полуплоскости для нас не существует. Тогда под параллельными прямыми придется считать полуокружности и полупрямые, которые имеют общий конец. На рис. [7 ] полуокружности U V и NN1 не имеющие общих точек, суть непересекающиеся. Полуокружности UPU' и UV с общей точкой на данной линии параллельны. Пересекающимися прямыми здесь окажутся, например, V1PV и UPU1 с точкой пересечения [.Ρ] выше данной линии.
     
     
     
Вдумаемся в эту интерпретацию Пуанкаре. Мы видим, что пространство устроено здесь также по закону некоторой кривизны, так как мы принуждены толковать прямые в виде полуокружностей. Фиксируя себя в конечной области, мы начинаем замечать, что оба конца прямой, на которой мы поместились, уходят в бесконечность, но что это не та единая бесконечно удаленная точка, до которой доходят оба конца прямой в Эвклидовом пространстве. Это разные точки. Если эвклидов–ская полупрямая, уходя в бесконечность, получает только одну бесконечно удаленную точку, как бы только касается, дотрагивается до бесконечности, в гиперболическом пространстве перед нами открывается в этой бесконечности еще новая бесконечность, т. е. мы тут не просто дотрагиваемся до нее, но входим в ее глубину и, таким образом, охватываем бесконечность самой бесконечности. Сама бесконечность тут положена как таковая, ставши из мнимой (в эллиптическом пространстве) фактической, вещественной. На нашем языке это значит, что параболическое становление перешло тут в гиперболически ставшее. В конечной же области это сказывается бесконечно расходящимися прямыми, тем, что к данной прямой через данную точку возможно бесконечное количество параллельных. Если в пространстве Римана каждая точка, уходя в бесконечность становления, тут же и возвращается к себе, так что мы уже в конечной области созерцали этот диалектический круговорот, то в гиперболическом пространстве точка не только не возвращается к себе, но уходит в реальную, вещественную бесконечность, и не только это, но стремится в этой бесконечности утвердиться и осесть. Тогда пересечение двух прямых, прошедших через бесконечность, может быть только мнимым, т. е. оно попросту отсутствует вещественно и только идеально представляется.
     
     
Но пожалуй, интерпретация Кэли — Клейна еще более простая [(рис. 8)][83]. Представим себе шар. Точкой пусть будет точка только внутри этого шара, прямой—его хорда и плоскостью—любое круговое сечение шара. Все точки на поверхности шара исключаются. Тогда пересекающимися прямыми окажутся только те, которые имеют общую точку внутри шара. Если иметь в виду прямую А В и точку М, то пересекаться с А В будут все прямые, исходящие из Μ внутри угла AM В. Все же прямые за пределами этого угла не будут пересекаться с А В (вещественно, а будут пересекаться мнимо за пределами круга). Прямые МА и MB будут отделять все пересекающиеся прямые от не пересекающихся с прямой А В, т. 'е. они будут параллельными в смысле Лобачевского. Мы видим, что непересекающихся, расходящихся прямых в этих условиях может быть сколько угодно, что бесконечно удаленные точки никогда не могут быть достигнуты (так как они исключаются с самого начала), что прямые Μ А и MB образуют «равные» углы с «перпендикуляром» из Μ и А В и т. д. Тут выполняются все аксиомы геометрии, за исключением аксиомы об единственной параллельной.
     
     
с) В данном месте нет надобности давать обоснование эвклидовой геометрии; тем более нет надобности как–нибудь иллюстрировать относящиеся сюда области.
     
Заметим только ради единства изложения, что пра–сим–волом Эвклидового пространства также может быть связка окружностей и сфер, причем именно параболического типа, т. е. когда все окружности и сферы имеют одну общую точку (см. выше, п. 5b). Пусть прямыми и плоскостями будут окружности и сферы сети, а точка останется в обычном виде. Другими словами, всякая окружность окажется символом бесконечно удаленной прямой, а параллельными прямыми окажутся все окружности, пересекающиеся в данной точке. Легко увидеть, что все до–выразительные аксиомы и Эвклидова аксиома параллельности вполне найдут себе место в так понимаемом пространстве.
     
d) Наконец, тот же Пуанкаре еще в одной старой работе[84] дал простейшее и яснейшее представление об основных «квадратичных» геометриях, под которыми он понимает геометрии, рассматриваемые с точки зрения основной поверхности второго порядка. Если этой основной поверхностью второго порядка является обыкновенный шар, то эта сферическая геометрия и есть геометрия Римана при условии понимания больших кругов в качестве прямых линий. Геометрию Римана мы получаем и на эллипсоиде. При двуполом гиперболоиде в качестве основной поверхности мы имеем геометрию Лобачевского, а при эллиптическом параболоиде — геометрию Эвклида. Можно поставить вопрос и о геометрии на однополом параболоиде, если отказаться от предрассудков, которые часто мешают геометрам серьезно отнестись к тем или другим пространствам. Пуанкаре говорит, что для геометрии однополого гиперболоида нужно признать, что: 1) расстояние двух точек, лежащих на одной и той же прямой на производящей основной поверхности, равняется нулю; что 2) никаким движением нельзя превратить эллиптические диаметральные сечения в гиперболические (то и другое принимается за прямые); что 3) невозможно совместить прямую с самой собой путем вращения около одной из ее точек (как у Эвклида совмещается сама собой прямая при вращении на 180°).
     
Словом, сколько существует поверхностей второго порядка, столько можно себе представить и квадратичных геометрий.
     
7. В заключение, возвращаясь к трем видам выразительной аксиоматики в геометрии, формулированным в п. 3, дадим общую характеристику выразительного пространства.
     
Выразительное пространство есть такое внешнее пространство, по которому видно внутреннее. Внутренним, или идеальным, пространством является чистая фигурность как таковая, в той форме, как она выведена на основании аксиом едино–раздельности, непрерывности и конгруэнции. Внешним, реальным, инобытийным пространством является абсолютно–внефигурное становление, противостоящее всякой фигуре. Когда рождается выразительное пространство, то тем самым прекращается раздельное бытие обоих абстрактных пространств и возникает их абсолютное тождество как символ. Этот символ есть перво–принцип выразительного пространства.
     
Пространство как символ, как символическое пространство сначала понимаем непосредственно, как простую положенность, как тезис. Это значит, что идеальная фигурность просто и целиком воплощена на темном поле инобытийно–бесконечного пространства. Но воплотиться идее — значит целиком присутствовать ей везде, мгновенно охватывать всю длительность пространства. Другими словами, идея, уходя вовне, там же вовне и встречает себя, вечно пребывая, таким образом, в нерушимом круговороте себя самой. Это опознание себя в инобытии, эта встреча с самой собою, когда всякая точка сразу двигается от себя самой во всех возможных направлениях и тем самым отовсюду приближается к себе самой, — вот это пространство как символ, как тезис символа, как принцип символа и есть сферическое пространство Римана. Оно бесконечно, но его бесконечность не расплывается до безразличия, а собрана в себе; она есть система выразительной кривизны, обозримая уже на конечных масштабах. Да бесконечность и не нуждается в отсутствии границ. Истинно бесконечное— оформленно, определенно и в этом смысле конечно. Или, выражаясь бессмертными словами Римана в его общеизвестной вступительной лекции о гипотезах в геометрии, оно — безгранично, но не бесконечно.
     
Но вот, символ переходит в свое инобытие; он отрицает себя. Пространство, в котором каждая точка возвращалась к себе и которое было сконструировано так, что был обеспечен круговорот бытия геометрической идеи в себе и невозможно было этому бытию иметь другие пути для перемещения фигур, — это пространство вдруг бросается в бездну бесконечной тьмы, забывает себя, отчуждается [от] себя, перестает быть собою. Раньше оно было вечным возвратом [к] себе, теперь же оно — антитезис этого возврата, т. е. теперь оно — уход от себя без возврата к себе, не круговорот, а истечение в неведомую мглу. Положительная кривизна сферического пространства распрямляется и превращается в прямизну. Пространство уже не обеспечивает предмет [ы] такого движения, чтобы оно приводило их к самим же себе. Наоборот, пространство сконструировано здесь так, что если вещь уходит от некоторой точки, то она уходит всерьез и уже никогда не вернется к исходному месту. Таково пространство Эвклида.
     
Но всякая идея, даже уходя в абсолютное инобытие, даже забывая себя, все же остается самой собой. Если бы раз навсегда идея перестала быть самой собой, то она никогда не смогла бы воскреснуть и вновь. Смысл не может перестать быть смыслом, хотя его и можно забыть. Пребывая в инобытии, она есть она, ибо если ее уже нет, го что же тогда и пребывает в инобытии? Если нет того, что в инобытии, то нет и самого инобытия. Однако где же в Эвклидовом пространстве этот возврат смысла к себе, этот идеальный круговорот точки в себе, из отрицания которого родилось и само Эвклидово пространство? Мы утверждаем, что в инобытии идея теряет себя, забывает себя, становится чем–то не в себе и не для себя, но для иного. Что–то иное фиксирует ее, как ее, а она себя не фиксирует, как себя, она себя теряет, как себя. И действительно, точка, уходя в бесконечную точку инобытия, сама вовсе не значит того, что она уходит именно в бесконечность. Сколько бы точка ни двигалась в том или ином направлении, неизвестно, где же именно наступает здесь бесконечность. Как бы ни удлинялась данная прямая в Эвклидовом пространстве и как бы фактически она ни уходила в бесконечность, никакая точка ее никогда не обнаружит того, что она перестала быть конечной точкой oтрезка и превратилась в точку бесконечно удаленную. Вот это и значит, что геометрическая идея бросилась здесь в бесконечность стремглав, вслепую, что она вовсе не знает того, где она находится, что она не может отличить конечного от бесконечного.
     
Но об этом знает кто–то иной. Именно, оказывается, что на прямой Эвклида существует только одна бесконечно удаленная точка, что на плоскости Эвклида существует только одна бесконечно удаленная прямая, что трехмерное пространство Эвклида достигает только одной бесконечно удаленной плоскости. Что это значит? А это значит, что безразлично, куда двигаться точке по данной прямой, направо или налево. Она все равно придет в одну и ту же бесконечно удаленную точку. Но знает ли об этом сама точка, т. е. несет ли она с собою тог смысл, по которому можно было бы судить, находится ли она в конечной области или в бесконечности? Конечно, нет. Точка знает, что в одном направлении путь положительный, а в другом — отрицательный; для нее существует безусловное различие направлений движения. А того, что она придет в одну и ту же точку независимо от направления движения, — этого она не знает; и это с трудом усваивают даже те, кто учился геометрии. Точно так же она, как сказано, не знает различия конечного и бесконечного, ибо она вознамерилась двигаться по конечной прямой или во всяком случае конечными интервалами, а ни из каких конечных отрезков невозможно никогда получить бесконечную прямую. Итак, в Эвклидовом пространстве точка тоже возвращается к себе из бесконечности, как и в сферическом пространстве Римана, но она не знает ни того, что она возвращается к себе, ни того, что она возвращается к себе из бесконечности (подобно тому как в топологии линия не знает, прямая она или кривая). Идеальная фигурность (точка, прямая и пр.), или, короче, идея, перешла тут в инобытие, как и у Римана, но она, кроме того, забыла себя, погрузилась в инобытие вслепую, без всякой надежды на возвращение к себе. И вот почему к данной прямой через данную точку возможна только одна параллельная; и вот почему две параллельных встречаются одна с другою в одной–единственной вещественной бесконечно удаленной точке. Об этой встрече они ничего не знают, ибо практически они никогда ее достигнуть не могут. Так с полной ясностью рисуется* перед нашими глазами диалекика–параболического пространства: оно есть прямая, непосредственная, в самом буквальном смысле диалектическая антитеза сферического пространства Римана.
     
Но самозабвение в инобытии не абсолютно. Движение и становление не всегда безразлично и слепо. Очень долго длится становление, и — не получается никакого нового результата. Но наступает момент, одна капля дальнейшего становления вдруг переносит всю систему на новые рельсы, и начинается становление уже совсем новое, в неожиданном и небывалом смысле. Так сферическое пространство, распрямляя все больше и больше свою кривизну, вдруг превращается в пространство параболическое. И так это последнее, продолжая этот процесс все дальше и дальше, вдруг совершает скачок и становится пространством Лобачевского, гиперболическим.
     
Что же это за процесс и что это за скачок? Когда идеальная фигурность ушла от себя и забыла себя, то что может произойти дальше? Дальше может быть только продолжение этого ухода от себя, ибо диалектический процесс всегда идет только вперед. Но уйти еще дальше от себя—это значит не просто вечно двигаться дальше и дальше, но закрепить самый факт этого вечного движения, осесть и окопаться в инобытии не в смысле простого становления, но в смысле субстанции. А это возможно только тогда, когда в наших руках находится вся бесконечность, когда она пройдена вся целиком, а не просто точка движется по ней в неопределенную даль. Конечно, слепота остается и здесь, потому что и здесь нет никакой встречи точки с [нею же] самой после ее возвращения из бесконечности и встречи обозримой на конечном расстоянии (ибо это только и есть символ как тождество конечного и бесконечного). Но раз пройдена вся бесконечность, то, значит, пройдено и все инобытие; а если пройдено все инобытие, значит, прекращено забвение смысла, значит, покинутый смысл вновь возвращается и вновь начинает мыслиться. Правда, одной мысленности вечной встречи с самим собою мало. Но ничего иного гиперболическое пространство обеспечить не может. Оно гарантирует мнимую встречу точки, уходящей в бесконечность, с самой собой, в то время как в параболическом пространстве хотя эта встреча и была вещественной, но она была вне смысла встречающихся элементов, она была для иного., о ней не заявляли самые встречающиеся элементы.
     
В гиперболическом же пространстве, как это мы яснейшим образогм видели на толкованиях Пуанкаре и Кэли — Клейна, происходит встреча прямых за пределами бесконечно удаленной области вполне ощутимо и сознательно, хотя и мнимо. Или, выражаясь точнее, она здесь начинает мыслиться как необходимость. Эта встреча есть уже не для иного, не вне себя, но для себя; это встреча, так сказать, в сознании; точка тут начинает вспоминать, что она может и должна сойтись с собою, обойдя всю бесконечность.
     
Только обозревая всю бесконечность инобытия, можно начинать вспоминать о бытии. Но обозревание обеспечивает только воспоминание, только мнимость. И вот почему в гиперболическом пространстве параллельных прямых к данной прямой через данную точку вне этой последней — бесчисленное количество; вот почему здесь сколько угодно расходящихся прямых, которые нигде и никогда не встречаются вещественно, несмотря на обход всей бесконечности целиком. Но даже по этому же самому данные прямые встречаются мнимо за пределами бесконечно удаленной области. Эти расходящиеся прямые искривляют здесь пространство в обратную сторону по сравнению с пространством сферическим, так как последнее в своем распрямлении перешло стадию параболической прямизны и начало загибаться в другую сторону. Эта кривизна обеспечивает для точки ее встречу с собою в мнимом пространстве, а вещественно она так же лишена этой встречи, как и в параболическом пространстве.
     
В смысле диалектики выразительного пространства гиперболическое пространство обладает всеми чертами ставшего, если под становлением, или инобытием, понимать параболическое, а под бытием—сферическое. Оно есть факт, наличное бытие бесконечности. Факт не есть сам смысл, но он несет на себе смысл; и этот смысл — мнимый. Сам по себе смысл не есть ни что–нибудь вещественное, ни что–нибудь мнимое, так как эти моменты возникают лишь при переходе чистого смысла в его инобытие. Однако если смысл перешел в инобытие, оброс телом и стал фактом, то прежний чистый смысл оказался мнимым смыслом. Пока не было факта, не было и мнимости. Но раз возник факт, возникла и мнимость. Однако тут залегает диалектическое противоречие. Факт есть субстанция, действительность, вещественность, а его смысл есть только мнимость. Факт сам по себе слеп, а зрячий смысл — невещественный и мнимый. Это противоречие должно быть снято, а оно снимается, как только мы перестанем отличать вообще обе эти сферы. Оно снимается, как мы знаем, в выражении. Следовательно, в этой общей области выразительного пространства мы должны конструировать пространство, которое было бы по преимуществу выразительным, было бы выражением выражения пространства.
     
Но снять различие слепого факта и мнимого смысла в нашем случае — значит лишить гиперболическое пространство его слепой бесконечности и превратить его мнимые коэффициенты в вещественные. Но тут мы сталкиваемся с эллиптическим пространством Римана. Тут воспоминание стало реальностью; и точка, забывшая себя в бесконечном инобытии, вновь обрела себя и встретилась с собою, но уже не мнимо, а действительно. В эллиптическом пространстве нет того абсолютного <…>, которое мы находили в пространстве сферическом. Тут остается явный след его возврата к себе из инобытия в том, что пространство это двойное, что оно содержит в себе симметричное удвоение в сравнении с пространством сферическим. Но зато эллиптическая плоскость односторонняя т. е. она вообще не ориентирована в пространстве; она не нуждается ни в каком инобытии для своего существования, так как всякое возможное инобытие она уже вместила в себя, пройдя всю его бесконечность насквозь.
     
Теперь мы можем непосредственно связать геометрию выразительного пространства с теми видами геометрии, которые мы получили раньше в до–выразительной области (§ [55]). Там, после того как были выведены самые категории фигур (§ [63]), мы имели разные типы фигурного пространства в связи с модификациями становления. Самой общей геометрией была топология, потом шли проективная, аффинная и общеметрическая. Теперь мы можем расшифровать эту последнюю. Мы помним, что в диалектической эволюции типов пространства играли основную роль бесконечно удаленные и мнимые элементы. Чтобы от проективного пространства перейти к аффинному, необходимо ввести бесконечно удаленную плоскость (или поверхность), а для перехода от аффинного к метрическому надо было ввести мнимый сферический круг. Поскольку выразительная сфера есть не что иное, как модификация до–выразительной отвлеченной идеальности, постольку теперь для дальнейшего выведения типов пространства мы должны только модифицировать употребление введенного (как говорят) абсолюта (т. е. бесконечно удаленных и мнимых элементов).
     
А именно, когда абсолют мыслится мнимым, мы получаем, очевидно, пространство Римана: если последнее есть непосредственно обозримый символ как выразительное тождество идеального и реального, то все остальное, т. е. всякая возможная бесконечность, для него просто не существует, так как оно уже включено. Это значит, что абсолютная поверхность здесь мнимая. У Лобачевского, наоборот, этот абсолют вещественный. Абсолютная поверхность здесь—действительная нелинейная поверхность второго порядка, причем для метрики имеют значение только ее внутренние точки. Так оно и должно быть по предыдущему. Раз идея ушла здесь в бесконечность и в ней забыла себя, го вещественной будет теперь сама эта бесконечность, а мнимой станет, наоборот, прежняя конечная встреча. Наконец, у Эвклида мы тоже имеем вещественный абсолют, но он не может тут оставаться в том полном и развитом виде, как у Лобачевского. Именно, абсолютная поверхность вырождается здесь в мнимое коническое сечение, плоскость которого играет роль т. н. конечно–удаленной плоскости; абсолютное же коническое сечение вырождается в мнимую пару точек, причем имеются в виду только те точки, которые не находятся на вещественной прямой, соединяющей абсолютную пару точек, сама же эта прямая и есть то, что обычно называется бесконечно удаленной прямой. Такое вырождение абсолюта вполне понятно: ведь эвклидов–ское пространство есть бесконечность только потенциальная; оно не положено здесь как самостоятельно–субстанциальная бесконечность; и в этом смысле оно есть мнимость, хотя фактически бесконечность здесь все же налична (раз возможно бесконечное деление). Потому и говорится о выродившемся абсолюте.
     
Следовательно, три основные метрические геометрии— Римана, Лобачевского и Эвклида—есть не больше как та или иная модификация проективной геометрии, вполне закономерно возникающая из определенного функционирования геометрического абсолюта.
     
На точках пространства, может быть, яснее, чем на других математических образах, демонстрируется диалектическая сущность числового выражения вообще. Кривые второго порядка, явившись пра–символом соответствующей структуры пространства, суть наилучшие образы выразительной силы числа вообще. Сферически мы пребываем в ровном и блаженном самодовлении, не нуждаясь ни в каком инобытии, в спокойном обладании бесконечность [ю ]; параболически мы устремляемся в неведомую мглу бесконечности и теряем память о себе и, значит, о всем ином; гиперболически мы строим великую крепость из материалов самой инобытийной бесконечности, что и приводит нас к воспоминанию об утерянной власти над бесконечностью, хотя оно тут пока еще бессильно, а власть эта только еще зрится здесь, но не осуществляется; и, наконец, эллиптически мы вновь завоевываем потерянную бесконечность, и она отныне равномерно плещет перед нами в твердых и обозримо–конечных берегах.
     § 72. Аксиома выражения в теории множеств.
     
1. После дедукции выразительной измеримости в геометрии нет нужды доказывать, что выразительная измеримость должна быть присуща и множеству. Метризация множеств, однако, во многих отношениях гораздо гибче и тоньше, так как пространственный материал геометрии все еще достаточно тяжел и неповоротлив. Мы не станем здесь излагать подробное исследование по метризации множеств, хотя это является весьма тонкой и увлекательной темой. Я здесь ограничусь только ссылкой на литературу[85]. Дальнейшее же будет посвящено, так сказать, эвклидовским построениям в области теории множеств.
     
2. а) Выше (§ 70) было указано, что для характеристики сферы числового выражения имеет завершающее значение выразительная проработка всей числовой сферы как таковой, минуя всякие различия внутри нее самой. Там же было указано, что такая точка зрения удобнее всего может быть проведена сразу в отношении арифметического числа и множества. К этому и необходимо перейти сейчас. Разумеется, и для прочих математических наук это должно иметь основоположное значение. В отношении геометрии, например, мы уже столкнулись с различением конечных и бесконечных элементов (§ [71 ]); это различение было уже использовано нами, хотя самые эти категории только теперь должны стать непосредственным предметом философской рефлексии. Типы бесконечности, рассмотренные в § 71, также суть внутренно анализируемые структуры, но и там не ставился вопрос о самой категории конечного и бесконечного. Наконец, в предыдущем мы, конечно, и вообще много раз оперировали этими понятиями без всякого их анализа, поскольку они еще не были полагаемы как таковые. Вся сфера становления, например, связана с проблемой конечного и бесконечного. Но и она еще пока не требовала непосредственного анализа этой проблемы. Вот к этой последней и надлежит нам теперь перейти.
     
b) Итак, нами получено число во всем своем логическом завершении. Его едино–раздельная упорядоченная определенность дала нам возможность оперировать с ним как с абсолютно усточивой структурой, а его становление привело нас к разнообразным числовым операциям, точные законы которых также получили для нас необходимое диалектическое обоснование. Теперь мы забываем все внутренние различия числа, обозначая их одним и по возможности наиболее широким термином. Это для нас просто определенность числа как такового, или, иначе, выразительно–числовая определенность. Спросим себя: куда же пойдет число дальше? Ведь дальше уже начинается вне–числовая сфера, т. е. сфера даже вообще не количества, а, например, качества или какой–нибудь другой категории, смотря по выбору той или иной диалектической системы. Но мы не можем переходить в эту вне–числовую сферу, не покидая исследуемой нами математической области вообще. Как же в таком случае мы могли бы в целях еще большей конкретизации понятия числа и множества привлечь и это вне–числовое бытие?
     
c) Способ такого привлечения нам хорошо известен. Это способ выразительных форм. Выражение как раз дает возможность смотреть на вещь извне и таким образом учитывать ее внешний антураж, но в то же время оно отнесено только к самой же вещи и ни к чему другому. Итак, на числе и множестве должно почить вне–числовое качество. Но какое же именно это качество? Поскольку число есть внутренне равнодушная сама к себе определенность, исключающая всякое вне–12 А. Ф. Лосев.
     
числовое качество, постольку необходимо думать, что никакая специфическая качественность здесь неприменима. Но тогда это значит, что к числу применима качественность вообще, качество как отвлеченная категория, другими словами, потенция качеств, принципиальная возможность получить то или иное вне–числовое существование. Иначе говоря, число, или множество, заново осуществляется, но осуществляется во вне–числовой среде. А это и оказывается источником ряда дальнейших весьма важных и даже основоположных математических категорий.
     
3. а) Рассмотрим способы этого осуществления, или полагания, числа во вне–числовой среде. До сих пор мы находили в числе только специфическую определенность, которую мы выше назвали выразительно–числовой определенностью. Что теперь будет с нею делаться, если мы ее заново станем полагать, но полагать уже во вне–числовой среде, так как всякая иная среда уже нами использована для конструирования самого числа?
     
Полагаем числовую определенность в чистом виде. Мы ничего к ней не прибавляем и ничего от нее не отнимаем. Мы просто полагаем ее как таковую во вне–числовом инобытии и—смотрим, что из этого получается. Получается то, что называется конечным числом и конечным множеством. В самом деле, что нужно для наличия конечного числа? Если оно конечно, оно имеет конец, т. е. свою определенную границу. А если оно имеет границу, оно, во–первых, твердо сопротивляется всякому уходу за эту границу, так что всякий уход за эту границу есть уже нарушение самого принципа конечности. А во–вторых, наличие границы неуклонно ведет к возможности дробления внутри того, что обладает этой границей, ибо ограничить — это диалектически и значит превратить в дробимое. Другими словами, конечность есть не что иное, как вне–числовая определенность, но только определенность, взятая в чистом виде, т. е. в своем бытии, в своем принципе. Это есть просто едино–раздельность, но не та идеальная, при помощи которой впервые только еще производилось отличие одной единицы от другой в пределах данного числа, но та едино–раздельность, которая перешла во вне–числовую данность, где она и осуществилась как таковая, т. е. осуществилась в своем принципе, так что число «три» или «четыре» отныне для нас оказывается не просто результатом различения и отождествления в определенном порядке следуемых единиц, т. е. не просто результатом счета, но результатом фиксирования данного числа извне, результатом того, что это число твердо положено вне себя и что ему дальше некуда двигаться (так как все дальнейшее есть уже вообще не число, но — вне–числовая область). Все числа, обладающие таким свойством, являются уже не просто едино–раздельными, но и конечными.
     
b) Математики много рассуждают о конечных величинах. Некоторые даже прикидываются, что они совершенно не знают, что такое бесконечность, и утверждают, что им известны только конечные величины. Однако еще, кажется, ни один математик не дал определения того, что же такое конечность по своему существу. Более или менее определенное понятие конечного может быть дано только вместе с категориями бесконечного, и к этому мы перейдем сейчас же. Но здесь пока необходимо отметить, что единственная область, где можно искать определение конечности, — это область вне–числового и, даже шире, вне–смыслового бытия. О чистом смысле нельзя сказать, конечен ли on или бесконечен. И о числах, взятых самих по себе, совершенно нельзя сказать, конечны ли они или бесконечны. Возьмем число «два». Профану кажется, что это есть конечное число. Оно, конечно, может быть конечным числом и в качестве такового обычно и принимается. Но тут у математиков немного слабеет память, и они забывают свое же собственное утверждение, что если «два» рассматривать как предел некой переменной величины (начиная, например, хотя бы с той же единицы), то эта переменная может приближаться к своему пределу как угодно близко, никогда не сливаясь с ним целиком. Другими словами, от единицы до двойки залегает та же самая непроходимая бездна, что и в тех предметах, которые обозначаются математическими значками оо и ω. Скажут, что это уже другой подход к двойке. Но я как раз и утверждаю, что суждение о конечности или бесконечности двойки зависит от подхода, от точки зрения, и что сама двойка по себе не есть ни только конечное, ни только бесконечное.
     
c) Итак, в чем же сущность конечного? Только переход во вне–числовую область, в область, так сказать, вещественную, материальную, физическую, впервые создает категорию конечного. Но мы не можем в математике говорить о физическом просто. Надо, чтобы это физическое было понято математически и, главное, диалектически. Всмотримся, в чем же сущность этого физического. Ясно, что ни белое, ни черное, ни мягкое, ни твердое и никакое физическое качество тут не имеется в виду. Ясно, что ни отдельная физическая вещь и ни все вещи вместе тоже не имеются здесь в виду. Значит, остается только самый принцип физического, или материального, вообще, т. е. просто факт, наличие, осуществление, воплощение числового бытия, когда отброшено все остальное, т. е. все конкретные свойства этого воплощения. Важно понимать двойку не просто как некий чистый смысл, как отвлеченно–идеальную едино–раздельность, как смысловую определенность вообще (т. е. как составленность из двух единиц), но именно как вещь, — и вот тогда она становится для нас конечной величиной. А под вещью здесь понимается, как сказано, не вещь во всей своей чувственной конкретности, но вещь в своем первичном бытии, вещь как просто вне–числовое бытие, отбрасывая всякие вопросы о том, какое именно это вне–числовое бытие.
     
d) Выше (§ [ ]) различалось инобытие внутри смысла и инобытие вне смысла. Внутреннее инобытие смысла и есть не что иное, как принцип его раздельности. Внешнее же инобытие смысла есть полная его противоположность, оно есть становление, т. е. раздробление и разрушение смысла, принцип случайности его существования. И когда мы говорим о конечном бытии, мы имеем в виду как раз это второе инобытие, потому что первое инобытие уже было использовано нами для проведения дифференций внутри самой сферы числа. Если мы спросим, почему тройка есть тройка, то для ответа на этот вопрос достаточно фиксировать в ней три полагания и тем отличить от всех соседних и всех вообще чисел. Тройка есть тройка потому, что она не нуль, не единица, не двойка, не четверка и т. д.; она выделена из всех чисел тремя актами полагания, в ней содержащимися. Но если мы спросим, почему тройка есть конечное число, то тут уже нельзя ответить указанием на то, что тут три акта полагания. Если тройка оказывается конечным числом потому, что в ней три единицы, то тогда четверка не есть конечное число, потому что в ней содержится не три единицы; и вообще тогда из всех «конечных» чисел только тройка будет конечным числом, потому что никакое другое число не есть тройка. Следовательно, тройка есть конечное число вовсе не потому, что она отличается от единицы, двойки, четверки и т. д. Но тогда почему же тройка есть конечное число? Конечна она потому, что мы ее понимаем здесь как вещь, как материальную вещь, отличая ее уже не от идеально–абстрактных единиц, двоек и четверок, но от других вещей материального мира[86], от этого стола, стула и пр. Однако материальность тут нужна только с одной — правда, самой существенной своей — стороны, а именно с точки зрения принципа физического бытия, воплощения, с точки зрения принципа реальности. Идеальная едино–раздельная определенность, сама по себе чуждая всяких категорий конечности и бесконечности, становится конечной определенностью, или просто конечностью, как только начинает мыслиться реально. Конечность есть определенность, ставшая реальным фактом. Правда, идеальная определенность была не чем иным, как именно результатом счисления данного количества единиц, г. е. она есть не что иное, как просто едино–раздельность. Поэтому конечность более точно можно определить в виде вне–числовой определенности, данной как едино–раздельное бытие.
     
е) Все эти диалектические рассуждения о конечности числа нужно понимать (как и все в диалектике) максимально просто. Приведем житейскую аналогию. Может ли быть пиджак черного цвета, не будучи пиджаком вообще? Конечно, нет. Есть ли черный цвет для пиджака что–нибудь существенное? Конечно, нет. Но ведь черный цвет как–то оформляет и определяет пиджак? Несомненно. Но тогда получается, что пиджак имеет вне–пиджачное определение. Раз черный цвет есть вполне самостоятельный предмет, по существу не имеющий ничего общего с пиджаком, то, следовательно, чернота пиджака есть его вне–пиджачное определение. Чтобы говорить о черном цвете пиджака, надо уже знать, что такое пиджак, надо иметь его понятие, его смысл, его структурную идею, ибо иначе к чему же будет относиться прилагательное «черный»?
     
Точно го же самое мы имеем и в определениях числа как конечного, бесконечного, трансфинитного и т. д. Все эти определения уже предполагают, что имеется законченная идея числа. Ее мы и рассматривали в до–выразительных аксиомах. Сейчас же идет речь о вне–числовых определениях числа, по существу своему не имеющих никакого отношения к самому числу, ибо конечным и бесконечным может быть и не только число, как все равно и черный цвет может быть свойствен не только пиджаку.
     
4. а) Но, выйдя за пределы чисто числовой сферы и перейдя в область вне–числовых категорий, мы сразу видим, что конечностью все далеко не исчерпывается и что конечность есть только первая категория, с которой мы сталкиваемся во вне–числовой сфере. Простейший, но совершенно неумолимый закон диалектики гласит, что если есть что–нибудь одно, то есть и что–нибудь иное. Если есть вне–числовая определенность, данная как едино–раздельность, τ [о] е[сть] она [же], данная как множественно–безразличное, как безразличная множественность. Мы хорошо знаем, что здесь нас подстерегает категория становления.
     
Тут все различное слилось в неразличимое, но эта неразличимость не дана тут сама по себе (так как в этом случае она слилась бы в неподвижную точку и, следовательно, стала бы принципом различимости, раздельности), но дана она действительно как все иное и иное, т. е. как процесс, как сплошное изменение. Вне–числовая определенность перешла в сплошную и неразличимую изменчивость, утерявши устойчивость едино–раздельной структуры. Это не значит, что последняя исчезла совсем. Если бы она исчезла совсем, то сплошная текучесть оказалась бы таким бытием, о котором ровно ничего сказать нельзя (так как всякое слово, отнесенное к бытию, уже предполагает в нем ту или иную едино–раздельную осмысленность). Но эта структура дана здесь не непосредственно, как в конечном бытии, а дана как задание, как метод, как недостижимый идеал. Опять–таки это не значит, что едино–раздельная структура тут не дана никак. Она дана лишь как закон этой сплошной текучести, как метод этого алогического становления. Само становление нигде не кончается, и оно нигде не может кончиться, так как это противоречило бы самому понятию становления; становление потому и есть становление, что оно является инобытием и отрицанием едино–раздельности и вовне, и внутри себя. Но, нигде не кончаясь, становление может иметь ту или иную структуру, а конкретное становление и должно ее иметь. Конкретное же становление есть необходимо становление конкретного, т. е. в каждый момент становления мы должны знать, что именно становится, чего оно достигает и чего уже достигло.
     
b) То неизменное, что есть в сплошно меняющемся алогическом становлении, есть его предел. В этот предел и превратилась та конечность, которая раньше была предметом непосредственной рефлексии, а сейчас удалилась с нашего поля зрения, и только следы ее мы замечаем в течение всего процесса алогического становления.
     
Возьмем этот новый тип вне–числовой определенности в его наивозможно чистом виде. Когда мы идем от одного конечного числа к другому, то алогическое становление будет фиксироваться нами вместе с теми конечными величинами, в отношении которых оно осуществляется. Возьмем в качестве предела такого становления нуль, чтобы наблюдать это становление в самом его зародыше, в том его чистом виде, когда оно осуществляется в минимальной форме, когда оно только еще начинается. Чем ближе мы станем подходить к нулю в своем алогическом становлении, тем все более и более примитивные формы этого становления мы станем наблюдать. То же самое соответственно можно сказать и о бесконечности как пределе алогического становления (хотя покамест мы еще не получили категории бесконечности).
     
Ясно, что здесь мы сталкиваемся с понятиями бесконечно–малого и бесконечно–большого. В математике бесконечно–малым и называется переменная величина, имеющая своим пределом нуль. Но переменная величина χ стремится к пределу и тогда, когда[87] абсолютная величина разности х — а будет меньше положительного числа ε, как бы мало это последнее ни было. Следовательно, бесконечно–малое есть такая величина, которая все время стремится к нулю, делаясь меньше любой заданной величины и не будучи в состоянии когда–нибудь слиться с этим нулем. (Соответственно бесконечно–большое может быть определено как величина, обратная бесконечно–малому.)
     
c) Бесконечно–малое есть уже новая форма вне–числовой определенности, мало похожая на конечную определенность. В диалектическом смысле оно есть прямая антитеза конечности, являясь не только инобытием ее вообще, но именно алогическим ее становлением. Бесконечно–малое есть вне–числовая определенность, данная как алогическое становление. Это и есть синтез конечности и ее инобытия, но не синтез вообще, а очень специфический синтез, именно тот первейший синтез, когда инобытие взято во всей своей иррациональной текучести и когда ее предел по своей субстанции находится на недостаточной высоте по сравнению с нею.
     
Итак, философская сущность бесконечно–малых есть не что иное, как чистое алогическое становление.
     
5. Не мы виной того, что становление может мыслиться остановившимся. Ведь можно же, идя по улице, в конце концов где–нибудь остановиться. Я думаю, этой возможности нельзя отрицать, не будучи психически больным. Но если остановиться можно, то сейчас же бесконечно–малое и бесконечно–большое преподнося! нам сюрприз, которому многие математики не обрадуются.
     
а) Именно, когда остановилось бесконечно–большое, это значит, что предел, бывший на необъятном от него расстоянии, уже достигнут, т. е. само алогическое становление оказывается одновременно и идеальной устойчивостью. Тут тоже синтез конечности с ее инобытием, но синтез уже дальнейший, второй, когда чистый алогизм отождествился с едино–раздельным идеальным не в порядке примата чистого алогизма, но в порядке примата идеального едино–раздельного. Это и есть, вообще говоря, трансфинитное число.
     
От бесконечно–большого оно отличается устойчивостью, идеальной законченностью, которая в то же время нисколько не удерживает реального потока становления. Когда мы обозначаем мощность первого трансфинитного числа через «алеф–прим» («алеф–нуль» — мощность конечных тел), то этот алеф–прим есть синтез как раз той самой устойчивости, которая характерна для конечного числа (и того постоянного становления, которое мы находили в бесконечно–большом). Все эти г. н. числа II класса имеют один и тот же алеф — мощность счетного множества. Этот алеф коренным образом отличается от алефа–нуля, потому что каждое конечное число имеет непосредственно ему предшествующее (кроме нуля), наименьшее же из чисел II класса, ω, хол я ему и предшествует сколько угодно других (конечных) чисел, все же не имеет непосредственно предыдущего. В этом отношении первое трансфинитное число уподобляется нулю в области конечных чисел. Существуют и числа II класса, отличные от ω и не имеющие первого предыдущего. С одной стороны, среди чисел II класса нет наибольшего. С другой стороны, существует Ω — наименьшее число III класса, так что все числа, меньшие Ω, суть числа II класса. Это объясняется тем, что всякое число II класса может быть рассматриваемо как предел некоей последовательности возрастающих чисел.
     
b) Таким образом, трансфинитное число антиномично в двух отношениях. Оно не имеет непосредственно предыдущего, так как между ним и конечным числом — разрыв, прыжок, хотя в то же время оно само вполне обладает конечной определенностью, так как выразимо конечным числом слоев (а именно: счетное множество есть множество всех чисел натурального ряда). С другой стороны, оно не имеет наибольшего элемента, хотя в то же время всякое трансфинитное число II класса меньше Ω. Все это сводится к тому, что первое трансфинитное число ω, с одной стороны, есть первое следующее за множеством всех конечных чисел, а с другой стороны, конечные числа не имеют наибольшего числа и, следовательно, не может существовать и первого за наибольшим. Или еще проще: не существует никакого наибольшего числа (ибо всякое число можно увеличить) и существует наибольшее число (когда берутся все числа натурального ряда). В трансфинитном числе сразу дана и идеальная определенность, и устойчивость числа, и его алогическая неисчерпаемость. Можно сколько угодно увеличивать ω, прибавляя единицу за единицей, и от этого она нисколько не увеличивается, потому что этому ω свойственна идеальная определенность, вполне тождественная с той, которая была формулирована у нас в аксиомах едино–раздельности, а эта определенность — вполне вне всяких категорий конечности и бесконечности, ее нельзя ни увеличивать и ни уменьшать, и даже самые эти операции в отношении ее бессмысленны. Но с другой стороны, мы этот процесс прикладывания все новых и новых единиц, несомненно, производим в реальности, потому что то же самое действие ω+ 1 =со, которое бессмысленно с точки зрения первого слагаемого, ω, вполне осмысленно относительно второго слагаемого, 1, потому что как–никак, <…> а это 1 исчезает в ω как в некоей бездне, каковое исчезновение нужно считать событием очень большой важности.
     
Итак, трансфинитное число (II класса), или т. н. актуальная бесконечность, есть вне–числовая определенность, данная как наличное бытие (как ставшее).
     
6. Переходим к самой интересной, но в то же время и к самой трудной выразительной форме числа и множества, это к той, когда вне–числовая определенность сама становится выражением. В общей сфере числового выражения мы нашли свое бытие (конечность), свое инобытие (бесконечно–большое и бесконечно–малое) и свое ставшее бытие (трансфинитное число). Теперь мы переходим к выражению в сфере этого выражения. Из предыдущего можно припомнить, что на эту область мы уже натыкались не раз, хотя только сейчас наступило время для ее непосредственного анализа. Это первое трансфинитное число III класса, или Ω, которое в дедукции основных категорий теоретико–множественного упорядочивания (§ [5 ]2.4е) и становления (§ 61.3) предстало перед нами как континуум. Раньше мы наталкивались на это понятие потому, что всякую до–выразительную теоретико–множественную категорию мы старались представить максимально конкретно и потому доводили ее до выразительной формы, а тем самым и до континуума. Теперь же мы рассматриваем само числовое выражение; и если в области этого выражения мы перебрали все более абстрактные категории, дойдя до выражения самого числового выражения, то это значит, что континуум только сейчас подпадает под нашу непосредственную диалектическую рефлексию, превращаясь из завершающего и потому периферийного момента в центральный, в субстанциональный, в непосредственно предлежащий.
     
а) Что такое континуум? Уже давно прошло то время, когда континуум представлялся чем–то простым, ясным, очевидным, чем–то совершенно неразложимым. Правда, для нас это не должно значить, что континуум должен быть просто разложен на взаимно изолированные моменты, и больше ничего. Такая механическая атомистика тоже не может удовлетворить современному философскому содержанию. Однако мы все же должны как–то формулировать структуру континуума, и эта формулировка представляет огромные трудности.
     
b) Прежде всего мы должны выполнить одно обязательное условие: континуум в нашем определении должен остаться самим собою, т. е. прежде всего он должен не потерять своей равно расстилающейся непрерывности и не рассыпаться на бездну точек, как бы они близки ни были одна к другой. Изначальная, совершенно примитивная интуиция континуума, ясная уже ребенку, должна и для нас стать путеводным маяком: континуум не имеет никаких разрывов или дыр; мы их не видим; континуум есть непрерывная, равномерно растекающаяся сплошность. И вот этого–то и нельзя никогда терять из виду.
     
Если мы не погрешим против этой исходной интуиции, то все остальные разделения и подразделения, вся эта атомистика точек уже не будет для нас страшной. Вполне естественно, что математика хочет составить континуум из точек. В этом еще нет ничего худого. Ведь математика есть наука, а всякая наука есть более или менее абстрактное знание, которое, конечно, никогда не может ухватить непосредственную жизненную вещь целиком и не должно к этому стремиться. Вопрос не в том, чтобы целиком отображать вещь (тогда наука вполне могла бы заменить живого человека и ему больше уже никакого не осталось бы места на земле), а вопрос в том, чтобы отобразить вещь в точном соответствии с той позицией, на которой стоит данная наука. К континууму можно подойти физически; и физик должен суметь формулировать его в своих физических терминах. К континууму можно подойти геометрически и теоретико–множественно. К континууму можно подойти оптически, художественно–искусствоведчески. К нему же можно подойти и философски; и, как мы знаем, это будет значить, что мы должны вскрыть ту диалектическую взаимосвязь категорий, без которой не может осуществиться самое понятие континуума. Математика даст нам материал, а философия этот материал осознает. Поэтому нечего страшиться того, что в мысли приходится разлагать неразложимое. Если мы, разложивши неразложимое на составные элементы, вновь показываем, как воскресает на этих последних само неразложимое, то тут не только нет ничего страшного, но это только и есть единственная возможность рассуждать о предмете философски. Напрасно Вейль причитывает, что континуум–де вообще никогда не удастся подвергнуть полному анализу на том основании, что он есть непосредственно данная неразличимая сплошность. Вся жизнь и все бытие таковы, но это нисколько не мешает никому философствовать о том и о другом. Важно, чтобы явление жизни отразилось в данной абстрактной области так, чтобы структура этой последней адекватно ей соответствовала; но невозможно протестовать против того, что абстрактная структура абстрактна.
     
c) Еще одна установка должна быть у нас руководящей. Под влиянием идеи бесконечно–малых континуум легко можно трактовать как некий логический или математический инструмент для каких–нибудь иных целей. Но рассуждение о континууме не должно быть для нас только аналитическим аппаратом, подобно тому как мы рассуждали в анализе о непрерывности, с тем чтобы сейчас же применить это понятие для дифференцирования или интегрирования функций. Континуум есть для нас вполне самостоятельный предмет, сущность которого мы вскрываем. Он существует не для чего–нибудь, а сам по себе; и если в нем есть это «для чего–нибудь», то оно берегся не для того, чтобы найти это «что», для которого оно существует, но самое это «для чего–нибудь» берется здесь как непосредственный предмет рефлексии. Поскольку имеется здесь смысловая сущность континуума, Гуссерль сказал бы, что континуум здесь оказывается идеальным предметом. Но нам нет нужды употреблять эту терминологию, потому что мы можем заменить ее и гораздо более близкой к математике.
     
d) Именно, мы уже использовали такое «идеирова–ние», когда от инфинитезимального бесконечно–большого перешли к трансфинитному. Очень хорошо инфинитези–мальные категории иные обозначают вслед за Кантором как потенциальные. Действительно, то бесконечно–малое и бесконечно–большое, с которым оперирует классический анализ, построено чисто процессуально, и притом алогически процессуально. Тут нет ни одного момента, который был бы положен и пребывал. В тот самый момент, когда мы что–нибудь здесь полагаем, это полагаемое и снимается. уходя в прошлое, и мы о нем забываем. Бесконечно–малое есть именно эта вечно скользящая сплошность и текучесть, в которой каждый момент снимает сам себя, отождествляясь с другим, который тут же в свою очередь снимает сам себя, отождествляясь с третьим, и т. д. и т. д. Это в полном смысле слова потенциальная бесконечность.
     
Совсем противоположно ей то бесконечное, которое покоится в себе, будучи раз навсегда отождествленной со своей идеей, никогда не подвижной и никогда не измен–ной. Тут не ищется чего–то a priori недостижимого, но оно уже дано; то, что стремится к пределу, тождественно здесь с самим пределом. Это актуальная бесконечность. Ясно, что только в актуальном виде бесконечность стала для нас чем–то определенным, стала, скажем, идеальным предметом, в то время как потенциальная бесконечность имела свою определенность вне себя, поскольку она никогда не могла достигнуть своего предела. Трансфинитное число имеет свою определенность внутри себя, а не вне себя; для его распознавания не нужно фиксировать какой–то его предел, т. е. определяющую его идею, которая была бы вне его.
     
Результатом этого является то, что над трансфинитным числом, в сущности говоря, невозможно производить никакие действия. Ведь бесконечность — это же и есть все, что только существует: можно ли к ней что–нибудь прибавить или можно ли ее как–нибудь уменьшить? Сущность операций ω±Ν = ω·Ν= = ωN=N√ω = ω, где Ν—любое конечное число, в том только и заключается, что трансфинитное число ω не дозволяет никаких над собой конечных операций. Актуальная бесконечность неподвижна, неизменна; она есть абсолютное постоянство самособранности, в самом своем корне исключая всякую конечную раздробленность, текучесть, слабость и [непостоянство.
     
Итак, с полным правом мы можем сказать, что трансфинитное число и есть та бесконечность, которая свою идею содержит сама в себе, а не вне себя и которая потому, несмотря на мнимую составленность из вечно дробящейся конечности, есть в полном смысле слова идеальный предмет в смысле Гуссерля. Заметим, однако, что если брать терминологию идеалистов, то найдутся термины и гораздо более выразительные. Так, поскольку трансфинитное число как раз то и обозначает, то и проявляет, чем оно является по своему смыслу, то оно оказывается также и символом в смысле Шеллинга. Трансфинитное число — символично, а не аллегорично, как инфини–гезимальные бесконечно–большие, и не схематично, как дряблая конечность. Но, повторяю, мы можем спокойно отбросить всякую философскую терминологию, вызывающую к тому же ненужные ассоциации, раз мы усвоили, что такое трансфинитное число.
     
Но тогда предмет нашего исследования может быть обозначен следующим образом. Это континуум, данный как трансфинитное число. В самом деле, континуум есть во всяком случае бесконечность. Это ясно уже из того, что мы в нем не можем указать ни первого, ни последнего элемента, т. е. ни наименьшего, ни наибольшего. Он все время плывет; и неизвестно, где он начался и где кончится. С другой стороны, однако, мы хотим, чтобы континуум стал для нас самостоятельным предметом, так, чтобы за его сущностью нужно было идти не к чему–то другому, а к нему же самому. Надо, чтобы свой собственный смысл, свою собственную нетекучую, абсолютно ясную и неподвижно определенную идею он имел в самом же себе. А это значит, что континуум должен предстать перед нами не как просто бесконечность, но именно как актуальная бесконечность или как число трансфинитное (как модификация трансфини гности).
     
Можно сказать и еще определеннее. Так как в континууме ярче всего бросается в глаза именно эта непрерывная текучесть, т. е. алогическое становление, то наша проблема есть проблема алогического становления, данного как актуальная бесконечность. Когда алогическое становление (в форме инфинитезимального) переходило в трансфинитное, то оно не просто переходило, оно еще отождествлялось с конечной определенностью, почему мы и говорили, что трансфинитное есть остановившийся ин–финитезимальный процесс. Когда же в учении о континууме говорим об алогическом становлении, то оно берется уже в своем чистейшем, беспримесном виде, со всей его сплошностью и текучестью, без всяких элементов едино–раздельности. И вот эта мгла и бездна неразличимости, не имеющая ни начала, ни конца, оказывается, тоже есть актуальная бесконечность; она тоже имеет свое идеально–фигурное строение, свою смысловую физиономию. Она—тоже число трансфинитное, форма самой бесформенности, скульптурный символ вечного хаоса. Ибо хаос есть тоже некая стадия, а именно — стадия хаоса.
     
7. Такая ясная постановка вопроса сразу снимает ряд трудностей, которые в другой постановке оказались бы и большими, и часто непреодолимыми. Это мы будем чувствовать на анализе понятия континуума, к чему сейчас и приступаем.
     
a) Итак, наш исходный пункт: континуум есть алогическое становление. Алогическое становление есть такое полагание, которое в то же время является и отрицанием, снятием. Каждый момент никогда не есть он сам, но всегда — иное и иное. Но относительно идеальной едино–раздельности эйдоса (§ [ ]) мы знаем, что ему также свойственно сразу и в одном и том же отношении как тождество, так и различие. Следовательно, для алогического становления тут должен быть спецификум. Он заключается в том, что если в эйдосе каждый отдельный момент тождествен и различен с другими его моментами и со всем целым, то здесь каждый момент тождествен и различен со всем эйдосом, с едино–раздельностью как с таковою. Алогическое становление в каждый свой мельчайший момент полагает весь эйдос, и в тот же самый момент весь этот эйдос снимает, отрицает его.
     
b) Итак, весь полагаемый эйдос целиком снимается, забывается. Алогическое становление — там, где об эйдосе (т. е. о едино–раздельности) ничего не помнится. Но что же тут помнится, т. е. что же остается и не [у]бывает? Ведь оставаться нечто безусловно должно. Если бы один момент после своего наступления целиком бы оказался забытым и также второй, третий и т. д., то мы плыли бы по морю становления, совершенно не замечая последовательности этого становления и не имея представления ни о каком процессе. Процесс — там, где произошедшие[88] моменты изменения не погибли целиком, но продолжают сохраняться и влиять на наступающие моменты. Следовательно, должны оставаться и пребывать все моменты полагания, хотя само полагание — актуальная бесконечность и должно забываться, чтобы было действительно алогическое становление, или континуум. В континууме мы наблюдали акты полагания эйдоса, или трансфинитного числа, как бы следы полагания и снятия трансфинитного, беря их как целое и не забывая их вместе с их снятием, но само трансфинитное тут не мыслится (ибо иначе не получится алогичности, необходимой для континуума).
     
c) Теперь спрашивается: каковыми же должны быть акты полагания и отрицания, чтобы это было полаганием и отрицанием именно трансфинитного эйдоса (и притом чтобы самого–то эйдоса тут не было)? Прежде всего, очевидно, это не то полагание, которое мы находим в самом эйдосе. Там всякое полагание было только различением. Полагать в этом смысле эйдос и значило создавать едино–раздельность. Не то реальное полагание. Оно уже предполагает, что есть какое–то идеальное полагание, некая различенность и отличенность, ибо иначе нечего было бы и полагать реально. Само же реальное полагание есть полагание факта, некой силы, способной активно установить себя и оттолкнуть прочее. Тут не просто различие, но некоторого рода притяжение и отталкивание, получение некоторого тела, воплощение.
     
d) Итак, мы наблюдаем, как воплощается трансфинитное, само трансфинитное отбрасываем, а только созерцаем целокупность самих актов воплощения трансфинитного. Но будем помнить, что нам никуда нельзя отходить от алогического становления. До сих пор оно предста [ва ]ло перед нами как ряд последовательных воплощений трансфинитного без самого трансфинитного. Но ведь алогическое становление возникает как инобытие эйдоса. Это значит, что если эйдос есть самотождественное различие, то становление есть безразличное саморазличие, и если эйдос есть подвижной покой, то становление есть подвижная неустойчивость и взаимопроникну–тость и слитость, и если эйдос есть единство и определенность, то становление есть абсолютно сплошная бесформенность. Другими словами, алогическое становление есть безразличная самопротиворечивая сплошность или (максимально сжимая все эти определения) безразлично–взаимопроникнутое, порождающее само себя самопротивоборство. Следовательно, все акты воплощения трансфинитного эйдоса должны в континууме находиться в состоянии безразлично–взаимопроникнутого самопротивоборства. Это значит, что каждый акт воплощения порождает из себя и поглощает в себя все остальные акты воплощения. Какой бы акт мы здесь ни взяли, он, с одной стороны, порождает себя и все прочие элементы, сам получая свое бытие от них же, а с другой стороны, он поглощает в себя все прочие, а равно и сам поглощается каждым актом из всех прочих. Это–то и будет подлинным алогическим становлением эйдоса, когда, с одной стороны, оно предполагает решительно все категории эйдоса (т. е. все его элементы и самотождественны, и саморазличны, и устойчивы, и взаимопереходчивы, и структурно–определенны), а, с другой стороны, самих–то этих категорий не видно, а только видно, как нечто (неизвестно что), согласно этим категориям, воплощается на безразличном материале [и] тут же само себя пожирает.
     
Пусть у нас есть точка А, где «воплотился» трансфинитный эйдос. Она не может быть просто точкой. Если мы хотим исследовать континуум, т. е. то, что прежде всего есть алогическое становление, мы тотчас же увидим, что эта точка плывет, что ее нет как ее, что она в одно и то же время есть и точка, и самопротивоборство целой бездны таких же точек. С одной стороны, наша точка А породила из себя целую бездну новых точек; а с другой—сама она исчезла в этой бездне, и мы уже не умеем ее поймать. Она же породила новую бесконечность, она же и погибла в ней, т. е. она же себя породила, она же себя и уничтожила.
     
Итак, мы теперь знаем, что дает континууму алогическое становление. Оно воплощает в нем актуальную бесконечность трансфинита (п. [7] с), и оно заставляет эти акты воплощения пребывать в безразличном самопорождении и безразличном самопожирании.
     
Что же дает теперь становление именно эйдоса?
     
е) Трансфинитный эйдос, как мы знаем выше из п. 5, возникает прежде всего в результате последовательного пробегания всех чисел натурального ряда. Трансфинитный эйдос прежде всего таит в себе последовательность всех чисел. Это есть тот факт, из осмысления которого родился и сам трансфинитный эйдос. С другой стороны, он потому здесь и является эйдосом, что он не есть просто эта последовательность конечных чисел, так как никакая последовательность чисел еще не есть ни трансфинитное, ни даже просто бесконечность. Эйдос есть именно эйдос, т. е. некоторый смысл, идеальный предмет, который сам по себе уже ничего общего не имеет ни с какой последовательностью, подобно тому как понятие тяжести вовсе не есть само нечто тяжелое.
     
Применить указанные моменты в интересующей нас области можно только так, что, взявши одну точку «воплощения» и получивши в результате ее снятия и превращения неопределенную текучесть, саму эту текучесть[89] полагать так, как мы полагали самый трансфинитный эйдос. И вследствие того, что это новое воплощение в силу алогического становления в то же мгновение будет в свою очередь снято и оттолкнуто в бездну прошлого и превращено еще в новую длительность и текучесть, мы должны и с этим новым результатом поступить так же, воплощая его заново, снимая и т. д.
     
Другими словами, если алогическое становление трансфинитного эйдоса дало нам стихию взаимопоглощающего самопротивоборства актов воплощения этого эйдоса, то алогическое становление трансфинитного эйдоса заставляет, чтобы каждый такой акт имел значение эйдоса, т. е. чтобы все акты не только поглощали один другого, но чтобы они были один в отношении другого эйдосами, т. е. чтобы они были воплощением один другого точно так, как один акт воплощает природу самого эйдоса. А так как трансфинитный эйдос есть бесконечная последовательность, то мы должны представлять себе дело так, что первый акт воплощения эйдоса является эйдосом для второго, а этот второй — эйдосом для третьего и т. д. и т. д. Следовательно, необходимо, чтобы не просто каждый момент в стихии алогического становления воплощал в себе общий и единственный грансфинитный эйдос, но чтобы тут была последовательность его перевоплощений, чтобы все время росла, так сказать, сама категория воплощения.
     
f) Что же мы теперь получили? Вышесказанное можно резюмировать так. Континуум есть 1. алогическое становление, 2. данное как актуальная бесконечность, или, что то же, как трансфинитный эйдос. 1. Алогическое становление предполагает ежемгновенное полагание и снятие всего трансфинитного эйдоса (а не его отдельных моментов) (а), взятое, однако, без самого эйдоса (который внес бы едино–раздельность) (b); это полагание и снятие есть фактическое (а не только различаемое отвлеченно) воплощение ©, которое дается в виде непрерывного и сплошного самопорождения и порождения из себя всего иного вместе с самопоглощением и поглощением в себя всего иного (d). 2. Трансфинитный же эйдос требует, чтобы каждый акт воплощения был в отношении всякого другого акта тоже эйдосом и чтобы эта эйдетизация происходила последовательно, с накоплением всего получаемого смыслового содержания (е).
     
К этому анализу, однако, необходимо прибавить, что весь он есть не что иное, как утверждение того, что бесформенное тоже имеет свою форму, а именно форму бесформенности, подобно тому как куча, облако и пр. бесформенные предметы, в сущности, всегда имеют свою определенную форму, хотя континуум — это уже предел всякой бесформенности. Можно еще сказать и так, что предыдущий анализ понятия континуума утверждает только мыслимостъ хаоса и бесформенного, бессмысленного, ибо, как только бесформенное и бессмысленное стало мыслиться, оно тотчас же получило и свой смысл, свой эйдос, а именно смысл и эйдос бессмысленного. Бессмыслие можно видеть умом — вот что говорится в предыдущем анализе. Можно, наконец, и просто сказать, что здесь мы раскрываем, как есть абсолютный хаос, ибо «быть» и «иметь смысл» для философа одно и то же. Бессмысленное самопротивоборство хаоса все пронизано смыслом — конечно, своим собственным (а не каким–нибудь иным) смыслом и эйдосом. И вся эта жестокая буря порождений и поглощений есть ясная и прозрачная, покойная и тихая, бесплотно–умная картина, несмотря на все свое бессмысленное содержание. Тут все — эйдос, и каждый мельчайший момент есть безмолвный жест чистого смысла.
     
Но эту, в общем, довольно банальную (не для всех) истину, что хаотическое тоже есть нечто мыслимое («идеальный предмет»), приходится анализировать и уточнять, чтобы приблизиться к тому представлению континуума, которое создано гением Кантора и которое с тех пор вошло в общее достояние мировой математики. Тут–то и пригодятся те расчленения, которые мы только что произвели.
     
8. а) Уже одну математическую интерпретацию мы ввели с самого начала. А именно, вместо того чтобы говорить об алогическом становлении как идеальном предмете, мы говорили о нем как об актуальной бесконечности. Понятие же актуальной бесконечности, или трансфинитного числа, есть уже очень определенное математическое понятие, несмотря на то что многие из механистических позитивистов в математике и считают его философским (сваливая в это свалочное место, философию, все, что им непонятно). Это, конечно, вполне математическое понятие, составленное из тех элементов, которые в других случаях не вызывают сомнения ни у каких математиков. Будем исходить из этого, т. е. будем понимать алогическое становление как ω, считая, что этот пункт вполне ясен.
     
b) Идем дальше. Указанные выше пункты a, b и с можно взять вместе. Это воплощение всего эйдоса без самого эйдоса. Значит, это воплощение не чего другого, как того, что мы обозначили через ω. Что же это такое, воплощение ω? Воплотить, вообще говоря, — значит перенести в инобытие, повторить. Но если мы ω просто повторим, то это будет перенесение без всякой фиксации его внутренних моментов, перенесение самой его общей субстанции, без перенесения его внутреннег о смыслового содержания. Мы получим вместо ω нечто другое, именно ω · 2, но само ω останется нераскрытым. Однако это раскрытие ω в инобытии мы обязательно должны произвести потому, что инобытие (как таковое) содержит в себе только те смысловые моменты, которые оно получило извне. Иметь смысл от самого себя может только сам же смысл. Поэтому, когда мы в трансфинитном находили присутствие этого смысла во всех его частях, то это было вполне естественно и вытекало уже из одного того, что оно есть эйдос. Когда же речь идет об инобытийном воплощении, то воплотить эйдос «вообще» не значит еще воплотить его и во всех частностях. Надо дать такое его повторение в инобытии, чтобы каждый его момент в инобытии тоже воплотил на себе целое.
     
c) Что это значит математически? Возьмем число «три». Что значит повторить его так, чтобы каждая из входящих в него единиц стала тоже целым, т. е. тройкой? Это значит возвести тройку в квадрат. А что значит возвести число в степень, которая равна самому числу, напр. тройку в куб? Это значит не только отобразить целое в каждой отдельной его части, но еще и отобразить его именно со всем тем смысловым содержанием, которое мы находим в целом. Когда мы возводим тройку в квадрат, т. е. один раз повторяем целое в каждой его части, мы, очевидно, берем целое тоже пока только вообще, как некую общую субстанцию, без внимания к тому, что это целое есть именно тройка. Когда же мы возводим тройку именно в куб, то мы и заставляем тройку воплощаться в инобытии как общую субстанцию и каждый ее смысловой момент оказывается гоже воплощенным в этом инобытии, так что здесь впервые целиком «воплотилось в инобытии» число и по своей субстанции, и по своему смыслу.
     
Следовательно, возводя ω в степень ω же и получая ωω, мы впервые получаем искомое воплощение трансфинитного числа полностью.
     
d) Этот процесс первого воплощения, поскольку речь идет именно о реальном полагании, а не только об идеальном различении (см. выше, 7с), не так прост, и его следует представлять себе математически точно, потому что это воплощение, как сказано, везде будет повторяться и дальше.
     
А именно, будем пользоваться нашим основным воззрением на трансфинитное, которое и привело нас к этому последнему из конечной области. Мы знаем (§ [ ]), что нужен скачок из раздробленной конечности в неделимую идею, чтобы впервые только еще получить самую категорию бесконечного. Будем пользоваться этим методом и здесь и тогда получим следующее.
     
I. Первое воплощение.
     
(1,2, 3, …ω)
     
A.  1. ω, ω+1, ω + 2, … ω + ω
     
B.  2. ω 2, ω·2+ 1, ω·2 + 2, … ω·2 + ω 
     
3. ω·3, ω·3+ 1, ω·3 + 2, … ω·3 + ω
     
4………………………………………………
     
C.  5. ω2 + 1, ω2 4–2, ω2 + 3, … ω2 + ω
     
6. ω2 + ω+ 1, ω2 + ω + 2, ω2+ (0 + 3, … ω2 + ω + ω
     
7. ω2 + ω ·2, …
     
8………………………………. ω2 + ω ·ω
     
9. ω2· 2,……………………… ω2 · 2 + ω2
     
10. ω2 · 3,……………………. ω2 — ω
     
11. ω3,………………………… ω3 ω
     
D. 12………………………….. ωω
     
Нечего пояснять эту таблицу математически. Она не выходит за пределы элементарных арифметических операций. Но ее философский смысл, кажется, еще никто не исследовал до сих пор.
     
Я различаю здесь четыре стадии.
     
Первая, обозначенная буквой А, демонстрирует недоступность трансфинитного ни для каких конечных увеличений. Поднимая вопрос о воплощениях бесконечного, мы как бы сразу устанавливаем фундаментальный тезис: никакое увеличение бесконечного невозможно, так как бесконечное уже охватывает все. Бессмыслицу этого процесса увеличения мы и фиксируем с самого начала.
     
Но уже этот процесс А приводит нас к случаю, имеющему совсем другое значение. Именно, не обязательно говорить только о конечных приращениях. Что получится, если к ω мы прибавим не 1,2, 3,…, но прибавим целое ω? Тогда получится, что мы поставим бесконечность во взаимоотношение не к конечному, но к бесконечности же, т. е. к самой себе. А соотношение бесконечности с самой собой дает несомненно нечто новое, [о ]но растет в своем собственном, чисто смысловом содержании.
     
Вот почему с момента достижения ω · 2 мы отмечаем начало нового процесса В, который открывает собою область взаимоотношений бесконечности с самой собой, в отличие от прежнего взаимоотношения ее с бытием конечным. Именно, процесс В рисует взаимоотношение бесконечности с самой собой по ее субстанции. Что значит ω — 2, ω · 3, ω 4 и т. д.? Это значит, что мы то или иное число раз повторяем бесконечность, не вводя ни в какое рассмотрение ее внутреннего смыслового содержания. Правда, повторить бесконечность, собственно говоря, невозможно, так как она уже есть все, т. е. нет для нее никакого инобытия, в котором она могла бы быть повторена. Но поскольку идет речь о взаимоотношениях бесконечности с самой собой, постольку всякое ее субстанциальное повторение есть не что иное, как последовательное обогащение ее внутреннего же смыслового содержания. Следовательно, субстанциальное повторение бесконечности нисколько не выводит нас за пределы идеи бесконечного, а только напряжет ее смысловое содержание. — Итак, сущность процесса В есть субстанциальное взаимоотношение бесконечности с самой собой, или общебытийная ее саморефлексия, когда бесконечность устремляет взоры на саму себя и находит в себе себя же саму, но пока только как голый факт, не фиксируя еще смыслового содержания этого факта.
     
С момента ω–со или ω2 начинается процесс С. Здесь, стало быть, бесконечность уже рефлектирует над самой собой, и должен происходить рост этой рефлексии. Поскольку рефлексия бесконечности как голого бытийного факта уже состоялась, дальнейший рост этой рефлексии возможен только в сторону смыслового содержания бесконечности. Уже простое ω2 указывает на то, что ω в качестве некоей целости отразилось во всех своих отдельных моментах, из которых оно состоит. Это уже нельзя считать бытийным взаимоотношением. Если целое присутствует полностью в каждой части, то тут мы находим уже и смысловое взаимоотношение. Ведь целое в отношении частей есть то, что их осмысливает как именно части. Удаляя целое, мы уничтожаем и части, которые после этого из частей превращаются в совершенно дискретное множество вполне самостоятельных предметов. И если вещь такова, что в ней целое полностью присутствует в каждой части, то это значит, что она рефлектирует в себе не просто свой факт, но и свой смысл. Обращая взоры на себя, она видит в себе не только факт своего существования, но и свою физиономию. Пересматривая свои частичные моменты, она везде видит себя и по существу. В этом смысл изучаемого нами момента ω2.
     
Ясно, что один этот факт саморефлексии ω2 еще далеко не есть вся возможная саморефлексия. Бесконечность утверждает себя как факт в процессе В, воплощает себя (конечно, в себе же самой) как факт. В процессе С бесконечность утверждает себя как смысл, воплощает себя как смысл. Но мы уже много раз встречались с дуализмом факта и смысла и везде находили их синтез, потому что реальная действительность не есть ни просто факт и ни просто смысл, но их последнее взаимопроникновение и слияние. Факт должен быть целиком использован смыслом, целиком осмыслен. Это и будет значить, что смысл целиком осуществился и стал во всех отношениях фактом. Нельзя говорить ни о каком воплощении чего бы то ни было, пока целиком не осуществился в инобытии и самый его факт, и самый его смысл. Но процесс от факта к смыслу был у нас процессом от ω к ω2, т. е. возведением бесконечности в квадрат. Следовательно, чтобы в сфере смысла использовать весь факт, надо использовать в этих актах саморефлексии все ω. Единичный акт саморефлексии (или единичный акт смыслового самовоплощения) есть возведение в степень. Но что здесь является субъектом рефлексий? Ведь целая же бесконечность. Стало быть, только тогда бесконечность исчерпает себя в саморефлексии, т. е. только тогда она воплотится вся целиком в едином, но полном акте самовоплощения, когда этих актов саморефлексии будет тоже целая бесконечность. Если это случится, то в смысловом самовоплощении бесконечности ее собственный факт и бытие будут исчерпаны полностью. Это и происходит в моменте ωω, что и есть окончание процесса С и начало процесса D. Этот процесс D и есть первый полный акт воплощения трансфинитного эйдоса в его инобытии.
     
Этим характеризуется весьма существенный этап в конструировании континуума. Еще далеко нет самого континуума, но уже есть, так сказать, одна его «точка», если только можно говорить о точках континуума. И что же это за «точка»? Мы видим, что это целая бездна точек, как оно и должно быть по нашему первоначальному условию соблюдать принципы чистого алогического становления. «Точка» континуума есть не просто геометрическая точка, но она в то же самое время порождает из себя целую бесконечность точек, так как эту бесконечность точек порождает уже всякий малейший сдвиг полагаемой точки, а она в силу алогичности данной области не стоит ни одно мгновение на месте. Мало того. Здесь не только бесконечность точек, но эта бесконечность дана сразу как некий единственный акт полагания. Быть же одной точкой для бесконечности точек — это возможно только тогда, когда каждая точка из этой бесконечности есть предел для каждой другой точки из этой бесконечности и для всех их вместе. А это и значит превратиться из ω точек в ωω точек. Когда одна точка в качестве предела притягивает к себе бесконечность других точек, то каждая из них, чтобы слиться с первоначальной точкой, должна сама пройти свою бесконечность точек; и, значит, ω точек пройдет ω2 точек только для того, чтобы одна первая точка была пределом для всех других. Но так как вовсе не одна точка является пределом для других, а·каждая из ω точек является пределом для всех других, то в результате мы получаем ωω точек.
     
Другими словами, здесь мы наталкиваемся на тождество элемента континуума с его предельной точкой. А множество, которое состоит из всех своих предельных точек, носит название совершенного множества. Следовательно, то, что мы получили ωω точек из одного акта полагания, уже обеспечивает нам форму континуума как совершенно связного множества. Совершенство и связность тут уже содержатся, — по крайней мере как принцип. Таково философско–математи–ческое значение первого воплощения эйдоса в виде [ωω ].
     
е) Пойдем дальше. На очереди у нас принцип континуума, формулированный выше, в п. 7f, как пункт d (о порождении и уничтожении). Уже достигнутый нами результат достаточно обнаруживает стихию взаимопорождения и взаимопожирания отдельных актов воплощения. Мы воплощали, т. е. полагали, в инобытии наш трансфинитный эйдос однажды, а оказалось, что это не одна точка, а ωω точек. Наша единственная точка породила целую бездну точек, но эта бездна поглотила и ее саму, так что выходит, что точка через эманацию точек из себя уничтожила себя саму. Этот первый полный акт воплощения ωω фактически оказался целой бездной взаимопорождающих и взаимопоглощаю–щих точек. Что же нового нам даст этот пункт d? Нового он даст только то, что эта «точка» ωω в свою очередь должна будет порождать из себя новую бездну точек с тем, чтобы погибнуть в этой бездне и еще в дальнейшем уничтожить и ее саму. В каком отношении ωω оказались к ω, в гаком же и еще дальнейшее порождение этого ωω должно оказаться к себе самому. Ясно, что мы получаем (ωω)ωβ = ωω».
     
Этот процесс можно и здесь записать более подробно.
     
II. Второе воплощение.
     
A. 1. ωω+ 1, ...
     
B. 2. ωω + ω, ... 3. ωω + 2ω, ...
     
4 ωω + ω2
     
5. ωω+ω2 + 1, ...
     
6. ωω+ω2 + ω, ...
     
7. ωω + 2ω2, ...
     
8 ωω + ωω2
     
9. ωω + ω3 ...
     
10 ωω+ωω
     
11. ωω·2+1, ...
     
1 2 ωω·2 + α>
     
1 3 ωω·2 + ωω
     
14. ωω·3 + 1, ... ωω·ω
     
C. 15. ωω+1 ... ωω+ω
     
16. ω2ω... ωωω
     
17. ωω2
     
D. 18. ωω
     
Тут также можно проследить указанные выше четыре процесса (они отмечены в этом списке буквами А, В, С, D). Но мы достаточно разъяснили их выше.
     
Существенно важным является то, что этот принцип взаимопорождения и взаимопоглощения, отмеченный в п. 7f как d, в сущности своей является тождественным с двумя последними принципами, указанными также под рубрикой [е]. Действительно, что же мы тут делаем такое, как не то, что ωω считаем эйдосом в отношении дальнейших порождений, и как не то, что это эйдетизиро–вание проводим с неуклонной последовательностью? То самое, что с точки зрения алогического становления представляется взаимопорождением и взаимопоглощением, с точки зрения смысловой есть только переход эйдоса из одного инобытия в другое. В эпоху романтйзма изображали иронию именно так, что идея осуществляла себя в инобытии и тем уничтожала себя, а инобытие принятием на себя идеи уничтожало себя (как инобытие), но тем же самым и воскрешало себя (ибо становилось осмысленным). Вот эта «божественная ирония» абсолюта над самим собою и совершается в каждом простом акте осмысления, когда смысл из своей чистой и беспримесной сферы выходит наружу, чтобы осмыслить не имеющее смысла. Потому мы и говорили выше о тождестве в континууме хаоса со смыслом, [о том,] что каждое мгновение этой алогической тьмы есть в то же время и скульптурный жест чистого смысла. На приведенных процессах второго воплощения трансфинитного эйдоса мы созерцаем, таким образом, сразу и принцип d, и принцип е из указанных в п. 7f.
     
О Однако и здесь мы еще не получаем полного континуума. Дело в том, что если первый полный акт воплощения трансфинитности дал нам вместо ω стихию ωω, то, получая вместо ωω еще новую бездну точек ωω\ мы образуем не что иное, как другой, второй полный акт воплощения, когда воплощается уже не ω, но ωω. Но почему же мы должны остановиться на этом втором акте воплощения? Как там было недостаточно ω2, потому что оно не исчерпывало всей бесконечности, так и здесь недостаточно ωω<\ потому что оно не исчерпывает всей бесконечности воплощений. Чтобы пройти от 1 до ω, нужна бесконечность актов полагания или идеальных различений. Чтобы пройти от ω до ωω, нужна бесконечность реальных полаганий всей бесконечности, чтобы получилась одна воплощенная бесконечность. Наконец, чтобы охватить бесконечность самих воплощений бесконечности, нужен переход от ωω к ωω» .
     
III. Третье воплощение.
     
ωω», ωω* , ωω» " = Ω
     
Это третье воплощение есть, таким образом, только окончательное выполнение принципов d и е из п. 7f.
     
9. а) Чтобы понять, что результатом третьего воплощения является континуум, надо самым четким образом представлять себе наш общелогический анализ континуума в п. 7f, а чтобы реально воспользоваться этим анализом, необходимо было яснейшим образом представлять себе диалектику самого трансфинитного числа. Кто не понимает ω, тот не поймет и континуума; и непонятность континуума есть, в основе своей, непонятность числа ω.
     
Именно, надо раз навсегда себе запомнить, что если бесконечность есть действительно бесконечность, т. е. охватывает все, то ничто конечное не может в ней изменить ни одной ноты. Бесконечность есть нечто абсолютно неуменьшаемое и неувеличиваемое, нечто абсолютно неделимое. Если думать, что ω действительно составлено из конечных чисел и может быть на них сведено, то это колоссальное недоразумение, которое является препятствием ко всякому пониманию этого ω. Никакими процессами нельзя из конечного получить бесконечное, и никакими процессами нельзя уже имеющуюся бесконечность как–нибудь изменить. Это запомним раз навсегда. Наше трансфинитное число ω, эта актуальная бесконечность, есть только одна неделимая точка, и больше ничего. Его нельзя дробить так же, как нельзя раздробить точку; в этом смысле оно лишено всяких «измерений».
     
Если это хорошенько себе усвоить, тогда отпадает значительная часть и трудностей, связанных с пониманием континуума, ибо одно из основных возражений против учения о континууме заключается в том, что невозможно его представить себе составленным из точек. Совершенно правильно, что континуум не состоит ни из каких точек, а есть абсолютная сплошность. Но это происходит здесь — принципиально—точно так, как и в простом трансфинитном числе. Как простое ω есть некая неделимая сплошность, несмотря на наличие в нем всей бесконечности чисел натурального ряда, так и континуум ничто не мешает понимать как некую неделимую сплошность, несмотря на бездну точек, из которых он составляется. Если понятно, что такое ω, то понятно и чго такое континуум. И если не понятен континуум, то уже рушится и самое первое трансфинитное число.
     
Следовательно, весь вопрос заключается не в том, как получить континуум из точек (это общая проблема всякой трансфинигносги), но в том, чем отличается получение континуума из точек [от] получения первого трансфинитного числа из точек.
     
Будем считать, что это для нас ясно. Если же мы поставим этот последний вопрос, то тут мы столкнемся еще с одной интуицией, которая, если ее взять саму по себе, опять–таки не есть что–нибудь специфическое для континуума, но это такая интуиция, без которой нечего и думать овладеть континуумом как логической идеей. Это интуиция алогического становления. В предыдущем (п. 7а — d) она была изображена достаточно, но мы лак же, как и в проблеме трансфинитной сплошности, укажем сейчас самый основной корень ее, как он необходим для континуума.
     
b) Корень этот заключается в утверждении слепой мощи созидания, наличной в бытии с той же необходимостью, что и координированно–раздельный эйдос. Только этим становление и отличается от эйдоса, будучи во всех прочих отношениях прямым его повторением. В эйдосе каждый момент отличен один от другого, и в становлении— го же самое (ибо иначе оно и не становилось бы); в эйдосе каждый момент тождествен с другим, и в становлении— то же (ибо иначе оно не было бы сплошностью); в эйдосе каждый момент переходит в другой и останавливается в нем, и в становлении — то же (ибо иначе оно не развертывалось бы последовательно); наконец, эйдос полагает сам себя целиком и ни от чего другого не зависит, и становление — то же (ибо иначе в нем выделялись бы отдельные более активные пункты и оно не было бы безразлично–самостоятельным бытием). Но все эти моменты, повторяющие эйдос, отмечены в становлении одним неизгладимым свойством: оно есть слепая мощь созидания всех этих моментов. Поэтому и самотождественное различие, и подвижной покой, и определенное бытие эйдоса даны здесь как слепые сдвиги, как неопределенная длительность без начала, без конца, да и без середины. Каждый отдельный момент становления никогда не есть он сам, но он сплывает[90] в самый [момент] своего полагания, превращаясь в скользящую тьму неизвестно чего.
     
И если бы мы захотели двигаться вообще по ровному полю становления, то мы должны были бы заметить, что каждый такой сдвиг, получившийся в результате полагания точки, тотчас же воплощается в новом сдвиге, подобно тому как сам он только что появился из одной идеальной точки, этот сдвиг — еще в новый и т. д. В результате же получается, что в становлении каждая точка не покоится, но тяготеет к другой точке, и притом ко всякой другой точке. Она — центр притяжения всех прочих точек, сколько бы их ни было, а сама она в числе прочих тоже тяготеет ко всем прочим. Таким только образом и можно схватить сущность становления.
     
с) Если мы овладели этими двумя интуициями — неразложимостью бесконечного и слепым самосозиданием становления, то это будет и овладением идеей самого континуума. Ведь мы же исходим как раз из того, что континуум есть алогическое становление, данное как актуальная бесконечность. Следовательно, чтобы осуществить вышеизложенные интуитивные принципы, 1) надо взять ω, но 2) в этом ω считать не 1, 2, 3… (что было бы только идеально–числовым различением, а не вне–числовым созиданием и воплощением), но считать так, чтобы вместо каждой единицы была упомянутая выше неопределенная длительность, 3) а вместо последовательного прибавления по единице — последовательное воплощение одной длительности в другую. Так как мы уже доказали (п. 8b), что первой «точкой», или первым воплощением, трансфинитного эйдоса является ωω, то ясно, почему исчерпание [м ] всех бесконечных последовательных возведений ωω в соответствующие степени мы и получаем настоящий континуум.
     
Надо каждый момент ω понять как алогически становящийся, или, что то же, каждый момент алогического становления понять как трансфинитный, ибо эта взаимо–пронизанность алогического становления и трансфинитного и есть, как сказано, алогическое становление как идеальный предмет.
     
При этом выясняется и роль последовательных возведений [в] степень. Ведь континуум должен обеспечить нам некоторый трансфинитный рост без разрыва всех моментов роста. Это делается так, что мы имеем сначала один алогический сдвиг, знаменующий первое воплощение трансфинитного, потом воплощение не просто прежнего трансфинитного числа, но воплощение происшедшего сдвига, затем опять не воплощение старого трансфинитного числа, но воплощение этого второго сдвига и т. д. и т. д. При таком росте трансфинитности мы, переходя ко всякому дальнейшему воплощению, имеем в виду все воплощения, бывшие до сих пор, вместе с этим новым, не различая уже нового сдвига от старого. Таким образом, мы все время плывем вперед и вперед, повторяя эти воплощения в каждый момент своего плытия, но самих этих моментов как раздельных не замечаем. Эта же раздельность, которая тут необходимо предполагается, относится не к нашему плытию, но к тому трансфинитному числу ω, которое является единственным основным субъектом всех этих воплощений, а по методу происхождения которого из бесконечности (т. е. путем предельного прыжка) мы и судим здесь о получающемся континууме.
     
d) Таким образом, континуум есть бесконечное число раз повторенное или, лучше сказать, бесконечно напряженное становление. И это так и должно быть, если мы вспомним, как вообще одна диалектическая категория происходит из другой. В этом сочинении мы не раз пользуемся примером движения и покоя. Эти категории суть взаимное отрицание. Но если мы представим себе, что движение происходит с бесконечной скоростью, то оно сразу, в одно мгновение охватит все точки бесконечности, какие только имеются; и раз ему поэтому некуда будет больше двигаться, оно превратится в абсолютный всеобщий покой. Точно то же самое происходит и с алогическим становлением. Покамест оно взято как такое, в чистом виде, оно есть отрицание эйдоса, смысла, едино–раздельности. Но возьмем его в максимальном напряжении, с бесконечной, так сказать, скоростью распространения. В таком случае оно охватит все точки бесконечности, т. е. всю бесконечность, в одно мгновение. Каждое мгновение бесконечности оказывается алогическим становлением, так как оно отныне решительно всюду как таковое, во всякой точке бесконечности со своим неизменным и абсолютным алогизмом. По этому самому оно не имеет и никакого начала и конца: всякое начало и конец алогично становится, и потому, строго говоря, континиум не имеет ни первого, ни последнего элемента. Однако раз охвачена вся бесконечность, а это ω мы получили раньше как нечто устойчивое и неделимое, то и наше становление переходит тут в свое отрицание; оно здесь как бы останавливается и превращается в расчленяемую, едино–раздельную идею. Это как раз и есть континуум. Мы его можем дробить как угодно и создавать из него какую угодно едино–раздельность, но мы прекрасно чувствуем, что это вовсе не та едино–раздельность, которая есть в конечном, да и не то единство, которое есть в трансфинитном. Хватая отдельные точки этой «едино–раздельности», т. е. фиксируя их на манер конечных элементов, мы сразу видим, как они выскальзывают из наших пальцев и ползут во все стороны. Это и значит, что континуум есть бесконечно напряженное становление и нельзя в нем отмечать никакие конечные моменты, — подобно тому как и смысл, идея есть бесконечно напряженные инобытие и факт. Инобытие есть бесконечно размытое становление эйдоса, а эйдос есть бесконечно сомкнутое восстановление инобытия. Не иначе и в том случае, когда эйдос есть трансфинитное число, а инобытие есть чистое алогическое становление.
     
е) Только теперь, когда понятие континуума окончательно раскрыло нам свою философско–магематическую тайну, мы можем поставить континуум в тот контекст вне–числовых определений, который мы прервали выше, при переходе к п. 6. Что континуум есть вне–числовое определение, это ясно из того же, из чего ясна и вне–числовая определенность конечных и бесконечных чисел. Ведь чтобы число было конечным или бесконечным, надо, чтобы уже ранее существовало само число, как синие и красные карандаши уже предполагают, что есть карандаш вообще. И как синева и краснота, большие и малые размеры, хорошее и худое качество и пр. суть вне–карандашные определения карандаша, так и конечность, бесконечность, трансфинитность и континуальность тела суть его вне–числовые определения.
     
Но какое же это вне–числовое определение? Чтобы построить континуум, мы исходим из понятия трансфинитного эйдоса, но мы вовлекли этот последний в стихию чистого становления. Как алогическое становление в виде инфинитезимального бесконечного разыгрывалось у нас на путях от конечного к трансфинитному, составляя в некотором роде внутреннее содержание трансфинитного, так теперь это алогическое становление расстилается вне трансфинитного, увлекая его в свою бездну и по–своему его перестраивая. То, что сначала было внутри, теперь стало трансфинитно, в обоих случаях являясь методом его смыслового конструирования. При таком положении дела континуум явно оказывается чисто выразительной формой, как это видно уже на основании наших принципиальных установок (§ [ ]).
     
Итак, если конечное, инфинитезимальное и трансфинитное суть вне–числовые определенности, данные — соответственно— как эйдетическое (едино–раздельное), алогически становящееся и наличное бытие (§ [9.44]), то континуум есть, очевидно, вне–числовая определенность числа, данная как выразительная форма.
     
На этом мы кончаем наш анализ диалектического строения континуума.
     
10. Два вопроса или, вернее, один вопрос в двух аспектах остается нерешенным. Во–первых, почему выразительная форма должна быть чем–то сплошным и нерас–члененным и не есть ли это только один вид выразительности, в то время как второй вид требовал бы полной расчлененности и оформления? И, во–вторых, почему нельзя идти еще дальше за пределы Ω, совершая над ним те же действия, что и над ω, и какие от этого могли бы получиться результаты?
     
а) Разумеется, выразительная форма, вообще говоря, есть расчлененная форма (как это вытекает из характеристики выражения в § [69]). Этой расчлененности вполне соответствует и сам континуум, но сейчас мы увидим, что она не единственная. Что такое расчлененность континуума, который сами же мы все время характеризуем как нечто нерасчлененное и сплошное? Для ответа на этот вопрос необходимо опять–таки учитывать своеобразие сферы чистого становления. Ведь мы уже прекрасно знаем и много раз убеждались на конкретном анализе, что становление только тогда и возможно, когда есть чему становиться, т. е. когда есть нечто нестановящееся. В этом смысле становление обязательно предполагает едино–раздельную расчлененность. Последняя, как мы это хорошо видели на предыдущем анализе, присутствует в континууме как бы сзади, за этой сплошной завесой становления, но это присутствие совершенно необходимо, так как реально становление совершается только в отношении этого идеального расчленения. Мы так и говорили (§ [ ]), что нас интересует не самое ω, но все его воплощения в инобытии, которые к тому же всякий раз берутся как нечто совпадающее, как нечто целое. Следовательно, актов воплощения этого ω неисчислимая бездна или, точнее, актов этих Ω, но наблюдаемый результат этих актов — абсолютная сплошность, где эти акты незримо присутствуют в виде каких–то следов или теней основного субъекта воплощений.
     
Можно поэтому считать континуум некоторого рода интеллигибельной материей, материей — потому что он есть воплощение эйдоса, а интеллигибельной — потому, что все эти воплощения рассматриваются как идеальный предмет, т. е. потому, что они предполагают сферу чистого смысла и сами оказываются стихией чистого смысла, хотя и своеобразной. В стихии смысла материя и эйдос есть ведь одно и то же; материя тут есть только принцип инаковости, различенности эйдетического, в то время как за пределами чистого смысла материя есть принцип фактической реальности, т. е. не просто различения, а силового воплощения, т. е. вещественного притягивания и отталкивания. Пользоваться материей или полагать реальность в сфере чистого смысла — это значит только различать, сохраняя все целое, внутри которого установлены различия; что различно, то для мысли и существует. Пользоваться же материей за пределами чистого смысла — это значит полагать соответствующую реальность как некий факт [по отношению ко ] всем другим фактам и целому, и притом противополагая их вещественно, т. е. в силовом отрыве от этих последних. Так как континуум мы трактовали в виде проблемы чистого смысла, то ясно, что наше Ω есть не только сплошность[91], но и вся расчлененность, которая содержится в последовательных возведениях исходного в степень. Тут материя и эйдос есть одно и то же, а поэтому континуум есть так же все те расчлененные числа и операции, которые были затрачены на его конструирование. В этом отношении континуум уже есть очень определенная смысловая расчлененность; и, если угодно, в этом смысле он состоит из Ω точек (что, конечно, не должно нарушать его сплошности[92] как и составленность ω из бесконечного числа точек нисколько не мешает абсолютной его неделимости). Можно сказать, что континуум тоже есть счетное множество, но—такое счетное, в котором счет производится при помощи чисел II класса.
     
b) Второй вопрос, поставленный выше, также не терпит отлагательства, если мы стремимся к диалектической системе. В самом деле, что могло бы быть больше самого континуума? Пусть мы имеем какой–нибудь отрезок прямой. Как бы мал или велик он ни был, мощность всех действительных точек на ней совершенно одна и та же. Это мощность континуума. Кантор доказал даже гораздо больше[93]. Именно, оказывается, что мощность континуума двух измерений — такая же, как и мощность континуума одного измерения. И то же самое, оказывается, имеет место и относительно континуумов любого числа измерений, так что континуум бесконечного (или счетного) числа измерений по мощности своей равен континууму одномерному[94]. Действительных точек на данном отрезке не увеличивается и не уменьшается не только от увеличения или уменьшения его длины; но их количество — одно и то же и в пределах любой плоской фигуры, любого трехмерного тела и любого тела любого числа измерений. Это поразительное открытие способно озадачить любую философскую голову. Но мы не очень этому удивимся, так как уже привыкли от бесконечности ожидать самых невероятных вещей. Если понятно, что бесконечность ω вообще не увеличивается и не уменьшается, то в конце концов понятно и учение Кантора о равномощности с одномерным континуумом как угодно многомерного континуума.
     
Если все это так, то мы оказываемся как будто бы в трагическом положении: никакими действиями нельзя в дальнейшем выйти за пределы континуальной мощности. Фактически, однако, дело обстоит иначе. Ведь и ω, говорили мы, недоступна никакому ни увеличению, ни уменьшению, и все же мы получили в результате увеличения ω целый ряд разных порядков шив конце концов Ω, то, что уже имеет совсем другую природу, чем ω и чем любые ее порядки. В чем тут дело? Дело в том, что для бесконечности совсем не совпадают между собою мощность и тип множества, вполне фактически совпадающие для конечных множеств. Мощность каждого числа второго класса (между ω и Ω)—совершенно одна и та же — счетная мощность. Типы же чисел второго класса везде разные, т. е. везде разная упорядоченность. Также и после континуума мы находим мощности, которые все подряд являются континуальными. Но, применивши сюда идею порядка, мы сразу видим, что у нас получаются континуумы η вполне различных порядков, т. е. различного числа измерений.
     
Вот эта идея и является здесь решающей. Подобно тому, как малейший сдвиг точки со своего места уже порождает отрезок, на котором мощность всех действительных чисел равна континууму (одномерному), так малейший сдвиг самого отрезка уже порождает некоторую плоскость, на которой мощность всех действительных точек равна тоже континууму, но—двухмерному. Тут же мы проделываем все те операции, что и для перехода от ω к Ω, и получаем Ωχ. От Ωχ мы таким же путем доходим до Ω2, от Ω2 до Ω3 и т. д. и т. д., получая континуумы все большего и большего числа измерений. Наконец, мы получаем и бесконечно–мерный континуум Ω^, а дальше затем и такой континуум, у которого множество измерений само имеет мощность континуума, или континуально–мерный континуум <Ωω>.
     
Отсюда выясняется вся принципиальная важность трансфинитных чисел классов, начиная с третьего. Уже Ω есть переход от одномерного континуума к двухмерному, следовательно, третий с Ω класс чисел дает двухмерный континуум, четвертый (начиная с Ω3) дает трехмерный континуум и т. д. С момента Ωω начинается континуальная сплошность бесконечного числа измерений континуума. И, соответственно, ΩΩι, ΩΩζ, ΩΩι и т. д.
     
Мы, однако, не станем анализировать все эти числовые бездны, чтобы не впасть в потенциальную бесконечность и тем самым не нарушить принципа транс–финитности. Для нас достаточно выставить просто множество всех чисел, куда войдут и все континуальные, как и неконтинуальные порядки; множество всех чисел есть вполне упорядоченное множество, обладающее целым рядом совершенно определенных свойств. Но мы [не] станем здесь строить теорию этого замечательного множества, а только закрепим его терминологически как тотальность, понимая под этим все, что вообще больше континуума, — по преимуществу же счетно–мер–пый континуум.
     
Если уже просто континуум, как указано выше, есть вне–числовая выразительная форма числа, то сфера тотальности, которая есть раскрытие общеконтинуального принципа, оказывается наивысшей развитой выразительной формой вне–числового осмысления числа вообще. Этим, надо думать, исчерпывается вся сфера чисел вообще.
     
11. а) Остается еще одна область вопросов, которую нам необходимо выставить тоже на первый план, оставаясь, конечно, на позиции чисто принципиального исследования. Это, вообще говоря, вопрос о взаимопред–полагаемости и в то же время взаимонесводимости всех рассмотренных выше диалектических ступеней вне–числового осмысления. Математики здесь блещут точностью и общеобязательностью своих заключений. Для характеристики этого разброда Η. Н. Лузин[95] воспользовался «демоном» Максвелла, который владеет каждым математиком и внушает ему одни вкусы, исключая другие.
     
«1. «Демон» Брауэра. Его область есть область целого конечного, и притом ограниченного путем указания верхнего конечного предела. За этой областью все лежит «вне математики».
     
2. «Демон» Бэра. Его область есть просто область целого конечного без указания верхней конечной границы. Бесконечное — это лишь fagon de parler[96] и находится «вне математики».
     
3. «Демон» Бореля. Его область есть область счетной бесконечности. Всякое несчетное множество — «вне математики».
     
4. «Демон» Лебега. Его область есть область мощности континуума. Всякая операция, требующая континуум простых шагов, доступна этому «демону»; поэтому определение верхней меры еще лежит в области математики. Но мощность 2е, мощность совокупности всех функций, уже отрицается Лебегом и не по силам его «демону».
     
5. «Демон» Цермело. Его поле операций — всякие мощности, в частности, всякое множество «демон» Цермело может «сделать» вполне упорядоченным».
     
Что может сказать философ по этому поводу? Можно только улыбнуться наивности этих философских рассуждений и похвалить за откровенное признание математиками субъективизма своей философии. Сказать, что существует только конечное и нет ничего бесконечного, или сказать, что существует только бесконечное и нет никаких подразделений в сфере бесконечного, — это значит слишком откровенно раскрывать свои ни на чем не основанные, но весьма интимные потребности и симпатии.
     
Приходится и здесь покинуть эту зыбкую и наивную почву кустарных домыслов и обратиться к беспристрастному и ко всему одинаково равнодушному суду диалектики. Но суд диалектики беспощаден.
     
b) Для диалектики совершенно нет никаких оснований предпочитать одну категорию другой. Если га или иная категория как–нибудь образовалась, т.е. имеет тот или иной смысл, то этого уже достаточно для того, чтобы ее нельзя было уничтожить никакими силами. Если конечное, бесконечное и разные виды бесконечного являются хоть какими–нибудь логическими категориями (пусть не столь богатыми, как можно было бы предполагать), то этим уже все решено: никакую категорию нельзя просто уничтожить, ее можно только подчинить другой или, наоборот, другую категорию подчинить ей, можно, наконец, при желании, и совсем о ней не размышлять, но если она хоть что–нибудь значит, то мыслить ее можно только как необходимую. Следовательно, поскольку в предыдущем мы именно установили смысл выразительно–числовых категорий, постольку все они для пас обязательны, и мы не можем пожертвовать ни бесконечным в пользу конечного, ни конечным в пользу бесконечного. Речь может идти только о диалектической системе этих категорий, т.е. о том, в каком смысле одна из них предполагает другую и как они объединяются в одно целое.
     
c) Чтобы укрепиться в той позиции, что рассмотренные нами выразительные формы есть именно категории, обратим внимание на то, что им вовсе не свойственны чисто количественные различия. Профан обычно думает, что конечное — это что–то обязательно очень маленькое, а вот бесконечное — это что–то ужасно огромное, что получается в результате постепенного увеличения малых размеров конечной величины. Эта точка зрения должна быть уничтожена до последнего основания. Никаким увеличением нельзя конечное превратить в бесконечное и бесконечное в континуум. Тут разница не по количеству, а по качеству или, точнее говоря, по категории. Никогда одна категория не расплывается и не воссоединяется так, чтобы из этого получилась другая категория. Эту другую категорию никаким способом нельзя получить откуда–нибудь, если она еще не существует сама по себе. Всякое получение одной категории из другой в диалектике вполне равносильно и их полной взаимной независимости и самостоятельности.
     
В частности, нужно сказать, что данный отрезок прямой вовсе не должен быть увеличиваем до бесконечности, чтобы мы имели эту бесконечность реально. Каждый конечный отрезок, как бы мал он ни был, уже есть бесконечность точек и интервалов и даже континуум, и даже в известном смысле тотальность. Бесконечность отличается от конечного вовсе не тем, что она больше его. Один и тот же отрезок, например — в один сантиметр, может считаться и конечным, и бесконечным, и континуальным, и тотальным, смотря по точке зрения, т. е. смотря по той категории, которую мы употребим для оценки данного отрезка.
     
Вот почему нелепы рассуждения тех математиков, которые допускают в своей науке только конечные величины, но пугаются счетных множеств или допускают счетные множества, но пугаются еще высших мощностей. Уже допустивши отрезок [0; 1 ], математик допустил решительно все — и конечную, и счетную, и континуальную, и тотальную мощность. И даже если бы он допустил отрезок, в любое количество раз меньший, чем [0; 1 ], он все равно уже фактически, но скрыто для себя, допустил все указанные основные выразительные формы числа.
     
Итак, в отношении выразительно–числовых форм мы должны выставить следующие положения.
     
1. Существует четыре основных выразительно–числовых формы: а) конечная, b) инфинитезимальная, с) трансфинитная и d) континуально–тотальная.
     
2. Если число дано на стадии выразительной формы, то оно сразу содержит в себе все эти четыре формы. Если оно характеризуется хотя бы одной из этих форм, то остальные также присутствуют тут целиком.
     
3. Это, однако, не значит, что всеми ими нужно пользоваться сразу. Обычно выбирается и фиксируется какая–нибудь одна из них, смотря по той категории, которую желательно иметь в виду. Конечная выразительная форма основана на категории едино–раздельности (или бытия определенного), инфинитезимальная — на категории становления, трансфинитная — на категории ставшего и континуально–тотальная — на категории энергийно–эманативного бытия.
     
4. Никакая из этих категорий не сводима одна на другую, но никакая зато и не может существовать без других. Все они — нечто, и все они — разное.
     
d) Такая установка поможет нам и при детальном рассмотрении указанных форм, которого, впрочем, мы делать не будем, но которому зададим только определенное направление.
     
I. Как возможно конечное?
     
a) Пусть существует конечная выразительная форма, которая в то же время не есть инфинитезимальная. Это значит, что в пределах этой формы невозможен ни малейший сдвиг, т.е. что от начального элемента конечного никуда сдвинуться нельзя, и, значит, тем более нельзя дойти до последнего элемента, т.е. конечное перестало быть конечным, обозримым.
     
b) Допустим, что есть конечная выразительность без трансфинитной. Поскольку трансфинитное число есть предел конечной операции, постольку исключение транс–финитности есть исключение предела, т. е. самой возможности достигнуть конца. Значит, в конечном при таких условиях мы не смогли бы достигнуть последнего элемента, даже если сдвинулись бы с первого элемента, т.е. конечное перестало бы быть конечным, обозримым.
     
c) Но пусть исключается континуум. Это значит, что внутри конечного образованы такие пропасти и разрывы, которые нельзя ничем преодолеть, так что если бы мы даже и обладали первым и последним элементом конечного множества, то мы не знали бы, что находится «посредине», т. е. не знали [бы ], что наши элементы есть именно первый и последний.
     
Конечно то, что имеет начало, середину и конец. И вот оказывается: если конечное не есть в то же время стихия бесконечно–малого, то оно не имеет начала. Если оно не есть в то же самое время и трансфинитное, оно не может иметь конца. А если оно не есть континуум, то оно не имеет и середины. Скажут: а если сама едино–раздельность не обеспечивает нам начало, середину и конец? Да, это есть действительно категория определенного бытия, но мы не можем воспользоваться ни началом, ни серединой, ни концом для конструирования числа и множества, если нет налицо указанных условий. Начало есть, но мы не можем с него сдвинуться; середина есть, но мы не можем через нее пройти; конец есть, но мы его не достигаем. Являются ли в таком случае эти отвлеченные категории реальной характеристикой числа и множества?
     
Итак, если нет бесконечного, то нет ничего и конечного. Условием возможности конечного является бесконечное.
     
II. Как возможно бесконечно–малое и бесконечно–большое?
     
a) Если существует бесконечно–малое, которое в то же время [не] является конечным, это значит, что оно есть чистое становление, в котором нет никакой едино–раздельности, г. е. которое вообще даже не есть нечто. Но тогда получается такое становление, в котором неизвестно, что именно становится. Но это есть только словесная нелепость, потому что для dx должно существовать само х. Бесконечно–малое существует лишь как известное приращение конечного. Бесконечно–малое и бесконечно–большое и есть не что иное, как становящееся конечное. Отбросивши здесь конечное, мы отбрасываем определенность самого понятия, т. е. делаем абсолютно алогичным и, значит, необсуждаем [ым ] само бесконечно–малое.
     
b) Но, может быть, существует инфинитезимальное бесконечное без всякой трансфинитности! Этого очень многим математикам хотелось бы… Но, к сожалению, это не так. Если в инфинитезимальном нет трансфинитного, то с точки зрения чистой логики это означает только, что становление здесь не имеет никакого направления, не имеет никакой цели, т.е. не содержит в себе предела. Однако момент предела входит в самое понятие бесконечно–малого и бесконечно–большого. Не нужно думать, что актуальная бесконечность существует только для бесконечно–большого. Веронезе показал, что существует также актуальное бесконечно–малое. Раз есть предел, то в условиях алогического становления уже с необходимостью существует и трансфинитное (хотя оно тут не используется), ибо последнее и есть определенный синтез становления с пределом.
     
с) Точно так же немыслимо бесконечно–малое и тогда, когда оно не есть континуум. Если он не есть континуум, это значит, что в нем отсутствует само становление, процесс и уже тем более, значит, отсутствует непрерывность. А это значит, что бесконечно–малое есть постоянная величина, что противоречит самому его понятию.
     
Итак: если бесконечно–малое не есть в то же время конечное, оно есть становление неизвестно чего; если оно не есть еще и трансфинитное, оно есть становление неизвестно какое[97]; если, наконец, оно не есть континуум, оно вообще не есть становление, или процесс, оно вообще не есть переменная величина.
     
III. Как возможен континуум?
     
a) Допустим, что континуум не содержит в себе ровно ничего, что указывало бы на конечность. Это значит, что континуум лишен категории едино–раздельности. Но если нет едино–раздельности, то нет и сплошности, ибо последняя есть не что иное, как заполненная едино–раздельность. Однако, что получится, если мы выделим из континуума все, что создает в нем сплошность, и постараемся получить едино–раздельность? Это значит, что мы получим континуум, в котором не будет никакого счетного скелета, т. е. окажется неизвестным, сплошностью чего именно является континуум. Мы получим множество всех действительных чисел, в котором, однако, нельзя будет указать ни одного рационального числа (ибо множество всех рациональных чисел—счетное), что невозможно. Это, конечно, не значит, что континуум состоит из этих едино–раздельных элементов; но это значит, что для сплошности необходим едино–раздельный скелет, который после своего заполнения и превращается в неразличимую сплошность.
     
b) Континуум немыслим и без инфинитезимального момента. Это значило бы, что он мыслим вне процесса становления, а тут мы пришли бы к его распадению на дискретное множество. Каждая «точка» континуума, по вышеизложенному ([п. 9]), есть именно становящаяся точка, так что лучше уже говорить не о точках, а прямо об отрезках.
     
c) Наконец, континуум, лишенный признаков транс–финитности, есть континуум, в котором ни одна точка не есть предельная. А это исключается самим определением континуума как совершенного множества.
     
Итак: континуум вне категории конечного есть сплошность неизвестно чего; он же, лишенный категории трансфинитного; есть сплошность неизвестно какая, а лишенный категории бесконечно–малого, он вообще не есть сплошность.
     
е) Самое же главное (оно же предпосылка, оно же резюмирующий вывод) во всем этом исследовании заключается в отрицании грубоколичественного подхода не только к категориям континуума, трансфинитных чисел и бесконечно–малых величин, но даже и к самим конечным числам и величинам. Даже и конечность числа не есть количественная характеристика числа, ибо по голому количеству еще нельзя судить, конечное оно или бесконечное. Если я сказал «пять», то только обыденная традиция человеческого сознания заставляет признать, что это есть именно нечто конечное. Сама же отвлеченно взятая пятерка — и бесконечность, и континуум, и ни то ни другое, смотря по точке зрения. В связи с этим шестерка больше, чем пятерка, но бесконечность ничуть не больше пятерки; и если математики так выражаются, то они сами же себя секут, когда начинают оперировать с бесконечными величинами. Оказывается, хотя последние только и «больше» конечных, но на самом деле они по самому существу своему совсем другие, так что неприменимо даже самое это понятие «больше» или, вернее, оно имеет тут везде разный диалектический смысл.
     
Одна структура — это арифметическая едино–раздель–ность; тут свое понимание[98] «большего», «меньшего» и «равного», а именно, эти понятия даны едино–раздельно, стабильно. Совсем другая структура—инфинитези–мальное становление; другое здесь и понимание «больше», «меньше» и «равняется», а именно, тут самые эти понятия даны в становлении, в текучести, поэтому и самые операции в анализе бесконечно–малых совсем другие. Как ясно из предыдущего исследования понятия трансфинитного числа и континуума, также и здесь свое собственное понимание этих >, < и =. Поэтому нельзя говорить, что бесконечное больше конечного, если само «больше» в бесконечном и конечном разное.
     
Можно сказать еще и так. Конечное и многочисленные виды бесконечного не есть различие предметное, бытийственное, но — чисто смысловое, а именно, вырази–тельно–смысловое. С точки зрения онтологической предметности о бытии с одинаковым правом можно сказать и что оно конечное, и что оно бесконечное, и что оно континуальное, сплошное. Можно сказать, что существует только конечное, а бесконечность и континуум есть его виды (хотя тут надо было бы проанализировать, что значит «вид»[99] Можно сказать, что существует только бесконечное, а конечное и континуум есть его виды. Можно сказать, что существует только континуум, а конечное и бесконечное есть его виды. Везде тут по–разному придется понимать термин «вид», но, не вникая в подробности, можно с некоторым грубоватым, но вполне реалистическим добродушием сказать, что одно тут «подчинено» другому и что каждая из этих категорий вполне «выводима» из другой. В одном случае «выведение» есть заполнение фона, в другом оно есть выделение и вырезывание на некоем фоне. Но зато уже ни при каком реализме недопустим ни мещанский субъективизм Брауэра и Бэра, ни рационалистическая импотенция Бореля и Лебега. Только «демон» Цермело немного высовывает свою голову из этого мещанского болота мелкого субъективизма, да и тут способен только беспомощно выставить правильный тезис, будучи не в силах претворить его в живую действительность.
     § 73. Аксиома выражения в теории вероятностей.
     
Наконец, необходимо дать не подробную, но все же принципиально определенную установку для дедукции выразительной сферы и в области теории вероятностей. Ограничимся самым необходимым.
     
1. а) Выражение есть внешность, по которой узнается внутреннее. До сих пор (§ 49, 53, 57, 61.4, 62.5, 63.7) мы находили в теории вероятностей только такие категории, о которых нельзя было сказать, внутренние они или внешние. Самое это различие впервые зарождается там, где полагается различие факта и смысла, т. е. на ступени наличного бытия. Дальнейшее уже будет смыслом факта, т. е. чем–то внешним, поскольку и факт есть внешнее в сравнении с тем внутренним, которым теперь оказывается чистый, т. е. до–фактный, смысл. Раньше мы находили в теории вероятностей отдельные операции над вероятностями (§ 62.5) и закон больших чисел (§ 63.7). Необходимо, следовательно, подчинить эти операции и это применение закона больших чисел таким новым преобразованиям, которые бы превратили их в то, что, будучи по существу внутренним, теперь сорганизовалось заново и потому стало внешним.
     
b) Наиболее яркую форму этого теоретико–вероятностного выражения надо находить в учении о законе нормального распределения вероятностей и вообще в теории построения нормальных и уклоняющихся от нормы кривых распределения. Здесь, во–первых, сначала имеются в виду вообще теоретико–вероятностные операции, так как тут наличен целый ряд вероятностей, так или иначе получаемых из опыта или теории, и также — закон больших чисел, потому что здесь ставится вопрос, какою функцией является вероятность, когда по мере возрастания количества событий сглаживаются случайные уклонения отдельных событий от их математических ожиданий. Однако это еще не все. Именно, во–вторых, здесь разыскивается закон распределения вероятностей, т.е. здесь самое исчисление вероятностей является чем–то отвлеченным, внутренним, получающим внешнюю конкретность от нового оформления. Следовательно, и здесь аксиому выражения необходимо формулировать как утверждение тождества внутренно–внешних направлений становления для исчисления вероятностей.
     
Мы не будем анализировать ни предельных теорем Лапласа, А. М. Ляпунова и А. А. Маркова, ни закона (Гаусса) нормального распределения вероятностей, ограничиваясь только их общей диалектической установкой. Но ясно, что тут мы находимся в сфере теоретико–вероятностного выражения[100] — уже по одному тому, что оперируем с кривыми, которые всегда есть выражение в отношении аналитических данных. Но тут, кроме того, исследуется становление вероятностей, определенным образом сконструированное, а именно путем выключения всяких случайных уклонений, т. е. путем выявления чисто смысловой стороны становления. А сконструированное таким смысловым образом становление всегда есть выразительная форма.
     
2. Но в предыдущих параграфах мы констатировали разные диалектические типы выразительной измеримости. Арифметика дала нам разные типы преобразований, которые в геометрии соответствуют разным типам пространства. Если даже и не входить в подробности, то нельзя ли дать хотя бы общую установку для такого понимания вероятности, которое можно было бы назвать неэвклидовским? Да, такая методологическая позиция уже давно намечена в науке, и в настоящее время она обросла солидным математическим аппаратом. Я имею в виду основные факты т. н. волновой механики.
     
В чем тут дело? Придется на минуту отклониться в сторону, чтобы наше утверждение о «неэвклидовости» вероятности стало более или менее понятным[101].
     
a) В истории учения о свете известны две большие теории, связанные с именами Ньютона и Гюйгенса. Ньютона считают создателем корпускулярной теории света, по которой светящееся тело испускает из себя частицы, движущиеся в пустом пространстве наподобие самых обыкновенных материальных частиц, т. е. прямолинейно и равномерно, если отсутствует влияние всякой посторонней силы. Эта теория довольно удачно объясняла явления отражения и преломления, но она оказалась совершенно непригодной для объяснения интерференции и дифракции. Волновая теория, основателем которой считают Гюйгенса, рассматривала скорость света как волновую скорость. Работы Физо и Френеля, казалось, окончательно утвердили господство волновой теории. Знаменитая электромагнитная теория света у Максвелла вполне стояла на точке зрения светового эфира Пойгенса, механические колебания которого и понимались как свет.
     
b) Однако эта теория наткнулась на большое препятствие, создавшееся благодаря формулированному в 1905 г. «принципу относительности». Если кратко сказать, то этот знаменитый принцип основывается на такой последовательности идей. 1) Исходный пункт: отрицается абсолютность, т. е. повсеместная однородность и неподвижность пространства. 2) Отсюда вытекает невозможность ориентировать абсолютное движение относительно пространства, т. е. невозможность вообще определить абсолютное движение. Получается, что можно говорить только об относительном движении. 3) Но это значит, что невозможно судить и о тех абсолютных изменениях скорости света, которые она претерпевает в связи с прохождением света через те или иные подвижные системы. Скорость света признается всегда постоянной, так что есть как бы некая математическая бесконечность, которая не увеличивается и не уменьшается от прибавления или отнимания никаких конечных количеств. Это подтвердилось и экспериментально (опыты Майкельсона, Морли и др.). 4) Постоянство скорости света вместе с ориентацией на нее всех реальных скоростей приводит к учению о сокращении тел в направлении движения с точки зрения неподвижной системы, причем это сокращение выражается простейшим образом с помощью т. н. Лоренцовых преобразований. 5) Геометрическое толкование этих процессов приводит к выводу за пределы Эвклидового пространства, так как вытекающая отсюда кривизна пространства уже не может равняться нулю. 6) Получающееся пространство по этому самому уже не вмещается в обычные три измерения, и обычные трехмерные векторные величины становятся четырехмерными векторами, причем четвертое измерение может быть рассматриваемо как результат движения, т. е. времени.
     
Вот эта–то релятивистская теория света и оказалась несовместимой с ньютоновским механическим атомизмом (хотя старые уравнения электромагнитной теории вполне совместимы с постоянством скорости света).
     
с) Но корпускулярная теория Ньютона в эти же самые годы получила неожиданное подкрепление, которое, впрочем, фактически еще дальше уводило от Ньютона к сближению с волновой теорией, но уже в новом понимании. Это подкрепление было создано квантовой теорией. Незадолго до работы Эйнштейна 1905 г. Планк, желая объяснить распределение интенсивности в спектре теплового излучения, предположил, что атом и испускает, и поглощает лучистую энергию скачкообразно, т. е. отдельными порциями, или квантами, энергии. При этом оказалось, что квант энергии связан с частотой колебания излучения, и связан очень определенным образом, а именно
     
e = h • ν,
     
где ν—частота колебания, a h — 6,55 · 10~27 эрг. сек., величина постоянная.
     
Хотя сам Планк мыслил это свое открытие вполне в рамках старой электромагнитной волновой теории, Эйнштейн пошел гораздо дальше. В самом деле, если испускание световых квантов (их потом стали называть фотонами) совершается одинаково в любой координатной системе, то скорость их всегда равна скорости света, с = 3 1010 см/сек., а если эта скорость уменьшается, то они должны просто уничтожаться. Это и случается, когда фотон поглощается материальным атомом. Он не присоединяется механически к атому, как это мыслил Ньютон, а как бы размывает его и размывается сам. И кванты, по этому воззрению, не распространяются сферическими волнами, а двигаются с собственной энергией и количеством движения (в виде пространственно–временной проекции четырехмерного вектора того и другого) как некоторые математические точки, сообщая атому в случае своего поглощения последним и свою энергию, и количество движения. В дальнейшем такие факты, как фотоэлектрический эффект или эффект Комп–тона, дали замечательное подтверждение идеям Эйнштейна. И в результате получилась необходимость признать сразу и волновую, и корпускулярную точки зрения на свет, который в одних случаях проявляется как монохроматические волны с определенной частотой колебания, а в других — как однородное корпускулярное излучение с энергией кванта ε = Αν (где h — планковская постоянная). Фотон имеет определенное направление движения, но это направление совпадает с направлением световых волн.
     
К этому можно присоединить и чисто количественное взаимоотношение результатов корпускулярного и волнового аспекта. С корпускулярной точки зрения интенсивность света есть количество частиц, проходящих в единицу времени через единицу площади, перпендикулярной к направлению световых лучей. В волновом же отношении она есть квадрат амплитуды колебаний в данной точке
     
N = ¥
     
С первой точки зрения число частиц, пересекающих в единицу времени единицу площади, равно произведению N на скорость света с, которое есть плотность тока частиц, характеризуемое как трехмерный или (с присоединением четвертой проекции времени) четырехмерный вектор и (после перемножения слагающих четырехмерных векторов, т. е. с получением 16 величин) четырехмерный тензор. Но мы можем перемножать слагаемые электрического и магнитного поля и тоже получим 16 величин, образующих свой тензор энергии. Последний будет вполне аналогичен тензору корпускулярной теории.
     
d) Таким образом, мы приходим к теории, которая сразу является и корпускулярной, и волновой, — другими словами, теорией сразу и прерывности, и непрерывности. В 1924 г. французский физик Луи де Бройль применил эту двойную точку зрения к самой материи (т. е. к электронам и протонам), которая с тех пор тоже рассматривается теперь как корпускулярно–волновая структура. Эта структура не сразу была формулирована как вполне оригинальная. Еще де Бройль думал свести «частицы» к «волнам» в том смысле, что каждая отдельная частица трактовалась как резкий[102] максимум амплитуды той или иной волновой системы. Однако оказалось, что эти «волновые пакеты» (как их назвал Шредингер) совершенно не объясняют индивидуальных[103] электронов в явлениях дифракции и интерференции, хотя скорость частиц и совпадает с групповой скоростью и со скоростью волновых пакетов. Как раньше ньютоновская корпускулярная теория не смогла объяснить[104] явлений дифракции и интерференции, так и теперь пришлось отказаться от прямолинейного движения частиц по природе и признать, что движение это зависит от системы волн, сопровождающих эти частицы. Значит, необходимым оказывается и существование «волн», и существование «частиц», одно никак несводимо на другое. Но тогда как можно было бы приблизиться к пониманию и к охвату этого параллелизма или дуализма?
     
Тут–то мы и встречаемся с новым пониманием вероятности.
     
3. В самые последние годы господствует такая схема в волновой механике. Интенсивность света определяется числом частиц. Чем более интенсивны волны, тем оказывается большее количество частиц, и, чем они слабее, тем частиц меньше. Пусть мы имеем отдельный электрон. Ясно, что, чем интенсивнее волна, тем более вероятность появления электрона в данном месте. Вероятность эта, очевидно, пропорциональна интенсивности волны в данной точке. Имея упомянутую выше непрерывную волновую функцию \|/2, нетрудно определить среднее, или вероятное, число частиц в данном объеме, — стоит только взять произведение этой функции на объем, ψο Δυ. Это произведение есть не что иное, как мера вероятности нахождения одной из частиц в элементе объема Δυ, а ψ о есть мера плотности вероятности для нахождения частицы в данной точке пространства. Это толкование взаимоотношения волн и частиц как соотношения вероятности было введено Борном. И такое представление вполне удовлетворительно связывает волновую и корпускулярную точки зрения, остающиеся при всяком ином подходе очень трудно соединимыми.
     
Здесь удобнее всего видеть все различие новой волновой механики от старой классической. Когда требовалось определить положение частицы в старой механике, брали некое начальное положение частицы и ее скорость в этот момент, а затем интегрировали ньютоновские уравнения движения и получали нужные координаты положения (как функции времени). В новой же волновой механике мы находим не точное положение частицы, а только вероятность того, что она будет иметь это положение в данный момент времени. А так как вероятность эта измеряется квадратом амплитуды волн, связанных с частицей, то мы тут находим, в сущности, только закон распространения этих волн, или волновую функцию ψ, в зависимости от трех пространственных координат и еще от времени.
     
Такое положение дела еще более заостряется, если мы примем во внимание т. н. соотношение неопределенности, формулированное Гейзенбергом. Пусть мы точно определили скорость частицы. Если так, то ведь сделать это могли только при помощи установления системы плоских гармонических волн с одной и той же амплитудой во всем пространстве. Но это значит только то, что положение нашей частицы оказалось совершенно неопределенным. Пусть мы точно зафиксировали положение частицы. Это можно сделать только путем сведения протяжения волнового пакета к нулю. А это значит, что скорость нашей частицы оказалась совершенно неопределенной, так как при этом условии одинаково вероятны все значения и направления скорости. Чем точнее определяется скорость, тем расплывчатее оказывается положение; и, чем точнее положение частицы, тем неопределеннее оказывается ее скорость.
     
Это соотношение нельзя толковать как печальную необходимость наблюдателя ограничиваться слишком несовершенными способами при измерении столь малых расстояний. Тут нет ни малейшего субъективизма. Тут — объективная картина той неопределенности, которая царит на изучаемом участке реального бытия. И это, собственно говоря, есть не столько неопределенность, сколько отсутствие детерминизма и механи[ци]зма. Ньютоновская механика предполагает механистический детерминизм бытия. Здесь абсолютно точно вычисляется наперед и положение частицы в зависимости от скорости и пройденного пути, и скорость в зависимости от достигнутого положения. Волновая механика в этом смысле индетерминистична: она оставляет «свободу» самоопределения частицам, откуда и вытекает столь большое значение идеи вероятности, связующей частицы и волны в одну цельную картину. Раньше думали, что электрон — это определенный индивидуальный электрический заряд, т. е. прерывистый заряд, связанный с той или иной орбитой. Теперь же оказалось, что электроны представляют собою непрерывное распределение заряда с плотностью, пропорциональной интенсивности волн (вышеуказанной величине \|/2). Атом как бы размазан, расплывается по «пространству», причем само это «пространство», по–видимому, надо считать впервые только еще образующимся, а не существующим заранее наподобие абсолютной однородности эвклидовского пространства. В сложных атомах эти волны образуют многомерное пространство. Но это последнее тут вовсе не фикция, раз оно определенным образом характеризует процессы трехмерного пространства.
     
4. Разумеется, набросанные только что мысли о «не–эвклидовской» вероятности нисколько не могут претендовать на обстоятельность и полную ясность, так как это относится к специальной науке, теоретической физике, которая как раз теперь переживает небывалый кризис, требующий разъяснения самых первичных основ знания[105]. Но вышенабросанные мысли претендуют на то, чтобы дать аксиоматическую установку на определенный участок математической мысли; и такая необычная вещь, как соединение идеи вероятности с разнородным пространством, осталась бы слишком отвлеченной, если бы мы не указали соответственного физического аналога. С этой точки зрения уже имела бы значение простая ссылка на волновую механику, а не только попытка кратко формулировать относящийся сюда феномен.
     
Сообщение идеи вероятности с разными типами пространства имеет для нас исключительно важное значение еще и потому, что вероятность, относясь к бытию модальному, есть бытие максимально конкретное. Его мы выше (§ 9) характеризовали как бытие историческое, ибо в нем учитывается его самопроизвольность, которой совершенно нет в других типах числового бытия. Но с другой стороны, если брать геометрию, то ни топология, ни проективная геометрия, ни аффинная не есть полнота определений пространства. Только метрическое пространство дает наглядную физиономию пространственной фигуры; но метрика эта бывает разная, и эвклидовская метрика — наиболее бедная и бессодержательная. Вот почему идея вероятности в соединении с неэвклидовскими математическими точками зрения есть максимально конкретная позиция в математике вообще; и открывающееся здесь выразительное бытие числа обладает и наивысшей свободой самоопределения, и самыми богатыми физиономическими возможностями.
     
Тут—естественный конец аксиоматики.
     f) ОБЩЕЕ ЗАКЛЮЧЕНИЕ § 74. Итог аксиоматики.
     
1. Мы проделали большую работу. Обозреть всю диалектическую судьбу числа как суждения—это значит построить огромную диалектическую систему; и кому хоть что–нибудь неясно в этой системе, тот должен затратить всякие усилия для достижения ясности, ибо, кто не обладает последней ясностью в диалектике аксиом, тот не сумеет разобраться ни в чем последующем. Правда, ясность мысли и ясность слова — совершенно разные вещи, и они часто не совпадают. Автор настоящего исследования имеет такие диалектические мысли, которые кажутся ему предельно ясными, но он не может этого сказать решительно о всяком своем слове, так как воплощение сложных диалектических построений в словах всегда означает напряженнейшую борьбу с человеческим языком, который упорно и даже отчаянно сопротивляется, когда его заставляют выражать что–нибудь отвлеченное. Поэтому надо еще раз обозреть всю нашу диалектическую аксиоматику, минуя детали, но лишь соблюдая единство картины, чтобы добиться и в словах той абсолютной ясности, которая присуща прочно продуманной мысли.
     
2. Аксиоматика (и вообще всякая диалектика) основана на последовательном созревании категорий. Если уловлена эта последовательность, значит, уловлено все. Но всякая последовательность содержит в себе какое–то начало, какой–то закон развития и какой–то конец. Уловивши эти моменты, мы улавливаем и всю последовательность.
     
Итак, аксиоматика предполагает какое–то начало. Что это за начало? Начало должно быть максимально просто, максимально несложно. Дойдя до последней простоты, мы доходим до подлинного перво–принципа. Что же это за нерво–принцип в математическом суждении? Что такое то, проще чего не может быть [ничего] ни в каком математическом суждении? Если мы возьмем арифметику, то таким абсолютно простым началом всякого суждения будет, очевидно, единица. Нет ничего проще единицы. В геометрии таковым перво–принципом является точка, ибо в пространстве нет ничего проще точки. В теории множеств таковым перво–принципом необходимо считать элемент, который от единицы отличается идеей порядка, а от точки — идеей чисто количественной осмысленности. Наконец, теоретико–вероятностным перво–принципом является модальное отношение, или событие, рассмотренное в свете модального отношения; это и есть вероятность.
     
Таково начало аксиом в различных математических науках. Едва ли можно спорить об этом; во всяком случае о единице и точке не может быть никаких сомнений. Перво–принцип вообще есть абсолютно простейшее во всякой данной области. Число, взятое в своей последней простоте и свободе от всего иного, есть перво–принцип всей математики, подобно тому, как чистое полагание есть перво–принцип самого числа. Но вот мы переходим к первым определениям числа, т. е. рассматриваем число как суждение, раскрывающее существенные свойства тела и тем его определяющее; другими словами, вот мы переходим к отдельным математическим наукам. И наш общий перво–принцип, число, превращается в целый ряд конкретных, специфических перво–принципов.
     
Это и есть единица, точка, элемент и ее бытие (модальное отношение).
     
3. а) Итак, мы знаем начало нашей аксиоматики. Теперь посмотрим, где же ее конец. Если начало — максимально просто, то конец, как последняя зрелость, максимально сложен. Какая только может быть сложность наших перво–принципов, она тут должна быть, если мы охватим всю их судьбу целиком. Но нельзя ли более точно описать этот максимально зрелый конец аксиоматического перво–принципа? Ведь «максимальная сложность» характеризует этот предмет слишком формально, т. е. слишком пусто. Диалектик ясно ощущает границу и предел этой зрелости и сложности. А именно, он наблюдает развитие своего предмета до той степени сложности, пока последний остается самим собою. Если наступает усложнение предмета, переходящее в его распадение, — тут предел интересующей нас сложности. Но когда вещь распадается? Она распадается тогда, когда отдельные ее части становятся абсолютно чуждыми одна другой, когда они абсолютно иные одна другой, и иные не по смыслу просто (в таком виде они еще входили в цельную вещь и нисколько не разрушали ее цельности), но иные по своей субстанции. [Это] значит, что распадение есть вмещение в себя своего субстанциального инобытия. Итак, признаком последней допустимой сложности предмета является вмещение им в себя своего смыслового (а не просто субстанциального) инобытия. Вмещение дальнейшего инобытия будет уже разрушением и переходом в иную предметность.
     
b) Возьмем арифметический перво–принцип, единицу. Поскольку она есть максимальная простота, мы можем добиться здесь максимальной сложности только путем того или иного комбинирования единиц. Это комбинирование может быть каким угодно, лишь бы только сохранялось выставленное только что условие, т. е. лишь бы только получаемый отсюда результат сохранял в себе непосредственное значение всех вошедших в него единиц, с ясным обнаружением самого закона комбинирования. Покамест соблюдается это условие, мы никогда не разрушим и не отбросим ни одной единицы, с которой происходит та или иная операция. Мы можем взять систему единиц: получится самое обыкновенное арифметическое число, не нарушаемое никакими инобытийно-субстанциальными привхождениями, ни как целое, ни как составленное из отдельных единиц. Мы можем взять систему систем единиц: получатся те или иные ряды чисел с теми или иными законами структуры этих рядов, но все входящие сюда единицы будут как на ладони, будут в своем непосредственно–очевидном бытии, и никакая внешняя сила не раздробит получающегося здесь сложного единства. Мы можем взять систему этой системы систем, потом систему полученной таким образом сложной системы, и т. д. и т. д., и — мы нигде не найдем уничтожения, отпадения тех или иных единиц, нигде наши единицы не перейдут в нечто такое, что уже потеряло смысл непосредственной очевидности и стало инородным телом в полученной совокупности.
     
с) То же самое мы можем сказать о точках в геометрии, об элементах в теории множеств и модальном отношении в теории вероятностей. Везде тут перед нами одна и та же максимально допустимая сложность— это система систем преобразований первоначального элемента. Если мы говорим о системе, значит, дается некоторый закономерный переход от первоначального элемента ко всякому другому. И если мы говорим о системе систем, то, значит, дается закономерное строение всего результата, полученного из единицы, точки, элемента и вероятности, и притом независимо от количества и последовательности видов систематизирования. При сохранении этих условий мы получаем допустимую максимальную сложность, до которой может доходить аксиоматика. Единица, точка и пр. — непосредственно данная и очевидная простота. Такая же непосредственно данная и очевидная простота должна сохраняться и в любом комбинировании этих единиц и точек. Пусть мы, напр., имеем то, что называется в теории чисел модулем или в высшей арифметике и алгебре числовым кольцом или полем. Какую бы структуру это кольцо, или поле, ни имело, мы, хотя, быть может, по ограниченности памяти и внимания и не сумели обозреть его целиком, все же принципиально можем увидеть и ощупать любой элемент, входящий сюда. Поэтому кольцо, или поле, какая бы сложность здесь ни была, принципиально сохраняет в себе непосредственную простоту и очевидность, которую легко реализовать в любом пункте системы. Это и значит, что здесь у нас допустимая степень усложнения первоначального элемента.
     
Итак: аксиоматика движется от той абсолютной простоты, которая есть в простом акте полагания (единица, точка, элемент и событие), до системы систем этих полаганий. Можно применить сюда термин, много раз употреблявшийся у нас в предыдущем, беря его в расширенном значении, а именно, понимая его исключительно в смысле нашей выразительной формы. Это понятие метризации. Пусть у нас будет метризованная система единиц (чисел), — напр., метризованное поле; пусть будет метризованное пространство, метризованное множество, метризованная вероятность. Это предел, дальше которого мы уже покидаем самое учение о единицах, точках и т. д. и переходим к тому, что хотя его и предполагает, но является уже совсем иным.
     
d) В этом рассуждении мы не воспользовались диалектическими схемами. И многие думают, что так оно и проще, и яснее. Однако философу ясно совсем не то, что ясно обыденному сознанию. Указанное только что начало и конец аксиоматики необходимо зафиксировать диалектически. Этого делать здесь не следует после стольких разъяснений в предыдущем изложении. Но в виде кратчайшего резюме можно сказать, что начало этого пути — акт полагания, внутри не дифференцированный, т. е. чистое полагание без категории различия внутри себя, а значит, и без всяких других категорий, конец же этого пути — акт полагания, внутри расчлененный и вовне явившийся как таковой. Сначала это просто акт полагания, в котором не положена еще пока ни одна логическая категория, а все категории, необходимые для его мыслимости, находятся вне его, мыслимы кем–то другим. В конце же это такой акт полагания, в котором положены и все категории, необходимые для его мыслимости, так что он предстал здесь вместо изначального безразличия, как определенная внутренне–внешняя структура.
     
Таковы эти начало и конец пути. И других начал и концов невозможно и мыслить. Везде мы находимся здесь между абсолютной простотой и ясно созревшей структурой; при этом простота — там, где нет различий, а структура — там, где эти различия есть и где, кроме того, есть, хотя бы принципиально, различие этих различий, т. е. качественное разнообразие их закономерности. Это так везде, так и в аксиоматике.
     
4. а) Чем же теперь заполнен этот аксиоматический путь? Его тоже можно было бы сначала описать чисто фактически, не вникая во всю сложность диалектических связей. Однако господствующие здесь предрассудки так велики, что никакое простое описание без всего потребного здесь логического аппарата никем не примется здесь на веру. Можно было бы, напр., исходить из чисто геометрической аналогии. Всякому ясно, что если вместо одной точки мы возьмем две различных точки, то тем самым мы получим какую–то линию, и прежде всего прямую, и даже определенный ее отрезок. Всякому ясно, что если вместо двух точек взять три различные точки не на одной прямой, то мы получим плоскость. Далее мы также получим тело (в связи с тремя измерениями) и разные структуры телесности (в связи с большим числом измерений). Однако не всякому ясно, что перейти от точки к прямой — это значит затратить[106] категорию самотождественного различия, и если невозможно отрицать, что для прямой необходимы по крайней мере две различных точки, то большинство, конечно, не поймет, как это они должны отождествляться, хотя и абсолютно очевидно[107], что между концами отрезка нет ровно никакого перерыва.
     
Следовательно, даже аналогия с геометрией ничего не скажет тому, кто глух к диалектике. А между тем логическое назревание категорий происходит как раз в том смысле, в каком назревает геометрическая фигура по мере перехода точки к образованиям с тем или иным числом измерений. В диалектике мы проходим ровно такие же этапы логического развития, как и в эволюции геометрической фигуры от точки до многомерного образования. Здесь действуют те же самые основные категории, создающие возможность мыслить ту или иную структуру. Ясно, что можно всячески подходить к этим вехам диалектического развития, но от этого подхода они нисколько не меняются. Мы можем, напр., описать этот путь при помощи диалектических триад, тетрад, пентад и пр.; можем сделать это даже при помощи диад, — напр., просто противопоставляя одну категорию другой, как прямая противополагается точке, плоскость — прямой и т. д. Можно и совсем отбросить всякую диалектическую манеру выражаться; и от этого сама диалектика, залегающая в основе математического бытия, конечно, нисколько не пострадает. Но мы изберем наиболее педантический, но зато наиболее простой и очевидный путь. Это путь триад.
     
b) Очень ясно этот путь аксиоматики от начала к концу рисуется при помощи триад так. Что такое система первоначальных элементов, пояснения не требует. Будем считать такую систему за исходный пункт аксиоматической диалектики. Тогда ее отрицанием, или инобытием, окажется ее переход в новую форму при помощи тех или иных преобразований. Этим инобытием и будут самые преобразования. Но полученный после этих преобразований результат есть тоже некоторая система. Этим самым мы отрицаем наше отрицание и возвращаемся к тезису, т. е. совершаем обычный диалектический переход. Получается система систем—диалектический синтез. В арифметике системой актов полагания будет само число, но — уже готовое и сформированное, цельное арифметическое число. В геометрии это есть фигура, в теории множеств — тип и в теории вероятностей — исчисленная вероятность. Этот общий аксиоматический тезис можно также назвать и совокупностью. В антитезисе мы получим разного рода преобразования, и прежде всего то, что называется действиями, или операциями. И в синтезе — метризованную систему, или совокупность, или же систему систем, дающую, смотря по характеру математической области, ту или иную метрическую систему чисел, пространства, множества и вероятностей.
     
c) В каждой из этих трех областей диалектической аксиоматики можно проводить дальнейшие триады, как это видно из прилагаемой общей таблицы. Но надо не терять из виду общую структуру основных суждений о математическом предмете, именуемых аксиомами, а эта структура создается неизменно через самоироти–вополагание первоначальных элементов и их самоотождествление, путем перехода от простейшего к сложнейшему.
     
Так из единого перво–принципного корня вырастает все диалектическое дерево математической аксиоматики.
    
    
     
      
IV. ФУНКЦИЯ И СОСЕДНИЕ КАТЕГОРИИ (ЧИСЛО КАК СУЖДЕНИЕ, УМОЗАКЛЮЧЕНИЕ, ДОКАЗАТЕЛbСТВО И ВЫРАЖЕНИЕ)
     
     § 75. |Суждение и определение].
     
В предыдущем мы рассмотрели число как перво–прин–цип (отграничивши его от всего, что не есть число), число как принцип, или как понятие (раскрывши его диалектическую структуру), и число как суждение (установивши все основоположения, вытекающие из его структуры как категориальной). Из общей логики, да также из элементарного рассуждения мы знаем, однако, что суждение — отнюдь не последняя логическая форма, что дальше, в порядке усложнения, следует т. н. умозаключение, а после этого умозаключения еще по крайней мере одна структура, это доказательство — индуктивное, дедуктивное и синтетическое. Так как мы преследуем цели логической системы, то невозможно обойти молчанием число как умозаключение и число [как] доказательство.
     
[1 ]. Здесь, однако, полезно вспомнить первые общедиалектические категории, которые являлись и еще много раз будут являться для нас руководящей нитью для нашей системы. Именно, припомним, что бытие, истекающее из перво–бытия и противостоящее инобытию, синтезируется с ним в становление, а становление, противополагаясь и синтезируясь со своим собственным инобытием, порождает ставшее или наличное бытие, факт и в дальнейшем — выражение, энергийно–смысловое выражение. Эта элементарная диалектическая структура должна быть проведена и в отношении всего понятия числа еще до перехода к конкретно–математическим наукам. До сих пор, как сказано, мы разбирали только три первых момента этой структуры— перво–принцип, понятие, и суждение. Что же такое тут будет умозаключение, если его понимать как переход от смыслового становления к смысловому ставшему? Здесь нужны, однако, предварительные разъяснения и условия.
     
Чем, в сущности, занималась аксиоматика и что такое аксиома? До сих пор мы попросту говорили, что числу, как суждению, соответствует аксиома. Сейчас же этот вопрос необходимо расчленить, так как иначе не будет понятен переход к умозаключению.
     
Именно, суждение есть, как мы знаем, положенное понятие. Положить, или утвердить, — это значит обвести границей, определить. Строго говоря, в том, что мы до сих пор называли суждением, самым важным был именно этот момент определения. Аксиома, строго говоря, и есть не столько суждение вообще, сколько именно определение. Ведь бытие и инобытие, синтезируясь в становление, дают еще более ранний синтез, т. е. предшествующий становлению и являющийся его предусловием, это сама граница, определенность, определенное бытие. Мы знаем, что тот и другой синтез могут выдвигаться по мере надобности. Так вот, говоря о суждении, дедуцируя аксиоматику, мы еще не имели нужды в том расчленении и могли говорить о суждении, не обращая особенного внимания на то, есть ли это действительно суждение вообще или это специально определение.
     
Суждение отличается от определения так, как становление отличается от определенного бытия. В определении суждение есть положенное понятие плюс его исчерпывающее раскрытие; т. е. иоложенность не вообще понятия, но понятия во всем его смысловом содержании. Определить что–нибудь — это и значит исчерпать все его «признаки». Для суждения же этого вовсе не требуется. Суждение дает только голую положенность понятия — независимо от раскрытия и исчерпания всего его содержания. Содержание остается нераскрытым; содержание мыслится — каким угодно становящимся, и акт нолагания нонятия[108] скользит но этому полю инобытия — как угодно далеко. Если говорится: «Иван спит», то ведь таких предицирова–ний может быть сколько угодно, и тут не ставится никаких целей исчерпания того смыслового содержания, которое зафиксировано в слове «Иван».
     
Итак, если иметь в виду определенность положенного понятия, то мы получаем не суждение вообще, но определение. А если иметь в виду главным образом чистую положенность понятия, то мы получаем суждение.
     
2. Однако и тут вполне позволительна и даже совершенно необходима еще одна дистинкция. Кроме поло–женности, адекватно исчерпывающей полагаемое, и положенное как простого факта полагания, как пустой и голой положенности, возможна еще та или другая степень наполнения[109] положенности. Положенность может давать и не голый факт полагания, и [не] все полагаемое содержание целиком, а только некоторое содержание, частичное содержание. В таком случае необходимо расчленить и соответствующие математические понятия. Голая положенность понятия (т. е. в нашем случае числа) даст, очевидно, некую модификацию числа, а так как полагание в данном диалектическом месте есть полагание становления, становящееся полагание, то голая положенность числа приведет к становлению из прежнего, полагаемого числа в новое, модифицированное число. Такой непосредственный переход от одного непосредственно значимого числа к другому непосредственно значимому числу есть действие, операция (напр., сложение, умножение, дифференцирование и пр.). Та или другая степень наполнения этих операций и новое осмысление их через операционно выставленное понятие даст уже не просто самые операции, но их предназначенность для какой–нибудь специальной числовой установки. Это и будет теорема. Таким образом, математическая операх\ия есть число, данное в своем чистом становлении из одного числа другим, или просто чистое становление одного числа другим; другими словами — это числовое понятие (число), данное как чистое становление. Математическая же теорема есть число, данное в своем заполненном становлении из одного другим, или, проще, заполненное становление одного числа другим; это числовое понятие (число), данное как заполненное[110] становление. Тогда аксиома—это число, данное [кшс] самоадекватная определенность; это числовое понятие (число), данное как определенность числа.
     
Ясно, что выставленные в предыдущем исследовании аксиомы суть именно определения, а не суждения вообще. Суждение более ослабленно, чем определение; оно — час–тичнее и неопределеннее. Суждению в математике соответствуют не аксиомы, а более частные положения, менее общие. Сюда относятся все математические операции со всеми соответствующими теоремами — все то, что выводится из аксиом как их более частный случай.
     
Но здесь возможно еще одно членение, так как ставшее становление можно взять и со всем тем, что именно участвует в этом ставшем становлении, можно взять и как голый факт ставшести. И вот тогда–то мы переходим к умозаключению и к новому математическому понятию, к функции.
     § 76. Понятие функции[111].
     
1. Как суждение относится к определению, так умозаключение относится к суждению. Все же это есть повторение того, как суждение относится к понятию и как, наконец, понятие — к своему перво–принципу. Везде тут главным условием появления новой категории является акт полагания предыдущей категории. Перво–принцип полагает себя — образуется понятие, поскольку последнее есть совокупность признаков (т. е. некая определенность, т. е. ограниченность, т. е. положенность) и исчерпание, различение того, что само по себе неразличимо. Понятие полагает себя — образуется определение, в котором подчеркнута эта его исчерпанность. Определение полагает себя — образуется переход к становящемуся перечислению признаков, или суждение. Суждение образует себя — образуется умозаключение.
     
2. Когда высказывается: «Все идеалисты — контрреволюционеры», то это значит, что на общем фоне контрреволюции полагается понятие идеализма; отсюда это суждение об идеалистах. Сначала было положено понятие контрреволюции, и из этого получилось отграничение· контрреволюции ото всего другого, и тем самым в проведенных границах образовалась возможность появления отдельных видов контрреволюции. Тут могли быть архиереи, проститутки, кантианцы, фабриканты, содержатели притонов и пр. и пр. Мы совершаем некий определенный акт полагания в этой общей, но строго отграниченной области и получаем специальный вид контрреволюции — идеализм. Но пусть теперь мы положим не понятие, а некое содержание, — напр. суждение «все идеалисты — контрреволюционеры». Это значит, что мы очертили, отграничили новую область* которая благодаря именно своей огграни–ченности оказывается склонной к дроблению, к дальнейшему выявлению деталей. Среди идеалистов могут оказаться Деборины, Лупполы, Лосевы и т. д. Если мы совершим какой–нибудь акт полагания уже в этой только что отграниченной области, то это сейчас же приведет нас не к суждению (которое мы уже имели), но к совершенно иному логическому построению, к умозаключению. И мы получим:
     
Все идеалисты — контрреволюционеры.
     
[Лосев ] — идеалист.
     
[Лосев ] — контрреволюционер.
     
В умозаключении (так же, как и относительно суждения) возможна большая расчлененность. Суждение может быть взято как исчерпанность всего смыслового содержания полагаемого понятия; тогда это не суждение, а определение. В первоначальной диалектической конструкции этому соответствует не становление вместе с тем, что именно участвует в становлении, но чистое становление, чистые акты полагания (независимо от полноты или неполноты полагаемого содержания). Точно так же и умозаключение. Оно может быть взято вместе со всем своим конкретным содержанием и может быть взято чисто инобытийно, просто как формальная объединен–ность двух или ряда суждений, просто как вообще положенность суждения. Этому будет соответствовать в первом случае ставшее вместе с тем, что именно тут «стало»; и во втором — чисто ставшее, чистый факт перехода от одного суждения к другому (независимо от того, каково именно смысловое содержание фиксируемой ставшести).
     
Если перво–принципу соответствует числовой перво–принцип, неразличимое перво–число, принципу (или понятию)— категориальная структура числа, определению — аксиоматика, суждению — отдельная математическая операция, определенному умозаключению — теорема вместе со своим доказательством, то чистому, голому умозаключению, из которого исключено все смысловое содержание и в котором оставлена только формальная последовательность суждений или актов полагания, этому умозаключению соответствует в математике понятие функции.
     
3. Когда мы пишем в математике
     
[y = f (x)] —
     
что мы имеем в виду? Мы просто имеем в виду, что с χ производится ряд действий. Пусть у = 3х2 + 5. Это значит, что мы возводим χ в квадрат, умножаем его на 3 и к этому прибавляем еще 5. Совокупность всех этих действий с χ и есть функция х. Но нужно ли для этого знать количественное значение χΊ Это совершенно не необходимо. Когда мы говорим, что у есть функция χ, то этим мы как раз хотим сказать, что независимо от количественного значения χ [величина] у именно вот таким, а не иным образом зависит от х. Функция и есть эта зависимость между у их, рассматриваемая совершенно без всякого учета их количественного содержания.
     
Ясно, что это та же картина, что и в чистом умозаключении. Беря чистое умозаключение, мы оперируем только с формальной последовательностью суждений; и так как в диалектическом смысле суждение есть становящееся полагание, то умозаключение как объединенность разных становлений есть, очевидно, не само становление, но его результат, т. е. не становление, а ставшее или, как еще иначе называют в диалектике эту категорию, наличное бытие. Это акт полагания как ставшее. Если бы мы имели в виду все смысловое содержание данного акта полагания, то нам пришлось бы выставить много разных суждений и, точно соблюдая их последовательность, дать такой вывод, который в точности бы соответствовал исходному акту полагания. Тогда это было бы доказательством исходного положения. Таково доказательство любой математической теоремы. Но мы тут отвлекаемся от смыслового содержания данного положения, и его законченное доказательство рассыпается на ряд отдельных умозаключений.' Это и суть не [что] иное, как отдельные функции.
     
В функции д> = Зх2 + 5 мы задачей имеем такие умозаключения:
     
1) у зависит от χ,
     
но χ тут взят как х2. След., у зависит от х2,
     
2) у зависит от л:2,
     
но х2 взят тут как Зл:2. След., у зависит от Зл:2;
     
3) у зависит от Зл:2,
     
но Зл:2 взято здесь как Зх2 + 5. След., у зависит от Зл:2 + 5.
     
Это наглядно показывает нам, что логическая сущность функции есть умозаключение. Функция есть строгое инобытие числа, и, вернее, не числа, а числовой операции. Само число — непосредственно; числовое, т. е. арифметически–числовое, бытие есть непосредственная числовая значимость. Числовая операция есть также бытие непосредственное. Таков натуральный ряд чисел и все арифметические числа вообще, таковы и все арифметические операции. Когда мы говорим «2» или «10» или «3 + 5» или <ά> и пр., мы оперируем с непосредственным бытием, с непосредственной числовой значимостью. Когда же мы переходим к функции, то как раз эта непосредственная числовая значимость и пропадает. Число превращается в то, о чем ровно никакого суждения не высказывается в смысле непосредственной значимости, превращается в то, что может иметь такое <…> непосредственное значение, в х; и все действия, которые над этим χ производятся, суть действия опосредствованные, т. е. без всякого числового результата. Потому и действия эти, будучи сами по себе тоже бытием непосредственным (если их брать самостоятельно), становятся здесь характеристикой опосредствованной значимости бытия, чем–то в глубочайшем смысле инобытийным в отношении числа и числовых операций. Это судьба чисел в инобытии, взятая без всяких чисел; голая фактическая (потому здесь — «ставшее») положенность числа и его операций — без непосредственной данности самих чисел.
     
Итак, совершенно точно нужно сказать, что функция есть число, взятое как чистое умозаключение вне всякой непосредственной значимости того, что участвует в дан–ном умозаключении. Непосредственная же значимость числа, данная как заполненное определенным содержанием умозаключение, есть уже не функция, а доказанная теорема.
     § 77. Функционал и алгоритм (уравнение).
     
1. С диалектической необходимостью мы приходим наконец и к выразительному числу, к выражению, вернее, к числу как выражению. Если понятию соответствует натуральная структура числа[112], определению—аксиома, суждению—действие и теорема, умозаключению — функция и доказательство^ то что же соответствует последней категории из принятых нами основных — выражению?
     
Выражение отличается от абстрактного смыслового содержания тем, что оно есть не мыслимое только, но еще и понимаемое. Понимать — значит отождествлять свое сознание с предметом настолько, что и он целиком реализуется в сознании со всеми своими логическими и алогическими связями. Это, однако, совсем не значит только мыслить. Предмет понимаемый как бы заново перекрывается смысловым слоем, которого не было в нем, когда он брался на стадии только мыслимого, т. е. абстрактного. Понимаемый предмет несет на себе печать того, кто его понимает, хотя это не есть что–нибудь ему чуждое; это только нечто такое, что выделено в нем, новая группировка его элементов. А это все одинаково реально, как и общий отвлеченный смысл. Выражение и есть предметный коррелят понимания. Выражение есть соотнесенность чистого смысла с его инобытием, но смысла не специального, не того или иного (ибо иначе возможно получение какой–нибудь еще до–выразительной категории, напр. становления или ставшего), но инобытие окончательно сформированного и осуществленного смысла, т. е. смысла, прошедшего и через становление, и через ставшее. Тогда, беря этот «ставший» факт смысла и соотнося заново с его инобытием, т. е. производя в нем новые членения, но уже не логические и hq алогические, но и те и другие сразу, тогда, и только тогда, мы получаем выражение смысла вместо самого смысла.
     
Выражение потому всегда предполагает категорию внешнего, категорию внутреннего и категорию отождествления того и другого, что, собственно говоря, и есть само выражение. О чистом смысле нельзя сказать, есть ли он что–нибудь внутреннее или внешнее. Сам по себе взятый, он не есть ни то, ни другое. Таково арифметическое число. О тройке или пятерке ничего нельзя сказать на тему о внутреннем или внешнем (внутричисловых категориальных моментов, где, как мы знаем, есть и свое внутреннее, и свое внешнее, мы здесь не касаемся, а берем полностью сформированное число как нечто цельное и самостоятельное). О становлении также нельзя ничего сказать в этом смысле. В области категории наличного бытия уже начинается антитеза внешнего и внутреннего, потому что само по себе наличное бытие, или ставшее, трактуется как факт, т. е. как нечто внешнее, и притом как факт осмысленный, т. е. несущий на себе некое внутреннее смысловое содержание. Но сама категория ставшего, осуществляя чистый смысл, переходит в категорию именно факта, и потому здесь нет полноты смыслового самонроявления. Здесь внутреннее есть смысл, а внешнее есть не смысл, но факт. А полнота диалектики требует, чтобы была такая категория, где и внутренний абстрактный смысл, и внешнее конкретное его воплощение были бы одинаково смысловым [и ], т. е. чтобы внутреннее было смыслом и внешнее тоже было смыслом. Такая категория есть категория выражения. Тут сразу дан и весь внутренний смысл, и отождествление того и другого до полной неразличимости.
     
2. Категория эта сложная, и тут возможны многочисленные подразделения. Однако для нас достаточно будет только двух видов математического выражения.
     
Во–первых, в выражении мы можем, напр., выделить выражение чистого смысла, отбрасывая выражение становления или ставшего. Выражение ведь несет на себе все внутреннее, т. е. все наши предыдущие диалектические категории, которые раньше не были ни внутренними, ни внешними, а здесь, в связи со своеобразием данной диалектической сферы, стали все внутренними. Мы можем, следовательно, выдвинуть во всей структуре выражения момент выраженности той или иной [из] предыдущих категорий. Ограничимся выделением выраженности последних двух категорий — ставшего чистого и ставшего заполненного. Конкретнее говоря, поставим вопрос: что даст в своем выражении — умозаключение и доказательство. Или еще конкретнее и ближе к математике: что даст в своем выражении функция и доказываемая теорема. Решим первую часть вопроса.
     
Надо найти выражение функции. Надо, значит, найти такую категорию, которая бы зависела в своем выражении от функции. Очевидно, такой категорией не может быть величина [>> ], если мы напишем как обычно:
     
<y = f (x)>
     
Это будет не выражение функции, а сама функция, т. е. категория, уже выведенная нами. Надо найти такой [у], в котором функция участвовала бы именно как функция со всем своим конкретным содержанием. Подставляя разные величины в х, мы получим разные у, но[113] отношения между χ и у останутся в любых значениях χ теми же самыми, сама–то функция останется совершенно без всякого изменения. Она в диалектическом смысле не будет положена, т. е. будет жить именно не как функция, но только лишь как мертвое вместилище того, что действительно тут живо, т. е. изменяющихся количественных значений х. Следовательно, чтобы была выражена сама функция, нужна величина, которая бы зависела не только от изменения своего аргумента, но и от изменения самого своего вида.
     
Другими словами, здесь мы получаем то, что в математике называется функционалом, т. е. величину, зависящую в своих изменениях не только от количественных значений х, но и от вида функции этого аргумента. Самое обычное оперирование с таким понятием (если не с термином) мы имеем в вариационном исчислении, где изучается, напр., интеграл типа [114]
     
     
     
Здесь мы имеем функцию от двух аргументов (л: и у), и она же, кроме того, является функцией производной от у {у'). И требуется узнать, какой вид надо придать функции </(>>)>, чтобы интеграл имел максимум или минимум. Величина <J{y)), таким образом, определяется здесь выбором самой функции, а не только количественными подстановками. Она есть уже не просто функция, но функция в гораздо более узком смысле слова, функционал.
     
3. Во–вторых, мы можем задаться вопросом: как выражается наполненное умозаключение, или доказанная теорема? Чистое ставшее раньше дало функцию, потом функционал. А что даст наполненное ставшее, если оно раньше дало доказанную теорему? В выражении есть внутреннее, есть внешнее и есть отношение между тем и другим. По внешнему, если это есть действительно выражение, мы должны узнать внутреннее. В предыдущем случае роль внутреннего лучше всего поручить функции, которая меняет свой вид; величина [J ] будет иметь значение (количественное) в зависимости от вида подынтегральной функции. Здесь же внутренним должна быть не функция, но доказанная теорема, т. е. прежде всего непосредственно данная значимость числа. Ее–то мы и должны найти по некоему внешнему виду выражения. Мы должны иметь такое выражение, чтобы путем разного рода манипуляций добраться до некоей непосредственной числовой значимости и чтобы этот процесс получения оказался вместе с тем и процессом доказательства. Это не есть просто доказательство, потому что тогда мы имели бы здесь ту или иную теорему. Но это есть доказательство наличия некоей определенной числовой значимости, построяемое всецело на внешнем ее выражении, на выражении ее внешних судеб. Внешние судьбы ее известны, а сама она—неизвестна; и вот, изучая это известное, мы идем к [не Известному, ибо это — выражение диалектический синтез известного внешнего и неизвестного внутреннего.
     
Другими словами, тут перед нами уравнение в самом широком и общем значении этого слова, когда какая–нибудь функция неизвестного аргумента дана как известная, т. е. приравнена той или иной числовой значимости, и, из этого приравнения исходя, мы должны определить сам неизвестный аргумент х. Пожалуй, выводимая здесь категория даже шире «решаемого уравнения», почему, может быть, целесообразнее было бы говорить вообще об алгоритме как методе исчисления чего бы то ни было с целью нахождения того или другого неизвестного.
     
Таким образом: функционал есть число, данное как выражение чистой ставшести числа, или число как выраженность чистого умозаключения; алгоритм (уравнение) есть число, данное как выражение наполненной ставшести числа, или число как выраженность наполненного умозаключения.
     § 78. Общность полученных категорий.
     
Для удобства обзора всех категорий общей теории числа см. таблицу.
     
Необходимо отметить, что, поскольку мы в данном месте нашего исследования занимаемся именно общей теорией числа, постольку все выводимые здесь категории оказываются весьма общими, максимально общими, какие только могут быть в математике. Ни одна математическая наука не может их избежать, как бы ни старались многие разверстать их между отдельными науками.
     
Что чистые арифметические числа действуют решительно в каждой математической науке, напр. в анализе, это ясно. Так же ясна универсальность таких категорий, как действие или теорема. Но пожалуй, не всем ясно, что точно такой же универсальностью обладает и категория функции. А это действительно так.
     
Прежде всего самые арифметические действия могут рассматриваться как некоторого особого рода функции, а именно функции, так сказать, инобытийно–нулевые, т. е. функции, в которых инобытийности, аргументной неизвестности — нуль. Однако если такая мысль покажется уродливой, то можно уже прямо указать на наличие в арифметике функций, носящих название числовых функций. В т. н. теории чисел (которая есть, конечно, не что иное, как арифметика, и притом арифметика целых чисел) мы определяем, напр., количество первоначальных [простых ] чисел [An], меньших данного числа [п ]. И оказывается, что это есть функция от [п]. Имеется, как известно, приближенное выражение этой функции[115] через [отношение]
     
     
     
Число делителей данного числа также, оказывается, есть функция этого числа; сумма делителей — то же самое
     
     
     
и т. д. Это самые настоящие функции. Не нужно только обязательно связывать понятие функции с идеей бесконечно–малых, как это само собой навязывается благодаря неискоренимой ассоциации. Математики даже скомбинировали особую науку «теория функций», где есть все, что угодно, но только не числовые функции. А числовые функции — обычная реальность того, что в математическом обиходе именуется теорией чисел.
     
Алгебра тоже есть, конечно, наука о функциях. Что такое уравнения как не функции?
     
Таким образом, функции в разных науках различаются между собою не по принципу функции (который везде один и тот же), но по специфическим свойствам каждой науки. В арифметике главную роль играют числа в их непосредственном значении; след., функции тут числовые. В алгебре главную роль играют функции с постоянными величинами, в анализе — с переменными величинами. Это и накладывает своеобразный отпечаток на употребление функций в разных областях.
     
Стоит обратить Особое внимание на значение категории «функция» в теории множеств и в теории вероятностей. В первой из названных наук эта категория связана с процессом отображения одного множества на другом и на установлении того или иного соответствия отображенного с отображающим. Во второй из названных наук функция приобретает значение т. н. корреляции, которая, в связи с тем что в данном случае происходит исчисление бытия фактически случайного, как раз и есть функция, но без чисто функционального содержания, а только с фактически опосредствованным. Подробности в этих категориях изучаются нами в своем месте.
    
    
     
      
V. ПЕРЕХОД К СПЕЦИАЛbНОЙ ТЕОРИИ ЧИСЛА
     
     § 79. Перевод математики на язык логики.
     
1. Все рассуждения о числе, которые мы имели до сих пор, относятся к общей теории числа. Тут не было никаких рассуждений, выходящих за пределы раскрытия самого понятия числа, включая основанную на этом понятии элементарно логическую систему. Вскрыть число как таковое, число само по себе, показать его внутреннюю сущность и значение — вот была цель всех предыдущих построений. Правда, в дедукции аксиом и учении о функции мы уже вступили в чисто математическую область. Но эта область трактуется в аксиоматике тоже очень обще, хотя и конкретнее, чем просто в области· чистой категории числа. Еще раньше, в дедукции конститутивных моментов числа, само число трактовалось как общематематическая категория. Число тут уже математическая, но все еще обм/ематематическая категория; и иной она, конечно, и не может быть на первых порах, ибо все диалектическое развертывание числа может двигаться только от самого общего и отвлеченного к более частному и конкретному.
     
2. Этим общим учением о числе задача философского обоснования математики не только не исчерпывается, но только еще начинается. Хотя большинство философских учений о числе и ограничивается только этим, т. е. раскрытием понятия числа, — все же в настоящее время вполне возможно считать диалектику настолько зрелой и конкретизированной дисциплиной, что она вполне может (и даже обязана) войти в детали числовых конструкций, не ограничиваясь общими рассуждениями только о самом понятии числа.
     
3. Разумеется, и здесь единственным методом философского анализа остается все та же диалектика, какие бы детали математической науки нас ни интересовали. Перед нами открывается труднообозримая область математических наук с совершенно оригинальными и подчас очень нелегкими проблемами, которые, однако, чтобы понять, необходимо так или иначе перевести на язык логики. Нас не должна интересовать чисто математическая сторона математики. Те операции, равно как и вся техника «доказательств», должны нас меньше всего интересовать. То, что интересует математику, нас не может интересовать, поскольку мы хотим быть не математиками, но философами. И то, что понятно с математической точки зрения, часто является полным туманом с точки зрения философии. Так, напр., понятие интеграла или производной можно вскрыть математически всего на одной–двух страницах. Однако философски понять, т. е. прежде всего логически осмыслить, эти понятия очень и очень нелегко; и если начать все тут объяснять, то не хватит для этого и десятков страниц, не говоря уже об одной–двух. Итак, нам предстоит дать философский диалектический анализ основных понятий и методов математики, отказываясь от той технической и формально–логической их понятности, которую преследуют все обычные курсы математики.
     
4. Но что значит в этом смысле понять математическое утверждение? Понять тут — значит перевести данное утверждение с языка математики на язык логики (или обратно). Это значит исследовать, какая идея, какой логический смысл заложен в той или другой математической теореме, формуле и т. д., если принять во внимание метод построения этой теоремы или этой формулы. Числа ведь, как мы знаем, сами но себе пусты, не имеют никакого качественного содержания, или наполнения. Однако, если разобрать их логический состав в статике или рассмотреть то, как эти числа в данном случае скомбинированы и каким методом сконструировано их взаимоотношение в динамике изучаемой взаимосвязи, мы почти всегда можем определить ту идею, которую воплощает на себя данная формула, тот внутренний смысловой замысел, которому подчинена данная числовая конструкция. Математика очень часто оказывается потухшей философией или даже мистикой; и нужно только уметь перевести эти содержательные и внутренно–наполненные учения на формальный и внутренно–равнодушный язык логики.
     
Другими словами, нам предстоит задача, исходя из вышеразвитого анализа понятия числа, дать диалектическое построение математической науки в ее основных опорных пунктах, т. е: в ее фундаментальных категориях и операциях. Мы должны внимательно изучить материал математических наук, всю эту громадную технику доказательств, выводов и целых теорий. Но мы должны перестать быть математиками и должны все время помнить, что наша задача не математика, но философия. Техника и содержание математических доказательств для философии есть только слепой и сырой материал, не больше. Как бы ясно мы ни доказывали данную теорему, она для нас — полный философский туман, если здесь не применены специальные методы философского анализа. Возьмем, напр., какую–нибудь теорему Коши относительно равенства нулю[116] интеграла от комплексного переменного, взятого по замкнутому контуру. Можно сотни раз воспроизводить это доказательство и яснейшим образом представлять себе его математическую структуру и — все–таки быть в полной темноте относительно настоящего смысла учения Коши. Поэтому руководства по математике нам нисколько не помогут в этом деле. Они только материал, который еще надо осмыслить. Но мало помогут в этом деле и философские трактаты, потому что это та область науки, которая наименее освещена философски. Можно найти сколько угодно хороших и плохих теорий числа, но все они ограничиваются анализом или самого понятия числа, или некоторых его деталей. Но, кажется, никто еще не задавался целью дать философско–логический анализ всего содержания математических наук, математики в целом, ограничивая свою задачу учением не об элементах только, но и о структуре этой науки в целом, включая анализ и всех ее основных категорий.
     
5. Задача эта трудна и многосложна; и тут необходим тот союз философии и математики, который так част в интуитивных глубинах у настоящих философов и математиков и который гак редок у тех, кому суждено повторять и распространять философские и математические идеи, но не создавать их впервые. Вчитываясь в Лейбница, часто не знаешь, философская ли или чисто математическая интуиция им руководила. Это, конечно, ни то и ни другое, это — то первичное, рождающее лоно идеальной мысли, где философия и математика слиты пока еще в одно нерасчленимое целое. И, когда читаешь Кантора, тоже удивляешься тому, как иная философская идея, вычитанная им у какого–нибудь Фомы Аквинского, чувствуется, именно чувствуется и ощущается, а не просто понимается — чисто математически и арифметически. Потом он разовьет тут же и такую математическую теорию, которая по своему содержанию уже не имеет ничего общего ни с каким Фомой. Однако все это только для внешного и поверхностного наблюдателя. Вдумчивый наблюдатель обнаружит, что на глубине у этого гениального человека философия и математика слиты до полной неразличимости и являются единой и целостной могучей интуицией, способной оплодотворить и определить собою как чисто философскую, так и чисто математическую систему.
     
Философия математики должна вернуть нас к этому глубинному союзу философии и математики. Она, философия математики, должна в расчлененном и яснейшем виде показать, конструировать то нерасчлененное и неясное, что лежит в основе общей философско–математиче–ской интуиции, отказавшись как от формализма и пустоты, техницизма математических доказательств, так и от отвлеченности и слишком большой общности философских теорий.
     
6. Достигнуть этой цели можно только путем перемены числового метода на понятийный или общеспециально числовой. Математика—сфера чисел, и с числами она оперирует числовым же способом. Она складывает, вычитает, умножает, логарифмирует, дифференцирует и т. д. и т. д. Все эти числовые операции надо понять как операции над понятиями; и в математической, т. е. числовой, формуле надо найти идейный, понятийный смысл. Можно сказать еще и иначе. Задачей философии математики должно явиться вскрытие всех логических категорий, необходимых и достаточных для смыслового осуществления (в частности, для мышления) той или иной математической структуры или операции. Если мы сведем такую, напр., операцию, как интегрирование, на основные и элементарные, далее уже неразложимые категории мысли, то можно сказать, что мы поняли эту операцию, поняли философски. Это же значит, конечно, и получить ответ на вопрос, как мыслима данная операция, как она есть в сознании, как она вообще осмысленно есть.
     
К разрешению этой огромной задачи мы и должны обратиться.
     § 80. Общая схема.
     
1. Формально–логическая вычислительная система математики должна быть превращена в диалектическую систему, в систему диалектических категорий. При таком условии математика, разумеется, принимает совершенно неузнаваемый вид; и многое приходится расценить совершенно иначе, не так, как при обычном изложении математического материала. Будем помнить, что здесь мы совершенно не занимаемся математикой как таковой, но только философией, а именно философией математики.
     
Самое расположение материала нашей науки должно поэтому меньше всего следовать за расположением и системой чисто математического материала. Мы не раз будем убеждаться, что простое с математической точки зрения оказывается очень сложным в философском отношении, а то, что просто для философа, иной раз принимает исключительно сложный вид, если переводить это на язык математики. Поэтому необходимо взять принцип разделения математического материала не из математики, но из философии, из диалектики. Диалектика же обладает одним настолько простым и всеобъемлющим принципом разделения, что и обходить его и невозможно, и нет надобности. Это принцип триады. Конечно, диалектическое построение, как мы указывали раньше, может быть очень сложным, и триада может превратиться в тетрактиду, в пентаду и т. д. Но в целях ясности и удобства изложения ограничимся в данном случае пока только триадным делением. Оно вполне обеспечит нам полноту и внутренно–логическую последовательность системы.
     
Прежде всего триаду можно выразить, как мы знаем, тремя такими категориями: бытие — инобытие — становление (ставшее). Бытие есть первое полагание. Это первое полагание предмета, чтобы быть и, в частности, чтобы быть положенным, требует для себя чего–нибудь такого, от чего оно отличалось бы, т. е. требует инобытия, с которым оно имеет четкую и определенную границу. Иначе говорят, что бытие, или утверждение, требует для своего существования отрицания. Наконец, бытие и инобытие, утверждение и отрицание не могут оставаться в состоянии такой абсолютной противоположности; они должны быть поняты как единый акт, чтобы инобытие и отрицание не предполагалось как возникшее неизвестно откуда, но чтобы оно тоже было утверждено и понято в сознании. Синтезом бытия и инобытия, утверждения и отрицания, является становление, в алогическом процессе которого абсолютно слиты бытие и инобытие, присутствующие и в то же время отсутствующие в каждый момент становления, или, в дальнейшем, ставшее, т. е. результат становления, остановившееся становление. Некоторым видом этого ставшего — правда, чисто идеальным и смысловым видом — является граница, очер–ченность, в которой тоже совпадают утверждение и отрицание, поскольку граница сразу и одновременно и относится, и не относится и к ограничивающему, и к ограничиваемому. Ставшее можно понимать и как реально ставшее, т. е. как факт, как субстанцию, которая так же очерчена и закончена, как идеальная граница, только в смысле реальной положенности. Становление и ставшее одинаково являются синтезом бытия и инобытия; и часто нет нужды их особенно резко разделять (хотя тоже часто это разделение безусловно необходимо и требует очень субтильных наблюдений). Важно отметить, что если мы будем наблюдать технику синтезирования у Гегеля, то и у Гегеля синтезы имеют одинаково характер как становления, так и ставшего.
     
Итак, весь объем математического материала прежде всего распределяется на три большие области. И это первое разделение должно стать принципом существеннейшего разграничения, отчасти совпадающего с соответствующей диалектической классификацией математических наук. То, что выше было дано в фундаментальном анализе понятия числа, должно теперь рассматриваться нами как перво–принцип, перво–начало. Подобно тому как в общей теории числа всякой раздельности предшествует перво–акт, так точно и сейчас все число, взятое целиком, как вполне сформированная и осмысленная категория, должно стать перво–принципом для дальнейших разделений и оформлений. Мы должны забыть все конструкции, данные нами до сих пор и рисующие число как чистую категорию. Мы должны понять эту категорию числа как новую неразличимость и перво–акт и поставить задачу выявления того, что начинается и стоит под этим перво–актом. Это и приведет к детализации понятия числа, которая даст нам нужное распределение и разграничение математического материала. Ибо вся математика есть не что иное, как развитое и детализированное понятие числа.
     
2. Переходим к формулировке основных разделов философии числа, которых прелиминарно мы уже касались в § 9.
     
I. Перво–акт, переходя в реальный акт, делался пола–ганием, утверждением, бытием не вообще, но реально раздельным бытием. Точно так же и число. Число вообще, число как общая категория, прежде всего переходит в реальное полагание, в реально положенное число, в бытие числа. Число вообще, являясь отныне нашим перво–принципом, не есть теперь что–нибудь раздельное. Это такое бытие, которое выше всякого разделения и различения, вернее, сверх–число и потому сверх–бытие. Следовательно, можно такое положенное число назвать бытием числа. Еще раз напоминаем, что это не та положенность, о которой шла речь в фундаментальном анализе числа. Там шла речь о полаганиях, впервые только еще конструирующих самое понятие числа. Здесь же имеется в виду полагание цельного, окончательно сформированного числа; и термин «бытие» относится здесь не к частичным моментам, из которых состоит число, но к числу вообще, к цельному числу. Мы знаем, что такие общие установки, как бытие, инобытие, становление, наблюдаемы и проводимы как внутри каждой категории, так и в отношении каждой категории в смысле ее внешней судьбы.
     
К бытию числа в этом смысле относятся прежде всего натуральный ряд чисел и все арифметические операции над числом. Сюда же относятся также и модификации числа, возникающие в связи с выделением в нем элементов бесконечного процесса. Первое вместе с анализом основных типов числа является предметом арифметики и алгебры. Второе есть предмет математического анализа, т. е. дифференциального и интегрального исчисления вместе с его модификациями (напр., вариационное, или векторное, исчисление). Для всех этих математических наук характерно употребление или чистых арифметических чисел, или их специальных дублетов — функций, причем числа берутся как устойчивые, так и в своем переходе в переменные величины, в разных смыслах переменности — прерывной, непрерывной, конечной, бесконечной и пр.
     
Можно попробовать зафиксировать это единое числовое построение и терминологически. Оно есть прежде всего арифметически–алгебраически–аналитическое понятие и употребление числа. Но можно дать и одно общее название этой области, совмещая постоянство, переменность и пр. частные категории. Кажется, здесь был бы до известной степени удобен термин «интенсивное число». В понятии интенсивности совмещаются открытая и непосредственная значимость числа в арифметике, функциональная и символическая (буквенная) выраженность его в алгебре и анализе и конечно–бесконечные, непрерывно–прерывные процессы счисления.
     
II. Бытию противоположно инобытие, и утверждению числа должно быть противоположно отрицание числа. Но что может быть противоположно числу? И что, собственно, есть отрицание числа? Число — раздельность и устойчивая различенность прежде всего. Утверждение числа — утверждение этой раздельности и различенности, утверждение неразличенного числового инобытия. Инобытие вообще всегда есть, как противоположность бытию, неразличенность и алогическое протекание. Но тут не просто противоположность числу, а противоположность положенному числу. Следовательно, вся антитеза перенесена на почву дальнейшей ступени, которая по сравнению с чистым числом есть реальная угвержден–ность. Поэтому и противоположность утвержденному числу должна быть реально положена. Это реальная поло–женность числовой неразличенности, реальная утверж–денность инобытийно–числового безразличия.
     
Это то, что в математике называется континуумом. Тут, несомненно, диалектическая противоположность числу, и притом противоположность именно утвержден–ному числу. В то время как в недрах, т. е. внутри, утвержденного числа мы вст ретили такую категорию, как непрерывность, здесь, когда речь идет о специальном расширении утвержденного числа, о его инобытийном осуществлении, здесь уже недостаточно говорить о непрерывности, а надо говорить о континууме. Континуум есть именно реально положенная непрерывность, реальное утверждение непрерывного процесса.
     
Арифметически–алгебраически–аналитическое число есть та или другая степень чисто числовой раздельности. В таких науках, как векторно — [тензорное ] исчисление, число достигает огромной сложности в своих едино–раздельных структурах. Но вот мы достигаем вершины этого усложнения числовых раздельностей, и перед нами, стоящими на этой вершине, открывается необозримое поле темного безраздельного «пространства», где уже нет ничего живого и где все числовые утвержденносги слиты в один безразличный и алогический туман. Это и есть антитеза утвержденному числу. Это — континуум.
     
Континуум не остается тем пустым безразличием, каким он открывается с вершин числовых оформлений. Навсегда он остается безразличием только с точки зрения чистого числа. Но в нем возможны и необходимы различные оформления так же, как и везде, хотя и с обязательным учетом всего своеобразия этой области, где осуществляется оформление. В то время как в области чистого числа, например, раздельное полагание создает единицу, в области континуума раздельное полагание[117] [дает] точку. Один и тот же смысловой акт полагания дает в разных областях разные конструкции. Нужно только учитывать своеобразие области, где происходят акты полагания и единства[118], даже тождества, смысловых актов, которые происходят в этих областях. Тогда на основе континуума образуется особая система определенных структур, вполне параллельная системе арифметически–алгебраически–аналитических функций числа.
     
Эта система есть геометрия в разных ее видах и формах, т. н. элементарной, проективной, аналитической, дифференциальной, многомерной и пр.
     
Такое число, пребывающее в своем инобытии, уже не есть просто число. Но для единства терминологии назовем и эти континуальные и геометрические построения сферой числа, но только экстенсивного числа. Число в своем инобытии, число вне себя есть экстенсивное число.
     
III. Бытие и инобытие, при всем своем противопола–гании, при всей несовместимости, должны быть положены как обычный акт, должны синтезироваться в некоем безразличном тождестве. Мы уже знаем, что в диалектике это есть граница и очерченность, а также и вообще расчерченность, заполненность формами, образность. Число должно быть раздельность и счетность раздельных моментов. Континуум и геометрические фигуры должны дать заполненность этих раздельно–счетных моментов некоей смысловой материей, материей геометрического континуума. Синтез требует, чтобы число геомет–ризировалось и геометрия стала числовой.
     
Когда число, оставаясь числом, геометризируется, это значит, что оно становится смысловой, умной фигурно–стью. Число, «состоя» из своих единиц, мыслится в арифметике, алгебре и анализе вне всякой своей фигурности, вне той или иной расставленности этих составных единиц. Считая, напр., пять единиц, входящих в число пять, мы совершенно не принимаем во внимание характера «расстояний», залегающих между этими отдельными единицами. И это было бы в данном случае даже бессмысленным. Однако мы можем представить себе, что эти расстояния тут разные, что из комбинации этих разных расстояний и направлений получается вполне определенная умственная фигура. Спрашивается: от чего может зависеть эта разность «расстояний» и «направлений»? От числа как такового, т. е. чистых актов полагания, это совершенно не зависит, так как они везде одни и те же независимо ни от «расстояний», ни от «направлений». Зависеть это может только от другого принципа, от иноприродного принципа, от принципа уже не счетного, а наполняющего, направляющего и как бы напрягающего или вытягивающего эту счетность. Это и есть принцип континуума. Таким образом геометризируется число. Оно становится умственной фигурностью. С другой стороны, в этом синтезе не только число должно геометри–зироваться, но и геометрия должна стать числовой. Как это может произойти? Это не может произойти так, чтобы геометрическая фигура оставалась сама по себе, а мы только завели бы ее числовой коррелят. Так именно и обстоит дело, напр., в аналитической геометрии. Здесь мы имеем какую–нибудь параболу и находим ее уравнение, т. е. переводим ее на язык чисел. Ни парабола, взятая чисто геометрически, не дает никакого представления об ее уравнении, ни данное уравнение параболы (у = ах2}, взятое как таковое, нисколько не говорит ни о какой кривой, а есть самая обыкновенная отвлеченная функция. Тут просто перевод с одного языка на другой; и тождественным в том и другом является только момент счетности, отвлеченной количественной оформлен–ности данной кривой и данной функции. Поэтому аналитическая геометрия (и никакая вообще геометрия, если она остается геометрией) не может дать искомого нами синтеза числа и континуума и должна быть отнесена к сфере континуально–геометрического инобытия числа, не больше того.
     
Полный синтез (а всякий диалектический синтез есть полное и абсолютное слияние и тождество тезиса и антитезиса) требует, чтобы получилось не тождество в том или другом отношении между числом и континуумом (такое тождество есть просто различие, а не тождество), но абсолютное тождество, субстанциальное тождество того и другого. В предыдущем случае число (функция) остается само по себе, и кривая остается сама по себе, и тождество между ними не субстанциальное, но отвлеченно–смысловое: по функции (если ее брать как функцию, не привнося в нее никакого иного толкования) нельзя догадаться, что речь идет о данной кривой, а в кривой, если ее брать чисто оптически–геометрически, нельзя вычитать никакого уравнения. Здесь же, в этом полном синтезе, рассматривая данную структуру, мы уже не находим в отдельности число и в отдельности его континуальное инобытие, а видим то, в чем то и другое пребывает неразличимо.
     
Это есть то, что в современной математике носит название множества[119]. Множество как раз есть некая умственная фигурность, где число состоит из разнообразно взаимоотносящихся элементов и где континуум преобразован в некую специально «упорядоченную» последовательность. Наука эта есть наука о множествах, созданная гением Ieopra Кантора. Правильно говорится, что здесь мы имеем наиболее общее представление числа, так как все, напр., арифметические свойства числа дедуцируются из понятия множества как частный случай.
     
Такое число уже нельзя назвать ни интенсивным, ни экстенсивным числом. Это фигурное число как синтез интенсивной значимости и экстенсивного инобытия. Эта значимость осуществлена в этом инобытии, и получается новая форма числа, которую можно назвать эйдетическим числом (эйдос — вид, фигура). Соответствующую науку можно назвать аритмологией. Это число для себя.
     
IV. Наконец, все три рассмотренные типа числа находят свое завершение в четвертом типе. Эйдос, являясь завершением и зримым продуктом сущности числа, не есть еще вся фактическая действительность числа. Числу–эйдосу противостоит бесконечная и темная действительность, которая также требует своего числового оформления. Разумеется, эйдос тоже оформляет действительность, но это оформление касается ее более или менее идеальных сторон. Эйдос—гоже действительность, но это действительность сущности. В § 9 мы так и практиковали арифметику (с алгеброй и анализом) как «сущность», геометрию — как «явление», теорию множеств — как «действительность». Но эта «действительность» была все же действительностью в ее сущности, а не в ее факте. Существует действительность как факт, и вот это–то и не фиксируется теорией множеств, какой бы наглядностью она ни обладала и как бы ни была ближе к жизни, чем арифметика и геометрия. Факты должны быть зафиксированы в числе как факты, т. е. во всей их путаной случайности и неразберихе. Число вне оформления бытия как фактической действительности всегда несет с собою известную долю случайности и вероятности в отличие от чистого числа, которое очень далеко от конкретной действительности и потому максимально аподиктично. Следовательно, тут должна быть особая математическая наука и должна быть особая сфера числа. Это число есть математическая вероятность, и соответствующая наука есть исчисление вероятностей.
     
Только на почве этой последней науки возможны все завершительные и выразительные формы математики, но не на почве интенсивно–экстенсивно–эйдетического числа.
     
3. Таковы четыре основные области философии числа, построенной в виде диалектических оснований математики.
     
I. Интенсивное число, число в себе. Арифметически–алгебраически–аналитическое построение числовой системы.
     
II. Экстенсивное число, число вне себя. Континуально–геометрическое построение числовой системы.
     
III. Эйдетическое число, число для себя. Аритмологи–ческое построение числовой системы.
     
IV. Фактическое (прагматическое) число, число для иного. Теоретико–вероятное построение числовой системы.
     I. ЧИСЛО ИНТЕНСИВНОЕ ВСТУПЛЕНИЕ § 81. Разделение.
     
1. «Число в себе» есть сложная область числовых конструкций, объединенных принципом чистого полагания, без перехода в область, абсолютно–инобытийную в сравнении с чистым полаганием. Это чистое полагание, однако, в свою очередь может быть рассматриваемо с самых различных точек зрения. Мы уже хорошо знаем, что решительно каждая категория может быть с любой степенью детализирована путем введения в нее или, вернее, путем повторения в ней всех прочих категорий. Кажется, категория отражает на себе все другие категории диалектической системы, и только изучение возникающих тут структур и делает понимание данной категории вполне конкретным. Теперь и возникает необходимость разделения общей области числа в себе согласно обычным диалектическим делениям, из которых основным делением, конечно, является триадное деление (бытие, инобытие и становление).
     
2. Мы имеем число в себе. Это «в себе» можно понимать, во–первых, в его непосредственной данности, «в себе» как таковое. Оно, во–вторых, может перейти в свое инобытие. Конечно, это не то континуально–геометрическое инобытие, в которое переходит «число в себе», если последнее брать во всей исчерпанности его категориальных структур. Когда построено все «число в себе» и исчерпаны все его основные структуры, тогда переход в дальнейшее инобытие есть переход в континуально–геометрическую среду. Но сейчас мы пока еще ровно ничего не построили в сфере «числа в себе», а только утвердили голый факт существования такого «числа в себе». Спрашивается: какое же инобытие здесь возможно, в чем заключается это инобытие?
     
3. Голый факт «числа в себе» говорит нам о непосредственном бытии «числа в себе». Инобытием, и притом инобытием до перехода в континуально–геометрическую сферу, может быть только такое «число в себе», которое, оставаясь самим собою, дано в другом виде, является иначе выраженным, выраженным при помощи иных средств. Голый факт числа в себе есть, конечно, натуральный ряд чисел и все арифметические операции над числами. Инобытие арифметического построения без перехода в геометрию должно быть теми же арифметическими числами и теми же действиями над ними, но выраженными так, чтобы арифметика осталась внутри, осталась внутренним принципом, в отношении которого данное инобытие оказалось бы только символом. Вообще ведь всякое реальное инобытие должно быть в отношении своего бытия символом, раз оно от него зависит и косвенно на него указывает. Что же это за инобытие?
     
4. [а)] Значит, тут мы оперируем с числами и производим над ними арифметические действия. Но тут, в этом инобытии, нас, однако, интересуют не самые числа и действия над ними в их непосредственной данности, но они же — в их инобытийной выраженности. В геометрии покинута совсем самая сфера чистого «числа в себе». Здесь она отнюдь не покинута. Она остается на месте. Но надо дать ей инобытийное выражение. Чтобы это сделать, необходимо отбросить непосредственное значение чисел и действий и оставить их только в виде знаков, символов, куда можно было бы подставить любые значения чисел и даже любые действия. Это достигается употреблением буквенных выражений и введением понятия функции.
     
Что значит употребление в алгебре буквенных символов? Это значит, что мы отвлекаемся от непосредственных значений числа и даем их в общем виде. Если я пишу <л: = <2 + 6>, то здесь ровно ничего не сказано ни об а, ни о b, если под ними понимать числовые значения. Тут могут быть какие угодно значения. Дело не в них. Дело в определенных взаимоотношениях, существующих между jc и этими а и b. Другими словами, сущность этого явления заключается в том, что здесь даны не арифметические значения чисел, но функциональные отношения между величинами, арифметическое значение которых остается вне всякого интереса. В функции не важны значения величин, между которыми она установлена. Значит, уже по одному этому здесь — инобытие арифметики, инобытие «числа в себе». Но здесь, кроме того, полнейшая аналогия арифметических свойств и действий, далекая от всякой геометрии, а состоящая все из тех же свойств и действий числа, из которых состоит арифметика. Значит, здесь именно то инобытие, которое мы ищем.
     
b) Буквы заменяют здесь непосредственное значение чисел. Но в анализе мы оперируем с выражениями, которые также заменяют и непосредственное значение, значение действий. Когда мы пишем <y =f(x)>, то во многих случаях в анализе нам совершенно не интересно, какая именно эта функция. Важно, что у есть функция от х. А какая эта функция, часто совершенно не важно. Следовательно, как в алгебре буква выражает собою обобщенное значение числа, так в анализе — выражает обобщенное значение действий. В первом случае можно подразумевать любые числовые значения, во втором случае можно подразумевать любые действия над числами.
     
c) Диалектическое место учения о функциях становится яснее, если мы употребим соответствующие термины. Арифметика во главе с натуральным рядом чисел, разумеется, играет роль самого основания всех математических представлений и действий. Можно сказать, что все действия в математике есть не что иное, как усложненный счет. Что бы мы ни делали в математике, мы всегда так или иначе считаем, занимаемся счетом: все действия суть или просто счет, или модификация счета. Поэтому будем вполне правы, если ту область чистого числа в себе, которая состоит из непосредственного значения чисел, назовем сущностью числа. Действительно, все, что есть в математике, имеет своей сущностью непосредственное число и непосредственный счет. По сравнению с этим как нужно квалифицировать учение о функциях? Функция есть совокупность всех действий, которые необходимо произвести над аргументом, причем числовое значение самого аргумента неизвестно и неинтересно. Это значит, что в функции мы имеем инобытийную судьбу аргумента в условиях неданности самого аргумента, т. е. неданности самой сущности того, судьбу чего мы преображаем. Такую конструкцию удобно назвать явлением. Явление противостоит сущности как нечто само по себе несущественное. Сущность есть смысл; явление же, взятое само по себе, есть нечто алогичное по сравнению с сущностью. В явлении (опять–таки, подчеркиваем, если его брать как таковое, т. е. как противоположность сущности) нет самой сущности (иначе оно и не было бы противоположностью сущности); в нем сущность неизвестна, она есть какой–то неразгаданный х. Можно только наблюдать судьбу этого т. е. что творится с ним, независимо от его подлинного смысла и значения. Такое инобытийное конструирование сущности есть явление. И учение о функциях в противоположность непосредственному арифметическому значению чисел есть учение о числе как явлении. Арифметика — учение о сущности числа; алгебра и анализ есть учение о явлении числа, о внешнем (и потому не дающем внутренней значимости) явлении числа.
     
5. Однако категории эти («сущность», «явление» и, еще дальше, «действительность») суть общедиалектические категории, повторяющиеся решительно во всякой специальной области знания и науки. Кроме того, учение о функции в связи с этими категориями также было намечено нами в предыдущем изложении (§ 76). Сейчас необходимо приступить к более расчлененной фиксации математического разделения, чтобы эти категории получили окончательную конкретизацию.
     
Антитеза непосредственного и опосредствованного числового бытия остается в математике основной. Однако есть еще одна антитеза, которая объединяется с нею, и из планомерного объединения с нею и рождается обычное разделение математики в данной области. Именно, в сфере самой непосредственности возможно мыслить свое инобытие, подобно тому как мы мыслим его в отношении всей непосредственности числа как таковой. Такое инобытие превращает устойчивое тело в становящееся, или, выражаясь математически, превращает постоянную величину в переменную. Поэтому функция, которая есть в сравнении с непосредственным числом бытие опосредствованное, может быть как функцией постоянных величин, так и функцией переменных величин. Точнее, однако, надо говорить о бытии и о становлении величин. Алгебра относится как раз к учению о функциях постоянных величин, в то время как анализ преимущественно занят функциями переменных — точнее, становящихся — величин. Как функция в отношении непосредственной значимости числа, так и становящаяся величина в отношении постоянной есть «явление», поставленное в связь с «сущностью», есть, стало быть, сущность и явление и за пределами непосредственного числа.
     
6. а) Остается, следовательно, третья и последняя диалектическая ступень в области чистого числа в себе. Сущность и явление синтезируются в нечто третье, в категорию, которую можно называть по–разному и которая в разных системах диалектики носит равные названия. Назовем ее по нашему обыкновению (ср. § 9) действительностью. Действительность есть сразу и сущность, и явление, их абсолютное неразличимое тождество и субстанциальное слияние. Возникает вопрос, что же в математике является действительностью числа, если сущность его арифметична, а явление алгебраично–аналитично?
     
b) Надо подыскать такую категорию, которая бы давала инобытийно–числовую обработку арифметической величины и которая, с другой стороны, превращала бы инобытийно–числовую опосредствованность в числовым образом непосредственно данную структуру. Такой категорией является категория вектора. Вектор математически определяется как величина, определенным образом направленная, в отличие от скалярной величины, которая определена только количественно и не содержит в себе никакого момента направленности. Вдумываясь в это понятие, мы в нем как раз и находим искомый нами синтез сущности и явления.
     
c) В самом деле, инобытие, не меняя самой сущности, вовлекает ее в поток становления и облекает в эти внешние для нее инобытийные одежды. Инобытие размывает, растягивает сущность, тянет ее по необозримому полю алогического. Сама же по себе сущность должна оставаться неизменной. Следовательно, ища синтезы сущности и явления, бытия числа в себе и его инобытия, мы должны взять инобытие, но понять его как неизменную сущность. Инобытие есть цепь тех или иных изменений, а сущность по самому смыслу своему неизменна. Синтез того и другого может поэтому осуществиться только тогда, когда инобытие потеряет свою изменчивость и станет неизменным (как сущность). Но потерять свою изменчивость в абсолютном смысле оно не может, ибо тогда оно войдет в синтез уже не как инобытие, которое всегда изменчиво. Стало быть, условия диалектического синтеза требуют, чтобы инобытие теряло здесь не изменчивость вообще, но разнообразную, не приведенную к единству изменчивость. Изменчивость объединится с постоянством не тогда, когда она совсем уничтожится (тогда что же и будет вступать в синтез с постоянством?), но тогда, когда оно преобразится в вид, где найдет свое место и момент постоянства. Такой категорией, в которой нейтрализуется инобытийная изменчивость и неизменность сущности, является категория направления. Направление, с одной стороны, по самой своей природе инобытийно, так как оно предполагает предмет, который гак или иначе направлен. В нем есть то становление, которое необходимо для всякого инобытия, и есть необходимый момент алогического, поскольку не говорится, что именно направлено, а мыслится только самое направление. С другой стороны, это совсем не то, что буквы в алгебре. Буквы в алгебре сами по себе не имеют непосредственного значения. Непосредственное значение имеют только арифметически понимаемые числа и действия; в алгебре же—опосредствованное значение чисел и действие чисто символическое или, вернее, вообще сигнификативное: направление в этом смысле вполне непосредственно. Будучи по природе инобытием, оно, однако, оказывается только такой же непосредственностью, как и сама сущность. Направление есть переход сущности в инобытие, в явление, в изменчивость, но оно не косвенно и не изменчиво, не инобытийно в смысле опосредст–вованности и символичности, но вполне самостоятельно, непосредственно, постоянно и определенно.
     
Таким образом, число в направлении осуществлено инобытийно наподобие того, как аргумент в функции осуществлен инобытийно, а функция в направлении осмыслена путем перехода в неизменную сущность и получения старым «аргументом» непосредственности и самостоятельности. Направление, кроме того, берется не само по себе, но как момент вектора. Вектор есть не только направление, но и количественно данная величина того, что направлено. Этим подчеркивается как участие арифметического принципа числа, так и участие инобытия, в котором этот принцип осуществлен.
     
[d ]) Итак, векторное исчисление вместе с его усложнением— тензорным исчислением есть наука, вырастающая на действительности числа. Наивысшей конкретизации векторно–тензорное исчисление достигает в конструкции векторно–тензорного поля, где число получает, с одной стороны, особого рода гистологическую, а с другой стороны, социальную структуру. Вместе с введением кватернионов получается наивысшая фигурно–телесная и выразительная структура числа, ставшего как бы живым социальным телом, последней формой конкретизации, на которую способно число в себе.
     
7. а) Итак, число–сущность, число–явление и число–действительность, если ограничиться сферой вообще числа в себе, есть не что иное, как число арифметическое, число становящееся (или аналитическое, как ниже увидим, — бесконечно–малая величина) и число направленное (вектор). Это и есть наше основное деление всей сферы интенсивного числа вообще. Что же касается развитого выше понятия функции, то ясно, что антитеза непосредственной и функциональной значимости числа войдет в каждую из намеченных трех основных областей интенсивного числа, находя каждый раз свои эмпирические синтезы и дальнейшую эволюцию этих синтезов. В частности, то, что называется обычно алгеброй, т. е. учением, связанным с функциями постоянных величин, войдет, очевидно, в первую из указанных трех областей, где эта алгебра, противопоставляясь арифметике, будет синтезирована в дисциплины, предполагающие одинаковое участие как арифметики, так и алгебры. Это то, что вообще можно было бы назвать алгебраической арифметикой или арифметической алгеброй, куда войдут такие, напр., учения, как учение о формах, теория инвариантов и др.
     
b) Обратим в дополнение еще внимание на некоторые терминологические моменты.
     
Хотя и вполне понятно именование числа в случае тезиса числа в себе как положенного и хотя вполне правильно, что тут перед нами именно бытие числа, — целесообразно, имея в виду масштаб всего исследования, называть эту начальную диалектическую ступень числа не бытием. Ведь к понятию числа вообще мы теперь уже не вернемся и будем считать его вполне понятным и проанализированным. А то, что мы сейчас называем бытием числа, будет для нас исходным пунктом для всего дальнейшего анализа. Если в отношении к чистой категории числа как к числовому перво–акту это утверждение цельного числа есть реальное бытие числа, то в отношении к дальнейшему оно будет тем основным и единственным существом, сущностью, из которой все остальное будет появляться только путем тех или иных диалектических операций. Чистая категория числа как бы носится над всей числовой стихией и как бы не принимается во внимание при анализе конкретных видов и типов числа. Но тогда среди этих последних должна существовать такая группа явлений, которая оказывается существенной в отношении прочих групп этих явлений. Конечно, подлинной и последней сущностью числа является самая категория числа, число как перво–принцип. Но, повторяем, в целях удобства построения и изложения целесообразно эту категорию принимать как до–категориальный перво–прин–цип, а «сущность» находить уже среди конкретизаций того, что находится под этим перво–принципом.
     
Заметим, что в истории философии такой метод бывал не раз. Так, у неоплатоников «сущность», «сущее» есть именно второй принцип, существующий не там, где «единое», но там, где ум и идеи. Ум не первоначален, хотя он — сущность всего существующего.
     
c) Таким образом, область «числа в себе» делится —
     
I. Сущность числа. Натуральный ряд чисел. Типы числа. Арифметические действия над числами. Алгебра. Алгебраическая арифметика, или «алгебраический анализ».
     
II. Явление числа. Скалярный математический анализ (дифференциальное, интегральное, вариационное исчисление).
     
III. Действительность числа. Учение о векторах. Век–торно–тензорное исчисление.
     § 82. Терминологические замечания.
     
1. Относительно предложенной диалектической системы необходимо сделать ряд замечаний, долженствующих оправдать некоторое расхождение с обычным явлением соответствующего математического материала. С таким расхождением мы будем встречаться нередко; и необходимо по возможности указывать на его[120] наличие.
     
Относительно существующих руководств и пособий по математике необходимо сделать общее замечание. Все они появились в результате определенных исторических, психологических и педагогических мотивов и часто почти не преследуют целей логической последовательности системы. Так, материал, известный теперь под названиями «арифметика» и «алгебра», настолько разношерстен, что объединить его в какую–нибудь единую систему совсем невозможно. То, что полегче и что можно дать детям младшего возраста, отнесено к «арифметике», а то, что потруднее, — к «алгебре». С такой педагогической точкой зрения должны считаться педагоги, но не философы, преследующие цель логически последовательной систематики. Приходится или выбросить совсем такие термины, как «арифметика», «алгебра», «анализ», или придать им условный смысл и в дальнейшем уже не выходить за рамки принятого словоупотребления. Выбросить такие старые и популярные термины, конечно, невозможно. Но тогда надо вкладывать в них какое–то определенное и вполне точное логическое содержание, хотя оно и было только условным.
     
Прежде всего в «арифметике» мы находим такие, напр., главы, как учение о мерах и весах, имеющие к арифметике такое же отношение, как и к любой естественнонаучной дисциплине, даже, пожалуй, меньшее. С другой стороны, в «алгебре» много таких вопросов, как, напр., извлечение квадратного или кубического корня из чисел или техника логарифмирования, что по смыслу своему должно бы иметь место в «арифметике». Кроме того, логарифм есть трансцендентная функция, и неизвестно, как связать его с прочим материалом «алгебры». «Анализ» наполнен разными геометрическими построениями и приложениями, которым настоящее место, конечно, не в анализе, а в специальной науке. Да и самое название «анализ» мало того, что не очень точно, оно употребляется в совершенно спутанном виде.
     
Под «анализом» обычно понимается дифференциальное и интегральное исчисление, т. е. изучение функций в условиях бесконечного процесса. Тем не менее «аналитическая геометрия» — вовсе не та геометрия, в которой применены методы исчисления бесконечно–малых. Это, вообще говоря, изучение геометрических элементов с точки зрения алгебры, так что правильнее всего было бы назвать ее алгебраической геометрией. Там же, где применены методы исчисления бесконечно–малых (т.е. методы «анализа»), [учение] называется не аналитической геометрией (как это требовала бы логика), но почему–то дифференциальной геометрией, а частью этот материал излагается прямо в курсах самого же анализа. Неизвестно также, почему эта геометрия называется дифференциальной, а не дифференциально–интегральной (раз там применены не только дифференциалы, но и интегралы). А то, что составляет содержание т. н. теории чисел (напр., все рассуждения о делимости), ничем принципиально не отличается от содержания обычной «арифметики», равно как и «высшая алгебра» содержит в себе теорию всех тех же управлений, что и «элементарная алгебра», только что эта теория и эти уравнения здесь посложнее и потруднее. Такая педагогическая и историко–психологическая точка зрения в классификации математического материала, конечно, должна быть нами отброшена.
     
2. Что же составляет подлинный и логически выдержанный предмет арифметики и алгебры?
     
Арифметика есть учение о «числе в себе», т. е. о непосредственном бытии числа. Этим она резко отличается от алгебры, оперирующей не с числами, но с функциями. Но тогда к арифметике надо отнести все типы числа, если только они имеют непосредственное значение. Прежде всего к арифметике должно быть отнесено употребление отрицательных чисел. На каком основании это понятие отнесено к алгебре и что алгебраического в отрицательной величине? Раз арифметика действует с положительными числами и, кроме того, еще действует с нулем, то очень странно, если тут же не будет еще и категории отрицательного числа. Фактически арифметика и употребляет отрицательные числа (напр., в рассуждениях о купле и продаже, в учении о векселях и пр.), но в угоду логическому принципу маскирует это употребление, относя соответствующую терминологию в другую науку.
     
Далее, вполне арифметичны рассуждения и о бесконечности. Бесконечное число есть особого рода число. Оно оценивается в своей самостоятельной и непосредственной данности; и нет нужды выбрасывать его из арифметики. Точно так же необходимо внести в арифметику теорию мнимых величин, рассматриваемую почему–то частью в алгебре (обычно — мелким шрифтом, так что сами авторы, по–видимому, не знают, здесь ли подлинное место для нее), частью в анализе (хотя к последнему относится только теория функций комплексного переменного, а не арифметика мнимостей). Решительно нужно выбросить из алгебры также действия над степенями и корнями. Это вполне непосредственные операции над непосредственно и самостоятельно данными величинами. Сюда же надо отнести и логарифмирование, хотя его почти всегда отрывают от статьи о степенях и корнях, с которой оно существенно связано.
     
И вообще алгебра отличается от арифметики не тем, что она пользуется какими–то особенными действиями, которых нет в арифметике, или какими–то новыми типами чисел, которых нет в арифметике. Вовсе не в этом принципиальное отличие. Единственное принципиальное отличие алгебры от арифметики заключается в том, что тут—инобытие всех арифметических чисел и действий, инобыгийный их коррелят. В них не вносится ровно ничего нового, и их система ровно ни в чем не меняется. Но все эти числа и действия, все вместе, как некая целостная сфера, целиком переносятся в новую область; и в этой области они подвергаются, опять–таки все вместе, единообразной модификации. Область же эта есть область функциональных отношений. Следовательно, в алгебре не будет ничего нового в смысле категории числа или категории действий, ибо все эти категории относятся к сущности чисел и действий, а вся сущность обрисована в арифметике. В алгебре—те же категории, но только иное их употребление, а именно употребление функциональное, употребление в составе функций и их преобразований. Это и есть сущность алгебры.
     
3. Другое дело — отличие алгебры от анализа. И то и другое есть учение о функциях. Но к алгебре относятся функции с подлинными величинами, к анализу же — функции при бесконечно–малых процессах изменения аргумента. Возникающие здесь сложные переплетения алгебраических и аналитических методов будут у нас предметом рассмотрения в своем месте.
     I. СУЩНОСТb (АРИФМЕТИКА, АЛГЕБРА, АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ) § 83, Разделение.
     
Как было установлено в § 81, та первая сфера интенсивного числа, которая у нас условно наименована сущностью числа, распадается на три основных раздела.
     
A. Арифметика, или учение о непосредственной сущности числа в ее бытии.
     
B. Алгебра, или учение о непосредственной сущности числа в ее инобытии.
     
C. Алгебраический анализ, или учение о непосредственной сущности числа в ее становлении (включая и прочие основанные на становлении категории).
     А. Арифметика (сущность числа в ее бытии) § 84. Разделение.
     
Теперь наконец мы вступаем в область философского понимания обыкновенного математического материала.
     
Сущность числа есть такое «число в себе», которое утверждено как непосредственно данное бытие. Оно, это число, не указывает на какое–то другое, уже чисто числовое значение, но само есть это чисто числовое значение. Потому это есть всецело область арифметики. Алгебра создает только функциональный дублет к непосредственной значимости числа. Арифметической величине диалектически противостоит алгебраически–аналитическая величина, которая выражена опосредствованно, при помощи букв и функционных обозначений. Непосредственное бытие числа в себе, данное как простой акт бытия, есть акт полагания; акт же полагания есть
     
I. натуральный ряд чисел.
     
Сосредоточимся на этом примитивном акте полагания, рождающем из себя натуральный ряд чисел. Будем наблюдать диалектическую эволюцию только [э]того акта полагания. Другими словами, мы отвлечемся от того инобытия, которое выводит вообще за пределы арифметики и науки, давая функциональное построение непосредственно арифметических величин, ведет уже к алгебре. Будем оперировать только с указанными примитивными числовыми актами, чтобы остаться всецело в сфере арифметики. Тогда возникнут свои собственные, уже чисто арифметические, триады, тетрады, пентады и т.д. Будем в этой общей сущности числа как бытия (арифметика) считать натуральный ряд за бытие, т.е. в сфере получаемого бытия установим свое собственное бытие, или, так сказать, бытие бытия. Что тогда будет в этом смысле инобытием бытия?
     
Бытие создало тут натуральный ряд чисел. Явно, что инобытием будет здесь переход к другим числам. Какие же это другие числа, не составляющие натурального ряда, но существенно отличные от него? Назовем эту часть исследования учением о разных типах чисел. Ту г и будет выяснено, что это за числа. В систематической форме получатся числа: положительное, отрицательное, рациональное, иррациональное, мнимое и пр. Итак, непосредственное бытие сущности, данное в своем инобытии, рождает из себя различные
     
II. типы числа.
     
Нетрудно перейти к становлению непосредственной сущности числа, которую мы понимаем как
     
III. арифметические операции.
     
Выше (§ 62.2) мы уже столкнулись с тем диалектическим фактом, что арифметическая операция связана с категорией становления. И действительно, покамест мы говорим о типах числа, у нас имеются только мертвые и неподвижные образцы чисел. С некоторым становлением мы имеем дело в натуральном ряде чисел. Но это очень отвлеченное становление, становление первого акта полагания числа вообще, но не становление развитой системы чисел. Развитая система чисел («типы числа») предполагает разнообразные направления счета, а не ограничивается только одним и единственным направлением, которое лежит в основе натурального ряда чисел. Наличие же разнообразных направлений счета делает возможным разнообразную комбинацию этих направлений. А факт разнообразных комбинаций направления счета и есть факт арифметических операций.
     
Чтобы идти дальше, необходимо переходить уже и к комбинации самих арифметических операций. Становление, когда оно заканчивается, превращается в ставшее; и — параллельно с этим — арифметические операции, следуя одна за другой, превращаются в некоторую единую их комбинацию, которая как таковая останавливается, как бы застывает, и все, что здесь происходит, происходит уже в твердых пределах застывшей таким образом комбинации. Когда, напр., мы имеем дело с т. н. комбинаторикой[121], то всегда тут налицо ряд операций (скажем, «взять из А [т] сочетаний по [л]»), который, однако, обладает одной неподвижной идеей, определяемой данными категориями. В детерминантах также имеется некая общая идея распределения чисел, в пределах которой возможен ряд тех или иных действий. Везде в таких случаях мы имеем дело с некоторым осуществленным и застывшим ставшим и с тем или другим рядом операций (становление), но только в твердых пределах этого ставшего. Ниже мы увидим, что это есть, если употреблять общий и совершенно условный термин, —
     
IV. комбинаторно–матричное исчисление.
     
Наконец, согласно общей схеме, от ставшего факта мы переходим к выраженному факту, к выразительной форме числовой сущности. Застывшее состояние предыдущей диалектической ступени тут должно оживиться и перейти в бурное движение. Устойчивость мыслится здесь не на фоне твердо расположенных чисел, но на фоне их движения, становления. Однако это становление уже не может быть становлением простых актов полагания или даже становлением комбинаций этих актов (этапы, пройденные нами раньше), но оно может быть только становлением самого числового ставшего. Мы должны найти законченность структуры подвижных систем чисел, когда исходят не из определенной и твердо данной комбинации чисел, но когда дается закономерность в движении ряда таких чисел, закономерность их взаимоотношения. Тут мы столкнемся с интересными учениями, которые хотя и относятся обычно к алгебре, но представляют собою чистейшую арифметику (в нашем смысле слова, понимая под этим науку о непосредственной значимости числа). Дадим условное название этому отделу арифметики —
     
V. высшая арифметика, отнеся сюда теорию сравнений, групп, колец, лучей и полей (тел). В учении об арифметических полях (или, как еще говорят, телах) первоначальный акт числового полагания доходит до максимальной выраженности и развернутости, где он дан уже как социальное бытие, как бытие даже высшее, чем просто социальное, ибо оно включает в себя и все индивидуальное, — насколько, разумеется, способно чисто арифметическое бытие выразить индивидуальное и социальное.
     I. НАТУРАЛbНЫЙ РЯД ЧИСЕЛ (БЫТИЕ СУЩНОСТИ ЧИСЛА) § 85. Единица и соседние категории.
     
1. Непосредственное бытие числа в себе, данное как чистый акт полагания, характеризуется не одной, а целой системой категорий, которую надо уметь формулировать.
     
Прежде всего чистый акт полагания может быть взят как сам по себе, так и в совокупности своих внутренних и внешних различий. Язык четко различает все эти категории, и мимо них невозможно пройти без внимания. Чистый числовой акт полагания, взятый до всякого самоопределения, рождает из себя ту категорию, которую можно назвать «одно». Если мы представим себе, что акт полагания внутренно разделился, т. е. в нем возникло внутреннее инобытие, то чистый акт полагания как таковой в этих условиях есть единичность. Если предполагается внешнее инобытие, т. е. другие акты полагания, то каждый из всех этих актов полагания, взятый в отдельности, есть единственный, единственность, а все эти внешние друг в отношении друга акты, взятые как чистый акт полагания, есть единство. Наконец, чистый акт числового полагания, взятый сразу и со своим внутренним, и со своим внешним инобытием, есть и единица. Единица потенциально дробима внутри себя и потенциально предполагает дробимость и множественность вне себя, причем эти процессы внутренней и внешней множественности суть вместе одно абсолютное тождество. Будем ли делить единицу на отдельные части, будем ли вокруг этой единицы утверждать новые единицы, результат здесь будет один и тот же: будут появляться все новые и новые единицы. Это внутренно–внешнее тождество инобытия чистого акта полагания оформляет этот акт с обеих сторон, внутри и снаружи, и превращает в прочно оформленную положенность, которую мы называем единицей (отличая ее от одного, которое есть тот же акт полагания, но до своего внутреннего и внешнего инобытия).
     
2. Единица, таким образом, предполагает сложное диалектическое строение, которое вместе с тем является моментом и во всех прочих числах, поскольку каждое число есть тоже сначала некая единица вообще (а потом уже данное число в частности). Если формулировать раздельно все диалектические моменты, которые необходимым образом входят в состав единицы, то мы получим по крайней мере ьиестипланную структуру.
     
a) В единицу входит, как и во всякое число, прежде всего тот перво–акт, перво–число, который является нашим перво–принципом и формулирован в фундаментальном анализе числа. Этот факт тождествен и во всех единицах, и во всех числах вообще.
     
b) Единица, далее, есть акт полагания этого перво–акта. Чтобы перейти в реальное число, перво–акт должен стать реально положенным числом. Тут тоже единица еще ничем не отличается от всякого другого числа.
     
c) Единица предполагает свое дробление, т. е. она содержит в себе внутреннее инобытие, она утверждает внутри себя свое инобытие.
     
d) Единица предполагает и свое окружение другими такими же единицами, предполагает внешнюю множественность, т. е. содержит в себе свое внешнее инобытие, вернее, предполагает внешнее инобытие.
     
e) Ни то, ни другое инобытие, однако, не положено в единице отдельно, но оба они даны как одно неделимое абсолютное тождество, как тождество абсолютной ограниченности и очерченности единицы. То и другое инобытие дано в единице только потенциально, а реально она потому и единица, что в ней нет разделенности внутри и нет реальной множественности вовне. Единица — то, что внутри неразлично и вне — без всяких прибавлений, хотя если бы это было только внутреннее и внешнее безразличие, то это не было бы единицей, а было бы одним, т. е. числом, совсем не стоящим в начале натурального ряда чисел. Тут–то и выясняется, что внутренно–внешнее инобытие дано в единице потенциально, т. е. постольку, поскольку существует в ней абсолютная граница и контур, абсолютная, так сказать, смысловая устойчивость. Эта граница предполагает внутреннее и внешнее инобытие, но именно только предполагает, полагает в потенции, а не в виде ряда реальных и раздельных актов полагания.
     
f) Наконец, это тождество внутренно–внешнего инобытия в свою очередь должно быть тождественно с тем реальным актом полагания, который упомянут выше, в пункте b. Абсолютная отграниченность и очерченность извне и абсолютная неразличимость внутри должны возникать моментально, как только совершается самый акт полагания. Иначе в единице акт положенности разойдется с актом оформления и единица перестанет быть единицей и раздробится на дискретные части. Собственно говоря, тут–то и возникает спецификум единицы, потому что все предыдущие моменты в той или другой мере свойственны и прочим числам. Тождество всех моментов с одним чистым актом полагания и создает впервые единицу. Прочие же моменты дают ей только твердую и прочную оправу, как бы кованность и нерушимость.
     
Е. Движение–то и дает впервые возможность считать. Но не только движение. Движение должно остановиться на обзор, на пересчет пройденных моментов. Это–то и есть счет.
     
[a) .] Точнее сказать, все арифметические действия суть не смысловая энергия, но смысловое становление, как это дедуцировано выше. Однако становление в данном случае, как мы уже знаем, конструирует только самую категорию арифметических действий. Конкретно же выполненное действие, напр. решенная задача, есть уже такое становление, которое определенным образом стало и в этом своем ставшем виде определенным образом оформилось. Тут уже переход на ту ступень, которую в общей диалектике мы именуем смысловой энергией.
     
[b) .] Можно в результате всего двояко формулировать диалектическую антитетику сложения и вычитания, с одной стороны, и умножения и деления — с другой. Можно, во–первых, признать, что в первой паре арифметических действий даны внешне–инобытийные (в идейном смысле) друг в отношении друга числа и ищется такое число, в котором они сливаются в одно внутренно–единое содержание и идею нового числа. Тогда умножение и деление будут предполагать одно и единственное число, которое будет так или иначе внутренно меняться в зависимости от его внешнего воспроизведения. Значит, в этом толковании антитезы сложение и вычитание есть нечто внутреннее, идея, а умножение и вычитание есть нечто внешнее, инобытие и факт, воспроизведение идеи. Но можно, во–вторых, сложение и вычитание понимать как нечто фактически внешнее, упирая на внешнюю вза–имобытийность слагаемых. Тогда умножение и деление окажется чем–то внутренним, поскольку речь идет тут о росте одного и того же (по факту) числа или об убыли (делении) одного и того же числа. По существу, это одна и та же антитеза, выраженная различно только с разных точек зрения. В первом случае дано внутри–идейное различие (слагаемые), и оно исчезает в общем тождестве, также идейном (сумма), и тогда умножение и деление есть уже переход от идеи к факту, к инобытию идеи, к фактическому воспроизведению идеи. Во втором случае даются сначала внешне различимые субстанции, факты, и сливаются они в нечто единое, тоже фактическое (сумма), но тогда умножение и деление необходимо интерпретировать как идейное наполнение и убыль одной и той же субстанции.
     
Различие этих толкований ничего особенного собой не представляет. Раз в диалектике две категории связаны диалектическо–антиномически, то их всегда можно взаимно переставить. Если есть бытие и есть инобытие, то ровно ничего не изменится, если мы инобытие будем трактовать как бытие, а бытие — как инобытие.
     
3. Можно эту шестиплановую структуру единицы формулировать и короче, имея в виду формулу числа как общей категории, данную в фундаментальном анализе. Там мы вывели, что число есть ставший результат акта подвижного покоя самотождественного различия. «Акт» отмечен выше в пункте b, «подвижной покой самотождественного различия» — в пунктах с—f. «Ставший результат» возникает как следствие участия принципа, отмеченного в пункте а, в совокупности всего прочего как начало, ведущее к окончательному оформлению. Таким образом, вся эта шестиплано–вость единицы есть ни больше ни меньше как повторение всех элементов, входящих в определение числа как перво–принципа. Однако мало того, что этот перво–принцип, со всеми своими элементами дан не сам по себе, но как реальная сущность чисел, т. е. как бытие, как утвержденность этого перво–принципа. Но и в этой общей утвержденности перво–числа в виде бытия сущности числа–в–себе тут, несомненно, выделен один момент из всех, его составляющих, а именно, опять–таки момент полагания, и он доминирует над всеми остальными, подчиняя их себе и оформляя заново. Таким образом, единица есть в общей сфере бытия сущность числа–в–себе, такой ставший результат акта подвижного покоя самотождественного различия[122], который дан как акт полагания.
     
4. Чтобы не утерять единой нити во всех этих рассуждениях, расположим предыдущие акты полагания и ближайший будущий на одной линии. Перво–акт полагает себя, и получается перво–число, число как общая категория, число как перво–принцип (обще–математический). Число как перво–принцип полагает себя, дается как чистый акт полагания, и — получается число–в–себе, интенсивное число, или арифметически–алгебраически–аналитическое число. Число–в–себе, переходя в новый акт чистого полагания, создает сущность числа, или арифметическое число, в противоположность числу–вне–себя геометрии и числу–для–себя аритмологии. Сущность числа, переходя в дальнейший акт полагания, создает единицу. Единица, переходя дальше в новый акт полагания, создает натуральный ряд чисел, т. е. реальные числа, фиксируемые нашими обычными цифрами. Всякое реальное число натурального ряда, утверждая себя в виде нового акта полагания, создает положительное число. К этому вообще надо заметить, что каждая следующая категория получается в диалектике путем положения предыдущей, причем это положение, как мы много раз удостоверились, тождественно отрицанию, вызывающему путем своего собственного отрицания новое утверждение, точно ограниченное и тем и дающее следующую новую категорию.
     
Все эти акты полагания, как мы видели в прежних категориях, сопровождаются актами отрицания, инобытия. Каждое инобытие имеет везде свое инобытие и свой синтез бытия и инобытия.
     
Сущность числа, положенная как чистый акт, есть единица. Что есть ее инобытие и в чем синтез единицы с ее инобытием?
     § 86. а) Безграничное конкретное множество; b) равенство (неравенство).
     
1. «Одному» противостоит «многое». «Единичному» противостоит «раздельное», «единственному» — «множественное», «единству» — «множество». Что противоположно единице? Единице противоположно множество других таких же единиц. Но такое множество не отличается полной дискретностью и беспорядком. Тут есть свои законы, которые необходимо точно формулировать.
     
Когда мы рассматривали перво–число, мы установили наличие там нескольких существенных моментов, из которых главнейшую роль играют: акт полагания, подвижной покой и самотождественное различие. Так как всякая категория, бытийная, равно как и инобытийная, одинаково содержит в себе перво–число (на то оно и перво–число), то эти основные моменты мы находим также и в инобытии, окружающем единицу. Далеко не всегда проведение этих деталей плодотворно; для многих категорий это совершенно искусственно и бесполезно. Но и в инобытии единицы это дает интересные общеупотребительные категории, и их нельзя замолчать.
     
2. Акт полагания инобытия единицы, как сказано, создает множество (и необозримое множество) таких же единиц, как и сама первая единица. Но категория самотождественного различия уже вносит в это слепое множество важный момент. Что такое инобытие тождества? Инобытие тождества есть равенство, а инобытие различия есть неравенство. Когда мы имеем дело с чистым бытием, т. е. с чистой непосредственностью, там всякое равенство одного другому[123] есть уже тождество. Как не может быть в сфере чистого смысла причины, отдельной от основания, и всякое основание в чисто смысловом и умном мире есть уже тем самым и причина, так и всякое равенство здесь есть уже тождество. Другое дело — в инобытии. Здесь два предмета не могут быть как именно инобытийные, никогда не могут быть в полном смысле тождественными. В них есть та материя, которая всегда расплывается и ускользает от абсолютного тождества. Инобытийные предметы могут быть только равны или неравны между собою, но никогда не могут быть тождественны. Равенство — инобытийный коррелят тождества. Тождество однопланно, плоскостно. Равенство по крайней мере двупланно и содержит в себе перспективу бытия, лежащего в глубине инобытийной структуры. Две равные вещи тождественны по своему количественному смыслу и различны по своему факту. Это значит, что их всегда две или несколько. В сфере же чистого смысла нет различия между фактом и смыслом; и там тождество в одном отношении есть также тождество и в другом, а различие в одном есть также и различие в другом. Вот почему ум, мало навыкший к оперированию с чисто смысловой сферой, понимает ее по типу инобытийной и не может постигнуть того, что, напр., «одно» и «иное» и тождественны, и различны между собою в одном и том же отношении (как одновременно и в разном).
     
3. Итак, инобытие единицы в аспекте самотождественного различия есть равенство и неравенство единиц. Стало быть, слепое множество единиц, возникающее как инобытие единицы в аспекте чистого полагания, получает разную оценку в зависимости от категорий равенства или неравенства, находящих здесь свое приложение. Но единица, взятая сама по себе, не может быть больше или меньше другой единицы. Категории равенства или неравенства относимы только к группам единения. Категории равенства и неравенства требуют, чтобы полученные в результате инобытийного противоположения единицы были объединяемы в разные группы. Иначе, категории равенства или неравенства останутся пустыми и без всякого приложения. Итак, мы принуждены делать из полученного общего, необходимого и слепого множества единиц разные наборы единиц и объединять их в нечто целое.
     § 87. с) Порядковость.
     
1. С другой стороны, это множество единиц получает упорядочение с точки зрения применения категории подвижного покоя. Подвижной покой заставляет двигаться по нашим единицам и, останавливаясь в том или другом месте, делать обзор пройденного пути. Это ведь и есть подвижной покой. Но тут возникает одна категория, которую необходимо отметить специально. Это категория порядковости. Когда мы говорим «первый», «второй», «третий» и т. д., то явно, что здесь мы находимся в области инобытия. Если я скажу «зеленый», то это может относиться только к тому, что не есть самый зеленый цвет, а только к каким–нибудь другим предметам, где этот цвет присутствует. Всякие зеленые предметы приобщаются к зеленому цвету, но не суть самый зеленый цвет, не суть сама зеленость. Значит, «первый», «второй» и т. д. не суть бытие (бытие — это единица[124], двойка и т. д.), но инобытие (инобытие, приявшее на себя значение от бытия).
     
Но «первый», «второй» не есть просто инобытие единицы и двойки; это особого рода инобытие. Именно, тут предносится идея следования [одного] за другим, принцип постепенного движения. Если бы не имелась в виду эта идея, то вместо «первый» мы бы говорили «одинарный», вместо «второго» — «двойной», вместо «третьего» — «тройной» и т. д. Во всех этих заменах мыслится инобытие внутри самого бытия: «двойной» — это такой, который сам по себе есть нечто одно и цельное, но он состоит из двух частей. Здесь функция инобытия сведена на различенность внутри самого предмета. И совсем другое дело в случае порядковых числительных. Здесь, во–первых, инобытие дано не внутреннее, а внешнее: единица должна внешне осуществиться на каком–нибудь инородном материале. И так как внешнее инобытие не связано с устойчивой сущностью бытия (как связано инобытие внутреннее) и всегда находится в неустойчивом и становящемся виде, то функция его в данном случае проявляется в аспекте подвижного покоя. «Второй»— это значит не только «иной», «другой», но такой «иной», который был «одним», потом изменился и стал другим и в этом своем новом виде остался в сущности тем же самым, что и раньше. Значит, «второй» — тот, который передвинулся и, передвинувшись, остановился. Я пересчитываю груши. Когда я сказал «вторая» груша, это значит, что «груша вообще» была положена раз, потом эта же самая «груша вообще» положена еще раз. Следовательно, «второе» в каком–то отношении тождественно с «первым». В каком же? Очевидно, в том, что «второе» так же покоится, как «первое». С «одного» мы перешли к «иному», но вместо того, чтобы распространяться и растекаться по безбрежному полю инобытия, мы останавливаемся в каком–нибудь определенном месте иного и предаемся покою. В этом и устанавливается тождество между «одним» и «иным», и «иное» оказывается не просто «иным», но «вторым».
     
2. а) Нужно отчетливо представлять себе, почему именно категория подвижного покоя в данном случае обусловливает собою появление порядковое™. Пусть мы двигались с точки А в точку В, и с точки В в точку С, и с точки С в точку D. Это движение. Но вот начинает действовать категория покоя. Мы останавливаемся на точке D и тем кончаем наше движение. Кроме того, и весь путь наш A BCD как бы останавливается, мы его как бы фиксируем, задерживаем[125] и пересматриваем в том или другом, в любом направлении. Получается, что путь ABCD есть такой–то и такой–то путь — напр., такая–то кривая или ломаная линия, — что в нем отдельные точки следуют в таком–то порядке, что они расположены таким–то и таким–то образом. Ясно, что идея порядка есть в данном случае результат применения категории подвижного покоя. Эта категория фиксирует все особенности пройденного пути и тем утверждает порядок следования особенностей этого пути.
     
b) Наконец, надо иметь в виду и еще одно свойство этой категории, которое тут проявляется очень заметно. В то время как тождество и различие утверждают разные точки и отдельные области в сфере применения этих категорий, категория подвижного покоя впервые делает возможным переход от одной такой точки или области в другую точку или область, впервые делает возможным пересчет всего различного, что в данной структуре установлено. Не будь подвижного покоя, различествующие моменты эйдоса так и остались бы в мертвой взаимно–изолированности, и из ничего не составилось бы целого. Выражаясь несколько грубее, подвижной покой впервые делает возможным существование признаков данной структуры, ибо то, из чего состоит данная структура, при условии возможности точного его пересчета и есть не что иное, как сумма признаков данной структуры. Поэтому такой признак, или качество, язык обычно обозначает при помощи имени прилагательного. Порядковое числительное (которое, конечно, есть вид имени прилагательного) указывает один (и основной) такой признак, содержа под собой в качестве принципа эту категорию подвижного покоя.
     
3. Итак, порядковость возникает как диалектический результат следующих моментов.
     
Во–первых, порядковость осуществляется в инобытии единицы, потому что «первый» — это значит, что есть какой–то предмет или вещь, которая сама по себе не единица, но отражает, воплощает на себе единицу. Однако такие категории, как «одинарный», «двойной» и т. д., тоже предполагают инобытие единицы, двойки, и, значит, общее указание на инобытие слишком широко и недостаточно.
     
Во–вторых, для получения порядковое™ необходимо, чтобы инобытие единицы воплотило на себе кроме общего бытия, которое оно на себе воплощает (единица), специально из него категорию подвижного покоя. Эта категория создает в инобытии идею фиксированной последовательности, которая, в сущности, и есть первое установление порядка следования единиц одна за другой.
     
Это установление порядковости, в–третьих, в силу особенностей той же категории подвижного покоя (рождать возможность одного или нескольких признаков) превращает порядковость в некую признаковость, в некое свойство, или качество, инобытия, определяемого здесь через участие в единице, двойке и т. д. Поэтому ярче всего порядковость выражается при помощи особых прилагательных, носящих в традиционной грамматике название имен числительных порядковых.
     § 88. Резюме и дедукция натурального ряда.
     
1. Итак, до сих пор мы получили следующее.
     
Мы имеем сущность числа — арифметическое число. Сущность числа полагает себя — получается единица. Но так как всякое полагание возможно только тогда, когда одновременно возникает и отрицание инобытия, то единица возникла как окруженная необозримым полем алогического безразличного инобытия. Это инобытие не может остаться в виде такой бессильной потенции. Мы начинаем утверждать и его как реальность, т. е. реально воплощать в нем наше бытие, из которого мы тут исходим, — единицу. Однако единица в диалектическом смысле не есть что–нибудь простое. В ней несколько существенных моментов, и прежде всего самый акт полагания, различие и тождество, покой и движение. Все эти моменты единицы, находясь в составе единицы и образуя ее диалектическую структуру, воплощаются в инобытии единицы и тем оформляют его, создают из него новые категории.
     
Самый акт полагания единицы, воплощаясь в инобытии, дает слепое и неопределенное множество инобытий–ных единиц. Так как инобытие всегда неопределенно, всегда растекается и всюду необозримо–алогично, то единица, воплощаясь в инобытии, не может дать какую–нибудь одну инобытийную единицу. Так как инобытие безгранично и вечно расплывчато, то оно одну бытийную единицу воплощает безграничное и неопределенное число раз. Так возникает безграничное и неопределенное множество— как результат инобытийного воплощения из единицы ее акта полагания.
     
Кроме акта полагания в единице основную роль играет момент различия и тождества, самотождественного различия. Инобытийное воплощение ее порождает категорию равенства и, следовательно, неравенства. Тождество существует только между бытийно–смысловыми элементами, равенство же—между инобытийно–меональны–ми. Объединяя эту категорию с полученным только что безграничным множеством единиц, мы получаем возможность различных комбинаций этих единиц и возможность единообразных комплексов из этого безграничного поля множества единиц.
     
Наконец, кроме акта полагания и категории самотождественного различия в единице в качестве основного момента мы находим еще категорию подвижного покоя. Ее инобытийное воплощение создает категорию поряд–ковости. А порядковость, присоединенная к нашему неограниченному множеству, уже ослабленному введением принципа равенства и неравенства, превращает ее в определенным образом упорядоченное множество, т. е. такое множество, где имеет первостепенное значение порядок (и тот и другой вид, тип этого порядка) следования единиц одна за другой.
     
Таково инобытие единицы, охарактеризованное этими тремя основными свойствами — принципами 1) неограниченного множества, 2) равенства и неравенства и 3) порядковое™.
     
2. Теперь предстоит установить синтез единицы и ее инобытия, охарактеризованного этими тремя принципами. Эти три принципа, какой бы определенностью и осмысленностью ни обладали, все же должны оставаться и остаются инобытием. Их инобытийность сказывается в том, что они не содержат в себе никакого единого принципа, который создал бы в них ту или другую структуру. Возьмем первый принцип. Этот принцип неограниченного множества по самому смыслу своему есть принцип чисто инобытийный, потому что определяемое им неограниченное множество уже само по себе совершенно неупорядоченно и неструктурно и требует для себя иных принципов, чтобы превратиться в так или иначе сформированное множество. Точно так же ни о какой структурности не говорит и принцип равенства и неравенства. Он говорит только то, что в инобытии одни моменты равны другим и другие неравны этим другим. Но что именно равно и неравно и в каком порядке совершается это уравнение одного другому, в голом принципе равенства ровно ничего не сказано. Наконец, и принцип порядка также ничего не говорит о способах и методах упорядочивания. Этих способов может быть сколько угодно.
     
Синтез должен объединить эту инобытийную неопределенность с бытийной определенностью единицы и тем дать этой неопределенности определенную структуру, лишить ее указанной только что растекаемости. Синтез бытия и инобытия в отвлеченном смысле слова проявляется обычно как становление. Единица перестает быть изолированной неприступностью и втягивается в процесс становления, начинает меняться и постепенно приобретать новые формы. Инобытие также перестает быть разбросанной и неоформленной текучестью и вовлекается в процесс стройного и постепенного становления. В становлении модифицируется единица в направлении своего инобытия и инобытие — в направлении своего бытия, единицы. Единица должна плюрализироваться[126], и (…) множественность должна подчиняться единству. Посмотрим, как это происходит в отдельных моментах.
     
3. а) Единица есть акт полагания. Ему противостоит неограниченное множество. Необходимо в целях синтеза отождествить оба эти принципа и понять их как нечто единое. Получается, что акт полагания должен быть неограниченным множеством, т. е. он должен неограниченное число раз повторяться; а, с другой стороны, неограниченное множество должно быть одним единым актом полагания, т. е. оно должно быть единым образом распределено. Покамест множество в своей неопределенности оставалось вне принципа едини [цы ], его элементы могли распределяться как угодно и связь между ними могла быть какая угодно, и даже могло совсем ее не быть. Внесение принципа единства должно привести к тому, чтобы любой момент в этом множестве оказывался не чем иным, как единицей, и отношение одного момента к другому было не чем иным, как единицей. Только при этих условиях неограниченное множество может быть трактовано как преобразованное по закону единицы, ибо единица, воплощенная на всяком инобытии как именно единица (так, чтобы она везде была видна как таковая), превращается в единство этого инобытия, т. е. в единство этого многого, в его связь, самоотнесенность, и единство такое, чтобы оно было видно в каждом элементе этого многого. Становление — общая арена синтеза бытия и инобытия — в данном случае оказывается становлением, которое имеет своим результатом единство распределения множества, взаимопринадлежность его элементов. Употребляя популярные и житейские выражения, можно сказать, что это приводит к одинаковой силе удара каждого акта полагания в этом безграничном множестве и, кроме того, fc одинаковым расстояниям между этими ударами или одинаковыми промежутками времени, промежутками между разными ударами. В результате применения принципа единства распределения наше ино–бытийное безграничное множество превращается в равномерную пульсацию ударов, в равномерность (по силе и по интервалам) различных актов полагания, в связь взаимо–принадлежащих элементов. Таков этот принцип единства распределения.
     
b) Переходим ко второму моменту — к категории самотождественного различия. Единица есть самотождественное различие. Ему противостоит категория равенства и неравенства. Необходимо в целях синтеза отождествить оба эти принципа и понять их как нечто единое. Равенство и неравенство ничего не говорят сами по себе о характере и методе установления равенства и неравенства. Это голые принципы, и по природе своей они суть инобытийные категории, нуждающиеся в конкретизации и структурном оформлении. Отождествление с единицей как диалектическим синтезом должно привести к единству установления равенств и неравенств. А так как это единство устанавливается на почве общего синтеза бытия и инобытия, именно — становления, то в результате должен возникнуть принцип единства установления равенств и неравенств в общей стихии становления. Другими словами, становление должно единообразно устанавливать равенства и неравенства. Но неравенство есть или наличие «больше», или наличие «меньше», т. е. или увеличение, или уменьшение. Следовательно, тут мы наталкиваемся на принцип равномерности увеличения или уменьшения, равномерности нарастания инобытийного множества.
     
Еще можно сказать, что это есть принцип единства направления процесса множества. В предыдущем случае становление дало нам единство распределения отдельных моментов множества. Теперь это единое распределение получает еще и единое направление. Одинаковым образом относящиеся друг к другу точки могли бы иметь самое разнообразное направление и могли бы как угодно его менять. Но принцип единства становящихся равенств и неравенств требует, чтобы и в этом становлении было определенное единообразие. Если раньше мы говорили об одинаковости удара, дающего необходимые для множества акты полагания, и также об одинаковости интервалов между этими ударами, то теперь мы должны говорить о единстве направления этих равноотстоящих друг от друга равноинтенсивных ударов–полаганий. Здесь все удары–полагания вытянуты в одну прямую линию. И это создается специально единством становления в аспекте самотождественного различия. Когда там, в условиях единства распределения, мы просто имели ряд точек, то тут, переходя от одной точки к другой, мы замечаем, что это одна и та же точка, та же самая точка (ибо тут действует категория самотождественного различия); и, таким образом, тут мы двигаемся все к тому же и к тому же и тем самым создаем единство направления.
     
с) И наконец, единица есть подвижной покой. В инобытии этому аспекту единицы противостоит категория порядковое™. Когда проходится путь, а потом фиксируется он как таковой, то все пройденные моменты пути закрепляются как бы на одном месте, в одной связке. Пока мы только движемся, мы как бы забываем пройденные этапы пути; мы переходим все к новым и к новым моментам. Правда, тут действует еще установленный выше принцип самотождественного различия. Однако этот принцип заставляет фиксировать только то, что новый этап есть старый, что новая точка пути ничем по своему характеру не отличается от любой предыдущей точки. Тут нет собрания всех пройденных точек воедино. Принцип самотождественного различия требует только признать, что, придя от одного к другому, мы в этом другом нашли то же самое; но это не значит, что мы присчитали новый акт полагания к предыдущему акту. Наоборот, самый акт, самый удар мы могли бы вполне и забыть; мы помним только то, что именно полагается, и констатируем, что все эти полагаемые содержания есть одно и то же полагание. Но мы, пользуясь только категорией самотождественного различия, еще не уполномочиваемся на собирание самых ударов воедино, еще не знаем, какие удары–полагания мы проделали, и, значит, еще ничего не можем ответить на вопрос «сколько».
     
На этот вопрос можно получить ответ только в связи с применением категории подвижного покоя. Ибо «подвижной покой» заставляет останавливать движение и приводит к покою пройденный путь, заставляя понимать его как нечто единое. Мы должны объединить единицу с ее инобытием в аспекте подвижного покоя, т. е. единица должна субстанциально осуществиться в подвижно–покоящемся инобытии. Это значит, что 1) мы движемся, 2) пройдя тот или иной путь, мы останавливаемся, и весь пройденный путь оказывается покоящимся, так что мы можем обозревать его как угодно и, наконец, 3) обозревая пройденные этапы (удары–полагания), понимаем их как единицу, данную в ее субстанции, как субстанцию единицы. Первое создается инобытийным движением, второе — инобытийным покоем, третье — принципом синтезирования инобытия единицы с самой единицей. Тут–то и появляется впервые возможность сосчитать все удары–полагания, которые были произведены раньше. Вместо растягивания в линию все эти удары–полагания возвращаются, в силу категории подвижного покоя, к одной и той же точке, из которой мы пытались выходить. Все удары оказываются направленными в одну и ту же точку, и движение оказывается только счетом.
     
Тут происходит определенное оформление того голого упорядочивания, которое мы выше выставили как инобытие подвижного покоя. Инобытие подвижного покоя есть какое–то (какое угодно) упорядочение, или порядковость. Необходимо, чтобы эта порядковость была конструирована по типу единицы, чтобы все пройденные моменты оказались, так сказать, «в одном месте», чтобы все они, взятые вместе, оказались одной «единицей».
     § 89. Диалектическая формула натурального ряда.
     
1. Итак, бытие единицы и инобытие единицы синтезируется в становление единицы. Это становление, во–первых, синтезирует акт полагания бытия единицы и безграничного множества инобытия единицы; получается становление единообразно связанной взаимопринадлежности, становление[127] единообразно распределенного ряда единичных полаганий.
     
Во–вторых, становление синтезирует самотождественное различие бытия единицы с принципом равенства и неравенства инобытия единицы; получается становление единообразного направления ряда единичных полаганий.
     
В–третьих, наконец, становление синтезирует подвижной покой бытия единицы с принципом упорядочивания, объединения, собирания инобытийных полаганий; получается становление единообразной упорядоченности ряда всех единичных актов инобытийного полагания.
     
2. Первый принцип дает нам становление единицы в виде безграничного ряда полаганий, которым обеспечивается полная равномерность следования одного за другим. Эти полагания по природе своей оказываются здесь совершенно одинаковыми, и интервалы между ними также вполне одинаковы. Тут еще ничего не говорится о качествах этих полаганий, т. е. о том, что именно полагается, ни о том, в каком порядке полагается. Перед нами, следовательно, возникает в процессе становления единицы безграничный ряд актов–полаганий, ударов, единиц, распределенный так, что и каждый такой акт–полагание возникает одинаково и одновременно с другими актами–полаганиями, и самое возникновение везде одинаково, т. е. всегда и везде оно есть возникновение единицы. Если изобразить это геометрически, то перед нами возникает здесь бесконечный ряд точек, равноудаленных одна от другой.
     
3. Второй принцип ставит вопрос о том, что именно полагается в актах–ударах, которые мы здесь полагаем. И ответ гласит: полагается всегда и везде одно и то же. Качественно все эти полагания–акты суть полагания одного и того же. Но если каждая последующая точка есть та же, что и предыдущая, это значит, что все эти точки движутся к одному и тому же, т. е. в одном и том же направлении. Наш бесконечный ряд точек, равноудаленных одна от другой, становится прямой линией, в то время как единство взаиморасположения точек, постулированное первым принципом, само по себе еще ничего не говорит о направлении. И направление тут может быть иным.
     
4. Но, ограничиваясь этими двумя новыми принципами, мы, переходя к новой точке, знаем только то, в каком направлении мы двигаемся. Однако мы не можем помнить только качество того, что утверждается, при новых и новых утверждениях и ограничиваться установлением только качественных отождествлений. Необходимо, чтобы тождественным был и самый переход от одного к другому — с <…>, т. е. чтобы тождественно было не только качество «что» всех полаганий, но и самая субстанция этих полаганий, чтобы, делая иное полагание, мы делали, в сущности, то же самое полагание. Это и есть третий принцип. Тогда движение равносильно покою, удары–полагания направляются не в разные, но все в одну и ту же точку; и—мы получаем возможность считать», потому что все удары–полагания накопляются, сгущаются как бы «в одном месте», ибо они неизменно возвращаются в одну и ту же точку. Это есть принцип порядковое т. е. принцип сгущения, скучивания, накопления актов полагания в одной точке. Остается, значит, только, чтобы этот процесс накопления был понят как абсолютная единица, т. е. чтобы это упорядочиваемое инобытие накопляющихся точек было понято как абсолютная единица, и—результат пересчета всех предыдущих актов полагания превращается в одно и единственное, абсолютно единичное число натурального ряда. Отныне всякое движение в сфере этого становления будет счетом, и всякий покой в сфере этого становления будет счетом. Привлекая употребленный выше подсобный образ геометрической линии равноотстоящих] и тождественных точек, мы должны теперь коренным образом его реформировать. Это уже не будет линия, но всего только одна точка, — однако такая, в которой собраны все акты полагания, растянутые раньше, и вернее, — одна пульсирующая точка, один пульсирующий акт полагания. С каждым новым актом полагания растет и накопление этих актов в данной точке (вместо прежнего их внеположного растягивания в одну прямую линию), т. е. растет число, растет натуральный ряд чисел.
     
5. Отсюда, натуральный ряд чисел характеризуется в последнем счете тремя принципами — принципами единства расположения, единства направления и единства порядка сгущения (накопления) актов полагания.
     
Натуральный ряд чисел есть становящийся синтез единицы и ее инобытия, данный как одинаковость взаимопринадлежности распределения, направления и порядково–сти (накопления, сгущения) актов полагания. Или короче: натуральный ряд есть становление тождества единицы с ее инобытием.
     § 90. Переход к типам числа.
     
1. С возникновением натурального ряда сущность числа получает уже более или менее конкретную характеристику.
     
К натуральному ряду при известной точке зрения можно свести решительно всю арифметику, т. е. решительно всю математику. И наоборот, имея диалектическую конструкцию[128] натурального ряда, можно путем последовательного ее развития получить всю диалектическую систему математики. Но как двигаться от натурального ряда дальше?
     
В распоряжении диалектики имеется единственный метод—метод перехода в инобытие, в отрицание и в дальшейшем — метод отрицания этого отрицания, т. е. метод полагания в инобытии, в антитезисе того, что было в бытии, в тезисе, и тем самым синтезирования инобытия с бытием. Мы достигли натурального ряда чисел. Теперь, значит, натуральный ряд будет для нас бытием и тезисом, и — требуется узнать, какие же будут инобытие и антитезис. Теперь уже не просто акт полагания является нашим бытием и не просто единица и даже не просто любое число натурального ряда. Теперь имеем уже все числа натурального ряда, какие только возможны. И переход от такого бытия к инобытию уже не может быть переходом к тем или другим числам, раз все числа уже содержатся в том, от чего мы переходим к инобытию. Инобытие должно дать тут совершенно новые категории, уже нисколько не связанные с количест–венностью и с положением в натуральном ряду. Тут мы переходим к разным типам числа и к их диалеятаческой классификации.
     
2. Заметим, что та числовая сфера, о которой мы сейчас будем говорить, есть вся сфера, инобытийная в отношении натурального ряда. Вся область натурального ряда теперь превратится для нас в одну нерасчлененную идею, о переходе которой в инобытие, т. е. о ее осуществлении, мы и будем говорить. Как перво–принцип числа со всеми своими внутренними различениями превратился для нас в нерасчлененную идею, когда мы стали говорить о переходе его в другие диалектические ступени (потому что тут важна именно эта дальнейшая судьба перво–принципа, а не его статически указуемая[129] внутренняя структура), и как единица утеряла для нас интерес в своей внутренней структуре, как только мы стали говорить о ее взаимоотношениях с соответствующим инобытием, так и сейчас для нас перестает быть важным внутренняя структура и значение натурального ряда, поскольку начинается речь не о нем самом, но о его дальнейших диалектических судьбах. И мы будем правы, если весь натуральный ряд будем считать некой числовой идеей вообще, которая переходит в свое инобытие, осуществляется и воплощается в своем инобытии. По этой же причине нет нужды в предстоящей главе о типах числа все время говорить об инобытии натурального ряда. Будем помнить в течение всей предстоящей главы, что речь идет именно о сфере, инобытийной в отношении натурального ряда. Называть же мы ее будем просто числовой сферой и будем говорить об осуществлении идеи числа вообще в этой числовой сфере.
     
Делать это мы будем просто ради избежания излишнего нагромождения терминов, которые все равно будут непонятны, если не будет усвоено общее место типов числа во всей области сущности числа и числа–в–себе. Поэтому вдумаемся лучше в то, что такое инобытие натурального ряда, а как его именовать—это дело второстепенное. Это инобытие, повторяем, не может быть одним из чисел натурального ряда, потому что все эти числа уже предусмотрены в идее натурального ряда. Подлинное инобытие возникнет тут именно тогда, когда возникнут совершенно новые типы числа, возникнут на основе новых актов полагания в этой инобытийной по отношению ко всему натуральному ряду сфере, на основе нового инобытия этих актов, синтеза инобытия этих актов с их бытием и т. д. и т. д.
     II. ТИПЫ ЧИСЕЛ (ИНОБЫТИЕ СУЩНОСТИ ЧИСЛА) 1. ВНЕШНЕЕ ИНОБЫТИЕ § 91. а) Положительное число.
     
Имея полное и законченное понятие числа в натуральном ряде и зная его диалектическое происхождение, мы переходим к тому трудному вопросу, который можно назвать проблемой классификации чисел. Труден этот вопрос, конечно, не технически, так как уже на первых страницах алгебры <…> математики с поразительной ловкостью и беззаботностью выставляют очень легкие и понятные определения того, что такое целое, дробное, рациональное, иррациональное[130] числа, и в дальнейшем даже ни разу не возвращаются к определению этих чисел, считая их абсолютно ясными и понятными. Конечно, технически нет ничего проще понять, что такое, например, отрицательное или мнимое число. Для философа, однако, тут залегают огромные логические трудности, по общему обыкновению для философа: что понятнее всего профану, то непонятно философу, и что легко и понятно для философа, то составляет часто непреодолимые трудности для профана. Диалектическая классификация типов чисел, предлагаемая здесь, обладает чрезвычайно большой простотой, если только дать себе труд вдуматься в нее. Для мыслящего требуется здесь только самое элементарное владение диалектическим методом, попросту даже сказать, только понимание основной диалектической триады. Кому понятно вообще, как тезис переходит в антитезис и завершается, возвращаясь в себя, синтезом, тот без труда поймет прилагаемую ниже классификацию, и она будет для него простым и очевидным продуктом элементарного логического анализа. Впрочем, для понимания предлагаемой диалектики типов чисел надо преодолеть трудность гораздо большую, чем владение диалектическим методом. Надо отказаться от высокомерия математических учебников, претендующих на всезнание и решительно все на свете «понимающих» и «знающих». Забудем ту легкость, с которой мы оперировали в школе, когда учитель давал нам задачи с отрицательными и иррациональными величинами. Технически вычислительная легкость не имеет ничего общего с логической четкостью понятия. А мы хотим здесь добиться именно логической, и в частности диалектической, четкости.
     
2. а) Когда мы говорим о числе, т. е. о числе самом по себе, о числе просто, как оно налично в натуральном ряде чисел, мы не мыслим его ни положительным, ни отрицательным, ни рациональным, ни иррациональным, ни каким–нибудь иным. Понятие числа выводится сначала в виде числа просто. Нужен какой–то новый акт мысли, чтобы перейти от двойки просто к ( + 2), к положительной двойке, не говоря уже о переходе от двойки просто к отрицательной двойке, к ( — 2).
     
Может быть, этот переход от двойки просто к положительной двойке понятен легче всего, и проще всего формулировать его. В самом понятии «положительности» содержится то, без чего невозможен никакой диалектический переход, а именно содержится момент полагания, положения, утверждения, тезиса, того, что потом должно иметь свою особенную судьбу путем перехода в инобытие. Положительное число есть число как тезис, как акт полагания в сфере, инобытийной в отношении натурального ряда. Оно положено, утверждено мыслью, утверждено как некоторый мыслительный факт, как некая смысловая субстанция. То, что число есть число, и то, что число есть субстанция числа, — это совершенно разные вещи.
     
b) Существует ведь принципиально логическое различие между голой и простой идеей факта и самим фактом. Что это есть, кроме того, еще и разница чисто жизненная, или, так сказать, житейская, это не только не вызывает никаких сомнений, но в данном случае является слишком большой банальностью, чтобы ее фиксировать в таком голом бытовом смысле. Если я имею мысль о 100 рублях, это не значит, что я имею самую эту сумму 100 руб. в кармане. Однако с философской стороны тут перед нами различие прежде всего чисто логическое. Именно, всякий факт в отношении своей идеи есть инобытие этой идеи. Идея как тезис должна перейти в свое инобытие, чтобы стать фактом, вещью, субстанцией, действительностью. Это элементарное положение диалектики. Но интересно, что такая же противоположность идеи и вещи, сущности и явления, смысла и действительности, смысла и факта, субстанции на–лична и в каждом из членов этой [триады]. В пределах самой идеи можно различать идею и факт, идею и ее существование, а также в пределах действительности можно различать разные степени действительности, т. е. прежде всего устанавливать различие идеи и факта. Так, например, строительство какого–нибудь здания, какого–нибудь водопровода, канала и пр. есть, несомненно, нечто действительное, а не идеальное; это есть сфера фактов и субстанций, а не идей и чисто смыслового функционирования. И тем не менее в строительстве мы различаем инженерский проект, план, чертеж, с одной стороны, и физический труд рабочего, осуществляющего этот план, — с другой стороны. Не нужно быть особенно глубоким философом, чтобы здесь [увидеть] простую диалектическую триаду: проект, план, чертеж есть идея, смысл, сущность строительства — его тезис; физический труд рабочего есть факт, субстанция, явление, действительность строительства—его антитезису и, наконец, сама законченная постройка, где целиком осуществился проект и целиком осмыслился и оформился труд рабочего, постройка, которая не есть ни просто идея постройки и ни просто ее вещественная и материальная масса, она есть уже синтез указанных тезиса и антитезиса.
     
с) Вот точно так же можно различать и разные факты смысла, идейности — в пределах самого смысла и самой идеи. Тут тоже возможны свои триады, свои более абстрактные и менее абстрактные, более конкретные структуры. С переходом от числа просто к положительному числу мы как раз двигаемся от абстрактного к конкретному, от голого абстрактного числа, о котором еще ничего пока нельзя сказать, кроме того, что оно есть просто число натурального ряда, к тому конкретному пониманию числа, которое будет граничить уже с переходом в сферу механики и физики. И все–таки эти разные степени идеальности и конкретности, все эти диалектические триады осуществляются пока еще в пределах самого же числа, т. е. в пределах самой же идеи, и мы еще не переходим тут из сферы математики нилв сферу механики, ни в сферу физики, не говоря уже о дисциплинах еще более конкретных. Это инобытие натурального ряда, но все еще чисто числовое же, а не иное.
     
3. Итак, положительное число есть акт полагания числа, или число как факт и субстанция в сфере чисто же числовой. Или: положительное число есть числовой тезис, тезис, утверждаемый в сфере самого же числа; это смысловая субстанция, идеальная осуществленность числа в сфере инобытийно–числовой.
     § 92. b) Отрицательное число.
     
Так же не составляет большой трудности и категория отрицательного числа, хотя уже тут есть кое–что такое, что не сразу поддается анализу и не сразу фиксируется в точной формуле. Что отрицательное число есть антитезис положительного, это[131] как будто ясно само собой без всяких дальнейших пояснений. Однако слишком общее и формальное понимание диалектического метода способно затемнить и не развить некоторые существенные моменты, лежащие в основе категории отрицательного числа. Их мы сейчас и постараемся[132] вытащить на свет диалектического сознания.
     
1. Отрицательное число противоположно положительному числу, как отрицание противоположно утверждению. Но если утверждение есть утверждение факта и субстанции (ибо всякое утверждение и полагание есть утверждение и полагание чего–нибудь), то отрицание есть отрицание факта и субстанции. Далее, это отрицание факта может быть или абсолютным, или относительным. Если факт отрицается абсолютно, то вместо бытия мы получаем просто небытие, пустоту, нуль. Этот случай отрицания малоинтересен; и, кроме того, он не есть то отрицание, которое мыслится в отрицательном числе. Здесь относительное отрицание, потому что отрицаемое здесь не просто отрицается, но отрицается с некоторым своим сохранением; тут вместе и отрицание, и некоторого рода утверждение. Заметим, что тут еще нет ничего оригинального по сравнению с обычной конструкцией диалектической триады. В диалектике мыслится не просто одно абсолютное отрицание, которое тотчас же привело бы к нулю всю диалектику, но одновременно и относительное отрицание, являющееся в силу этого переходом от одного диалектического члена к другому. Итак, отрицание, данное в отрицательном числе, есть отрицание не абсолютное, но относительное.
     
2. В чем же оно заключается? Полагание и утверждение есть полагание факта, как бы некой вещи, действительности, и отрицание есть род противополагания, а факту противоположна идея факта. Как факт есть инобытие идеи, так идея есть инобытие факта. Если тезис идеален, то антитезис фактичен; и если тезис указывает на факт, но антитезис—на идею. В нашем случае имеется отрицание факта. Стало быть, тем самым дан переход в инобытие факта, и притом в идеальное инобытие. Другими словами, отрицание факта, если оно относительное, т. е. если оно отрицается с некоторым своим сохранением, оказывается в то же время утверждением идеи факта, полаганием идеи факта. Мы тут сразу и отрицаем факт (отрицаем его как именно факт), и сохраняем его (утверждением его в идее, в его идее). — Итак, отрицание, данное в отрицательном числе, не только не есть абсолютное (а [есть] чисто относительное) отрицание, но, наоборот, есть тем самым некое новое утверждение, а именно утверждение этого факта в его идее, в его смысловой значимости.
     
3. В этом пункте, однако, легко сбиться с диалектического пути и спутать весь логический анализ типов числа. Именно, то утверждение числа в идее, которое полагается отрицанием, очевидно, опять–таки не есть абсолютное его утверждение в идее. Если бы это было так, то данная диалектическая стадия числа ничем бы не отличалась от того <…> чистого понятия числа, которое мы имели раньше, и отрицательного и даже положительного числа. Это было число само по себе, число просто, и никакой новости оно в себе не содержало бы, несмотря на наличие уже двух новых больших категорий — утверждения и отрицания. Очевидно, что как само отрицание числа в отрицательном числе мыслилось не абсолютно, но относительно, так и порождаемое этим отрицанием новое идеальное утверждение числа (вернее, утверждение, тождественное с этим отрицанием) обладает опять–таки не абсолютным, но относительным характером, т. е. в нем как–то сохраняется и указание на стихию действительности числа, на факт и субстанцию числа. Чистая идея числа не положительна и не отрицательна; и, <…> понятием чистого числа, ровно ничего нельзя определить и понять в отрицательном числе. Точно так же надо сказать, что и чистый факт числа, свидетельствуя о его положительности, т. е. положенности, ровно ничего не говорит об идее числа, не переходит, само в себе взятое, в идею числа и, следовательно, тоже ничем не помогает при анализе понятия отрицательного числа. — Итак, отрицание, данное в отрицательном числе, не только есть некое утверждение этого числа в его идее, но это утверждение есть еще и относительное, а не абсолютное утверждение, т. е. такое идеальное утверждение, которое сохраняет связь с утверждением в действительности, на факте.
     
4. Остается, следовательно, проанализировать характер самой связи этой идеальной утвержденности, или смысловой положенности, с фактической утвержденно–стью, или положенностью, связи, осуществленной при помощи отрицания факта. Что это за связь? Совершенно ясно, что отрицательное число не есть ни число просто, ни отсутствие числа. В первом случае оно не отличалось бы от абсолютного числа, во втором — оно не отличалось бы от нуля. Это есть такое полагание числа, которое указывает на его отрицание, и такое отрицание, которое указывает на его полагание. Отрицательное число есть идея числа (и в этом смысле оно отрицание числа как факта), но это есть идея не просто числа, но идея небытия числа (и этим самым сюда сводится момент, указывающий на какое–то отношение к бытию). Отрицательное число есть идея небытия числа. Мысль здесь развивается как бы в таком направлении: это число должно было бы быть, но его нет; или — число есть, но оно не принимается, не воспринимается; число есть, но мысль отстраняет его, отбрасывает его от себя или отталкивается от него. Отрицательное число есть отрицание положительного числа, отодвигание его в сторону (не уничтожение или разрушение), отбрасывание в сторону и помещение на его место только одной простой идеи его. В этом силовом, динамическом моменте и заключается весь секрет отрицательного числа. В отрицательном числе мы не уничтожаем число (повторяю, это значило бы, что всякое отрицательное число равно нулю), а только отстраняем его с поля зрения, сдвигаем с плана фиксируемого.
     
Когда мы производили утверждение числа, мы ведь тоже затрачивали[133] некое мысленное усилие, и осуществлялся некий смысловой акт, некая смысловая теория числа. Число как идея и число как факт есть разное; чтобы получить число как факт, надо как бы насильно эту идеальную природу числа притянуть к стадии материи, как бы положить отпечаток числа на ней, затратить своеобразную «мускульную» силу, чтобы придавить эту смысловую печать к материи. Такую же «силу» надо затратить и для получения отрицательного числа. Только в первом случае мы, утверждая число как факт, припечатывали бытийную стадию материи и отталкивали всякое инобытие, вернее, сами отталкивались от него, оттесняли инобытийную стадию материи, чтобы осуществить число как бытие, или, что то же, чтобы осуществить материю как бытие. Во втором же случае, утверждая число как отрицание числа, отрицая число, получая отрицательное число, мы, наоборот, снимаем смысловую печать с материи, и она уходит, расплывается из–под нашей печати, теряя очертания этой печати, этого числа, оттесняем от этого числа его бытие, отталкиваем это бытие, как бы насильно расталкиваем его руками в разные стороны, оставляя на его месте полную пустоту и отсутствие бытия. Отрицательное число, таким образом, есть, как идея небытия числа, энергийное[134] отстранение положительного числа; это энергия небытия числа, становление числового инобытия, становление инобытия числа.
     
5. Следует помнить, что все высказанные нами только что детали понятия отрицательного числа есть не что иное, как самые обыкновенные детали всякого диалектического момента, именуемого как антитезис. Не только в применении к отрицательному числу как антитезис [у] положительного числа, но решительно везде в диалектике, где мы только встречаем антитезис, наличны эти моменты относительного отрицания, относительного утверждения, относительного бытия и относительного небытия[135] и, наконец, активного становления бытия инобытием и небытия — бытием. Это и есть та энергий–ная взаимосоотнесенность бытия с небытием, идеи с фактом, которая является основой диалектического метода и, в частности, диалектической триады. Всякое инобытие есть 1) относительное отрицание бытия, 2) относительное полагание бытия в идее и 3) активное становление инобытия, отталкивающее от себя и как бы расталкивающее в стороны всю бытийную стадию действительности.
     
6. Поэтому будет вполне точно и достаточно, если бы определили отрицательное число как просто антитезис положительного числа.
     
Отрицательное число есть число как инобытие в сфере чисто числовой, активно становящееся отрицание числа— в сфере чистого же числа.
     
Можно было бы и не тратить тех немногих слов, которые мы употребили для характеристики отрицательного числа как антитезиса. Однако обычное сухое, формальное и безжизненное понимание и трактование диалектического антитезиса могло бы затушевать подлинный смысл отрицательного числа. Поэтому, определяя последнее как антитезис положительного числа, необходимо твердо <…> все существенные и живые смысловые токи, пронизывающие всякое инобытие и всякий антитезис.
     § 93. с) Нуль.
     
1. Что является синтезом положительного и отрицательного числа? Ведь этот синтез так же элементарно необходим и так же явственно <...>, как и наличие положительного и отрицательного числа. Не может не быть такого единства, и мы должны пересмотреть всю сферу математики с целью найти такой тип числа, который бы адекватно соответствовал этому синтезу. Конечно, нужно и здесь понимать этот синтез не сухо и скучно, как неизбежное зло, насильно навязанное извне. Надо его понять как подлинно жизненную и мыслительную потребность, как логику внутренней основы самого бытия. Тогда и соответствующая числовая структура забьется как живое существо диалектической мысли, и выявятся те ее тайны, которые не известны ни философу, подходящему к ней антидиалектически, ни математику, подходящему к ней технически–вычислительно.
     
2. а) Попробуем ясно представить себе этот синтез как таковой — сначала без применения к числу. Тут тоже совершенно простая и элементарная диалектическая категория, которую, однако, приходится растолковывать ввиду обычной неясности и формализма, вносимых сюда людьми, которым чужда диалектика как подлинный и внутренно живой метод философии. Что такое синтез вообще? Синтезом в диалектике вообще называется категория, в которой совпадают и сливаются до полной неузнаваемости тезис и антитезис. Тезис и антитезис настолько проникают друг друга, настолько объединяются, что получается полное и абсолютное их тождество, тождество, в котором уже нельзя различить тезиса и антитезиса, хотя они продолжают в этом синтезе содержаться. Для всякой пары тезиса и антитезиса надо поискать такое слово, которое бы, обозначая искомый синтез, совместило бы в своем значении и смысл тезиса, и смысл антитезиса. Если иметь в виду идею и факт (или факт и идею) как тезис и антитезис, то ближайшим и простейшим синтезом этих двух категорий, синтезом не вообще, но именно диалектическим синтезом, будет категория границы. Не стоит, конечно, об этом распространяться здесь подробно; для полного и точного уяснения диалектического смысла этой категории необходимо обратиться к более общим трудам по диалектике. Здесь мы напомним только самое существенное, без чего эта категория потеряла бы всякое значение.